大学物理质点动力学总结

1 / 99 大学物理质点动力学总结 习题二 一、选择题 1 用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能把钉子敲入。如果铁锤第二次敲打的速度与第一次完全相同，那么第二次敲入的深度为 ； ； ； 。 答案： A 12 解： f?kxAf?Ek?mv0 2 x11 2 / 99 Af?fdx?kxdx?kx12 02 1 ?2?A?mv0f?Ek? 2 ?v0v0 ? fdx? ? x2 x1 3 / 99 kxdx? 1212 kx1?kx2 22 A?f?Af 121212 kx1? kx2?kx1222 x2?2x1 ?x2?x2?x1?1)x1? 2 一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为 m1和 m2，且 m1?m2 (滑轮质量及一切摩擦均不计 )，此时系统的加速度大小为 a，今用一竖直向下的恒力 F?m1g 代替 m1，系统的加速度大小为 a?，则有 4 / 99 a?a； a?a； a?a； 条件不足，无法确定。 答案： B 解： m1g?T?m1a T?m2g?m2a (m1?m2)g?(m1?m2)a m?m2a?g m1?m2 F1?m2g?m2a? F1?m1g 2m1 ?a m121 a? m1?m2 5 / 99 g，所以， a?a。 m2 3对质点组有以下几种说法： 质点组总动量的改变与内力无关；质点组总动能的改变与保守内力无关；质点组机械能的改变与保守内力无关。在上述说法中 ， 只有是正确的； 、是正确的； 、是正确的； 答案： B 解：略 如图所示，系统置于以 g/2加速度上升的升降机内， A、B 两物块质量均为 m， A所处桌面是水平的，绳子和定滑轮质量忽略不计。 若忽略一切摩擦，则绳中张力为 mg； mg/2； 2mg； 3mg/4。 若 A与桌面间的摩擦系数为 ? (系统仍加速滑动 )，则绳中张 力为 ?mg； 6 / 99 3?mg/4； 、是正确的。 a? g 2 3(1?)mg/4； 3(1?)mg/4。 答案： D； C。 解：受力分析 B：mg?T?m(a?a) A： T?ma?， N?mg?ma mg?T?ma?ma? m(g?a)?T?T， 2T?m(g?a)， a? g2 T? 7 / 99 m3(g?a)?mg a4 B:mg?T?m?a?a? ?， A:T?f?ma f?N N?mg?ma a? g2 N?m?g?a? 3mg 2 ?mg?T?ma?ma ? ?T?N?ma? ?m?g?a?T?ma? 3333? 8 / 99 ?， gm?T?T?mg2T?mg1?,T?1?mg ?3 224?T?mg?ma?2 ?2 5 沙子从 h = 高处落到以 3m/s 速度水平向右运动的传送带上。取 g = 10m/s2，则 传送带给予沙子的作用力的方向 与水平夹角 53?向下； 与水平夹角 53?向上； 与水平夹角 37?向上； 与水平夹角 37?向下。 答案： B v 解： h? ? v1?v0?v0j,v2?v?vi ? 9 / 99 I? m?v?m?v2?v1?m?vi?v0j? ?v0 ?53?向上 tan? v04?,v3 二、填空题 1如图，已知水深为，水面至街道的距离为 5m。把水从面积为 50m2 的地下室中抽到街道上来所需做的功为 。要用积分法 ,g取 答案： ?106J 解：该功数值上等于同一过程中重力做的功，取坐标如图，则有： 10 / 99 dAP?Sgzdz o AP?Sgzdz?Sg?zdz z1 z1 z2z2 z1z ?1?103?50?zdz?10 z2 抽水所需的功 A?AP?106J 11 / 99 2质量为 m 的质点在变力 =F0 (1 kt)作用下沿 ox 轴作直线运动。若 t =时，质点在坐标原点，速度为 v0，则质点运动微分方程为 ；速度随时间变化规律为 v x FF0?213?12?d2xFt?ktvt? 答 案 ： 2? ； ?1?kt? ；v0?0?0?t?kt?。 mm?22m3?dt? 解： F?F0?1?kt? t?0,x?0,v?v0 d2xd2xF0 ?1?kt? F?ma?m2，所以，微分方程为： 2?mdtdt dvF0 ?1?kt?dtm dv? 12 / 99 F0 ?1?kt?m ? v v0 dv? F0 ?1?kt?dt 0m t 所以，速度为： v?v0? F0?12? 13 / 99 ?t?kt? m?2? F?1dx?v0?0?t?kt2?dtm?2? ? x dx?v0? t F01 (t?kt2)dt m2 运动 方程为： x?v0t? 14 / 99 F0?213? ?t?kt? 2m?3? 3质量为 m 的子弹，以水平速度 v0射入置于光滑水平面上的质量为 M的静止砂箱，子弹在砂箱中前进距离 l 后停在砂箱中，同时砂箱向前运动的距离为 S，此后子弹与砂箱一起以 共 同 速 度 匀 速 运 动 ， 则 子 弹 受 到 的 平 均 阻 力F? ；砂箱与子弹系统损失的机械能 ?E = 。 mM(2m?M)v02Mm2 答案： f?；。 ?E?v0 2 2(m?M)(l?s)2(M?m) 解：设共同运动的速率为 v， 则 mmv0?(m?M)v， v?v0 15 / 99 m?n v v 子弹停止时相对地面移动距离 l + s，则有 ?121212?m2 ?f(l?s)?mv?mv0?mv0?1? 2 222(m?M)? 2 121(m?M)2?11mM(2m?M)v0 ?f?mv0 l?s(m?M)22(m?M)2(l?s)2 16 / 99 能量损失 2 121121m2v01Mm22 ?E?mv0?(M?m)v?mv0?v0 2222M?m2M?m ? 4 如图所示，质量 m =的质点，受合力 F?12ti 的作用，沿 ox轴作直线运动。 ? 已知 t =时 x0=0， v0=0，则从 t = 0 到 t = 3s 这段时间内，合力 F的冲量 I 为 ； 质点的末速度大小为 v? 。 答案： 54N?s； 27m/s。 17 / 99 ?F?12ti 解： m?2kgdvF a?6t dtm v t v0?0 t?0, x0?0,v?3t2 ?dv?6t v0 t1?0,t2?3,v1?v0?0v2?3?9?27m/s； I?m?v?2?27?54N?s 18 / 99 5一轻质弹簧的劲度系数为 k = 100N/m，用手推一质量 m = 的物体 A 把弹簧压缩 到离平衡位置为 x1 = ，如图所示。放手后，物体沿水平面移动距离 x2 = 后停止。求物体与水平面间的滑动摩擦系数为 。 答案： 1 解：在 x1 处，物体和弹簧分离，在物体整个运动过程中，弹性力做功 kx12，摩擦力做功 2 kx1212 ? ?mgx2，根据动能定理有 kx1?mgx2?0，解得 ? 2mgx22 19 / 99 三、计算题 1 图中 A 为定滑轮， B 为动滑轮，三个物体 m1=200g，m2=100g， m3=50g，滑轮及绳的质量以及摩擦均忽略不计。求：注意 m1和动滑轮在同一根绳子上有相同的加速度， m2/m3对动滑轮有相对加速度 每个物体的加速度； 两根绳子的张力 T1与 T2。 113 答案： a1?g， a2?g， a3?g； 555 B 2 T2 T1?， T2?。 20 / 99 解：设两根绳子的张力分别为 T1、 T2； ?m2、 m3相对 B轮的加速度为 a2； m3 m1、 m2、 m3的加速度分别为 a1、 a2、 a3。 根据牛顿运动定律 m1g?T1?m1a1； ?a1) m2g?T2?m2a2?m2(a2 ?a1)； 2T2?T1?0 m3g?T3?m3(?a3)?m3(?a2 由以上六式解得 1 a1?g?/s2 21 / 99 52 ?g?/s2 a2 51 a2?g?/s2 53 a3?g?/s2 5T1? T2?，加速度方向如图所示。 aa 2 1 22 / 99 a?2 a3 3 第一章 质点运动学小结 研究对象：质点机械运动的位臵随时间的变化规律。 ? 核心问题：运动方程 r?r?t? 基本概念： r ? ?r?v? a 定义，性质，作用 , 表示 . 1 23 / 99 x?x0?v0t?at2 2 x?x0?v0t ? x?x?t? 基本规律： 直线运动 : 匀变速直线运动 a?const, v?v0?at, v?v0 匀速直线运动 (特例 ): a?0,变速直线运动 : a?a?t? 曲线运动 : 1.圆周运动 : a?a?x?a?a?v?, 24 / 99 匀速圆周运动 : R, 变速圆周运动 : R, a?const, v v?const, dv,dt S?vt a? t v?ds?S?S?t? 25 / 99 dt dv?a?dt v0 ?dv?a?dtv?v?t? 2.一般曲线运动，叠加原理 (x 向 ,y 向 或 法向 ,切向 ) 基本问题：两类问题 1. 已知： r?r?t? 求 : v, 2. 已知： a ? ?a,? ?r?求导 . ? ? 26 / 99 or:v 和初始条件， 求 : r?r?t?积分 . 注意积分技术的应用： tv dv a?const,a?,adt?dv,?adt?dv,v?v0?a?t?t0? dtt0v0 ? 1).2). 3). a?a?t?, 27 / 99 a?a?v?, dva?t?, dt dva?v?, dt a?t?dt?dv, dv ?dt,avv t0 ?a?t?dt?dv, v0 28 / 99 t tv v?v0?a?t?dt t0 t dv ?dt?avv0t0 4). a?a?x?, dvdvdxdv a?x?v, 29 / 99 (来自 : 海达 范文 网 : 大学 物 理 质 点 动 力 学 总 结 ) dtdxdtdx x a?x?dx?vdv x0 ?a?x?dx?vdv v0 xv 1?v2?v2?a?x?dx 0? 2 x0 30 / 99 基本方法：运用叠加原理处理曲线运动。 第二章 质点动力学 研究对象：质点运动的内在原因 因果律 确定论 有这样的动力 产生这样的运动 研究方法：矢量叠加、微积分 研究内容： 一、基本概念 二、基本规律 三、动能定理、功能原理、机械能守恒定 律 四、动量定理、动量守恒定律 本章以牛顿三定律为依据，通过数学演释的方法，得到动能、动量、角动量的概念和质点运动的有关定理及其守恒定律，这一切构成动力学内容。 一、基本概念：力 1定义：物体之间的相互作用 2三要素：大小、方向、31 / 99 作用点 3性质： 1）矢量性 F? 2）瞬时性： F? ?const F?F?(t)， F?F?， (x)， F? ? 3）独立性： F?F(v? F?)i 一个力 ?n个相互独立的分力 4作用： 1）产生加速度 2）产生形变 5常见力： 1）重力 2）弹性力 3）摩擦力 二、基本规律：牛顿三定律 1.内容： 牛一律：惯性定律 牛二律： F?ma? 32 / 99 核心 矢量性： Fn?man Ft?mat Fx?max Fy?may Fz 瞬时性： F?maz ?const a? ?const F?ma? 代数方程 F?F?(t) F?F?(x) F?F?(v? ) F?m?d2? dv rdt F?mdt 33 / 99 2 微分方程 牛三律：作用反作用定律 2.应用： F?ma? 原则上可解决一切质点的动力学问题 方法：隔离体法 动力学两类问题： 1） 已知运动状态 ,求力 F? ?求导 2） 已知力 F?，求运动状态 ?积分 加速度是联结运动学和动力学的桥梁与纽带。 通过例题体会解题的基本方法，基本步骤，两类问题的解法例：已知： ?m， ? r?kt2?i?bt?j 求 F? 34 / 99 解： v?dr ?dt ?2kti?bj a?dv?2k?i F?dt?ma? ?2km?i 运动结果 运动原因 求导 以上属第一类问题，下面通过例子，讨论第二类问题 例： m?2kg F?4?i?24t2? j t?0， v0?0， x0?0 y0?0， 求运动方程分析：已知 F?，求 r?r? 35 / 99 (t) 第二类问题 步骤： 1.取隔离体： m 2.选坐标系：直角坐标系 3.受力分析 4.理论依据 F?ma? ?a?dv?dt ? v? dxdt 叠加原理 5.写分量式 6.积分求解 7.讨论结果 解： F?m dv 36 / 99 F?a?dv? a?2?i?12t2?dt mdtj advx ?vx? tx?2?dt 0dvx?02dt vx?2t a?12t2 dvy ?vy? t2y?dt 0dvy?0?12tdt vy?4t3 vdxdx ?x? 37 / 99 tx?dt 2t?dt 0dx?02td tx?t2 vdyytdt?4t3 ? dydt ?0dy? 0?4t3y? dt y?t4 运动方程： ?x?t2 ?y?t r?t2?i?t4? 4j 讨论：轨迹方程 y?x2 y 38 / 99 速度公式 ?vx ?2t?v3y ?4t x 加速度公式 ? ?ax?2?ay?12 3范围 宏观、低速、惯性系 强调：矢量性、微积分应 用 39 / 99 地面： 小球 静止 ? F?0 a? ?0 惯 性系 车厢 : 小球 运动 ? F?0 a? ?0 非惯性系 相对惯性系作加速运动的参照系 非惯性系 在非惯性系中牛二律不成立。要使用牛二律须加惯性力 惯性力 F?ma 大小： ma 方向： ?a? 作用点：质心 40 / 99 惯性力 假想力，没有施力者 三动能定理、功能原理、机械能守恒定律 1动能定理： 1）功 定义： 恒力的功： A?F?r?Fcos?r 元功： dA?F?dr? ?Fcos?dr 功： A?badA?F?dr? Fcos?dr 说明： 功是标量，只有大小，无方向 功有正负，决定于 ? ?2 A?0 F 做正功 ? 41 / 99 ?2 A?0 F做功为零 m mg M F 摩擦力做功可正、可负 合力的功 =F?F?分力的功之代数和 ? 1?F2?F3?A?F?dr?(F?F? ?2?F3?)?dr ?F? ?dr? 1?dr?F2?A1?A2? A? 42 / 99 ?Ai iv.作用力的功 反作用力的功 m： 受力 mg 位移 h mgh M：受力 mg 位移 0 0 2）动能： EK? 12 mv2 定义：因运动而具有的作功的本领。 说明： 动能是标量 m,v 相同， EK 相同， v 有相对性， EK有相对性 动能是状态量，态函数 功与动能区别 EK A 态函数 过程量 做功的本领 能量变化的量度 3） 质点动能定理：力的43 / 99 空间累积效应 F?mdv dt Fdvxdvdxdv x?mdt?mxdxdt?mvxxdx Fdx?mv?12 ?xxdvx?d?2 mvx? 同理 : F?1? ydy?d?2mv2y? F?12? 44 / 99 zdz?d?2 mvz? 即 F?dr? ?d(12 mv2)?dEK 微分形式 ? F? ?dr? ? 12mv212 2?2 mv1 积分形式 说明： 合外力的功 =动能增量 45 / 99 功 ， ?EK ；反之亦然 空间累积效应，只与始末状态有关，与中间细节无关 2.保守力的功、势能 1）重力的功： 2）弹力的功： 3）引力的功： 非保守力：做功与路径有关 保守力特点：做功与路径无关 4）势能 定义：由具有相互作用的物体之间的相对位臵所确定的作功的本领 重力、弹力、引力、静电力、分子力均为保守力，相关势能为：重力势能、弹力势能、引力势能、电势能等等。 说明： 属于系统 相对量 零点选取 形式： mgh 46 / 99 12 kx2 ?GMmr2 零点： h?0 x?0 r? A 保 ?(EP2?EP2) 保守力的功 = 相关势能增量的负值 势能 态函数 做功的本领，能量的概念比力的概念更为基本和普适。 3质点系的功能原理： ?A外 ?A 内 ?EK2?EK1 ?A 内 ?A保内 47 / 99 ? ?A 非保内 ?A 保内 ?(EP2?EP1) ?A 外 ?A 非保内 ?(EK2?EP2)?(EK1?EP1) E?EK?EP 机械能 48 / 99 ?A外 ?A 非保内 ?E2?E1 功能原理 说明： 适于系统 实质：质点系动能定理 +势能概念 4机械能守恒定律 条件： ?A外 ?A 非保内 49 / 99 ?0 结论： E2?E1?const 注意与中学区别。 例：求 M 从 B?C, A 重 A弹、 Ec动 解：研究对象： m 受力分析 ： 确定系统： 势能零点： B、 l0 A2A重 ?(?mglsin?0)?mglsin? A?(12k(l?l)2?0)?1 弹 02 k(l?l0)2 A 弹 ?0 why？ 理 论依据 ： A 外 +A 非保内 =0 E=const 初态 ：E1?EK1?EP1?0?0?0 末态： E2?EK2?EP2 50 / 99 ?1mv2?mglsin?1 k(l?l222 0) ECK ?11 2mv2?mglsin?2 k(l?l0)2 四 动量定理、动量守恒定律： 力的瞬时对应效应： F?mdv ?dt 力的时间累积效应： 51 / 99 ? F?dt? ? v2 mdv?v?mv?2?mv1 1 冲量 动量 1冲量和动量 1）冲量 ? F? ?dt 矢量 2）动量 mv? 52 / 99 物体在一定运动状态下所具有的运动量，反映了物体运动所能产生的机械效果 mv? 矢量 相对性 2动量定理： F?dt?mdv? ?d?mv? 微分形式 ? F? dt?mv? 2?mv1 积分形式 1）矢量式： ?Fxdt?mvx2?mvx 1 53 / 99 分量式： ? ?Fydt?mvy2?mv? y1 ? Fz dt?mvz2?mvz1 3动量守恒定律： ? F? ?0 ? 54 / 99 m? ivi?const 内力 外力 外力忽略不计 注意使用条件： ?F? ?0 ?F x ?0 ?miv ix 55 / 99 ?const 刚体定轴转动小结 (与质点类比 ) 运动学描述 质点 (一维 ): 刚体 (定轴 ): x,?x,v?dxdvd2x dt,a?dt?dt2线量 ?,?,?d?dt,?d?d2? dt?dt 2 角量 矢量 .一维用正负表示方向 . 轴矢量 .定轴用正负表示方向 . 运动方程 : 56 / 99 x?x?t? 第 2 章质点动力学习题解答 2-1 如图所示，电梯作加速度大小为 a 运动。物体质量为m，弹簧的弹性系数为 k， ?求图示三种情况下物体所受的电梯支持力及电梯所受的弹簧对其拉力。 解： N?mg?ma N?m(g?a) mg?N?ma N?m(g?a) F?mg?ma F?m(g?a) 22-2 如图所示，质量为 10kg 物体， ?所受拉力为变力F?3t?21， t?0 时物体静 57 / 99 止。该物体与地面的静摩擦系数为 ?s?，滑动摩擦系数为 ?，取 g?10 m/s2，求 t?1s时，物体的速度和加速度。 解：最大静摩擦力 fmax?smg?20(N) F?fmax， t?0时物体开始运动。 F?mg?ma， a?F?mg? m t?1s时， a?(m/s2) ?a?vtdv2， dv?adt， ?dv? 00dt v? t?1s时， v?(m/s) t?02-3 一质点质量为，在 Oxy平面内运动， ?其所受合力F?3t2i?2tj， ? ?时，速度 v0?2j，位矢 r0?2i。求： t?1s 时，质点加速度的大小及方向； 58 / 99 t?1s时质点的速度和位矢。 ?F32?ti?tj 解： a?m2 ax?32t， v0x?0， x0?2 2 t?vx 032t3dvx?tdt， vx? 022 tt?x 2t4t3dx?vxdt?dt， x?2 0028 ay?t， v0y?2， y0?0 ? ?vy2t2dvy?tdt， vy?2 02?ty 0t3t2dy?vydt?(?2)dt， y?2t 0026tt t?1s时， a?3?i?j(m/s2) 2 59 / 99 ?1?5?t2?t3?i?(?2)j， t?1s 时， v?i?j v?2222 ?t3?17?13?t4?i?j r?(?2)i?(?2t)j， t?1s 时，r?8686 2-4 质量为 m 的子弹以速度 v0 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 k，忽略子弹的重力，求：子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；子弹射入沙土的最大深度。 解：依题意 f?kv， ?tvdvtdvkvk? ， ?(?)dt ， 解 得 ： v?v0em a?v0v0dtmmk 根据动量定理 ?t 0(?kv)dt?kdx?0?mv0，解得： x?0xmv0 k 即子弹射入沙土的最大深度 x?mv0 k 60 / 99 2-5 一悬挂软梯的气球总质量为 M，软梯上站着一个质量为m 的人，共同在气球所受浮力 F 作用下加速上升。若该人相对软梯以加速度 am上升，问气球的加速度如何？ 解：设气球开始时的加速度为 a，当人相对软梯以加速度 am上升时的加速度为 a? 当人相对软梯以加速度 am上升时，有： ?F?Mg?T?Ma? ?T?mg?m(am?a) 解以上两式可得： F?(M?m)g?(M?m)a?mam? 开始时刻： F?(M?m)g?(M?m)a? 两种式比较可知， a?a，气球的加速度变小。 2-6 如图所示，在一列以加速度 a 行驶的车厢上装有倾角 ?30 的斜面，并于斜面上放一物体，已知物体与斜面间的最大静摩擦系数 ?S?，若欲使物体相对斜面静止，则 车厢的加速度应有怎样限制？ 61 / 99 解：静摩擦力满足： 0?f?sN 当最大静摩擦力的方向沿斜面向上时，加速度最小。 ? ?Nsin?sNcos?mamin ?Ncos?Nsin?mgs? 解以上两式得： amin?g(sin?scos?)?(m/s2) cos?ssin? 当最大静摩擦力的方向沿斜面向下时，加速度最大 ?Nsin?sNcos?mamin ?Ncos?Nsin?mgs? 解以上两式得： amin?g(sin?scos?)?(m/s2) cos?ssin? 22 欲使物体相对斜面静止，则车厢的加速度的值应满足/s?a?/s 2-7 棒球质量为，用棒击打棒球的力随时间的变化关系如图所示。设棒被击打前后速度增量大小为 70 m/s，求力的最62 / 99 大值。设击打时不计重力作用 。 解：根据面积法可求出力的冲量 I?1?Fmax? 2 根据动量定理，有 I?mv2?mv1?m?v 代入数据解得： Fmax?245(N) 2-8 子 弹 在 枪 筒 中 前 进 时 受 到 的 合 力 可 表 示 为F?500?4?105t (SI)，子弹由枪口飞出 3 时的速度为 300 m/s，设子弹飞出枪口时合力刚好为零，求子弹的质量。 解：子弹飞出枪口时合力刚好 为零，有： 500? I?4?105t?0， t0?10?3(s) 3?t0 0Fdt?500t0?22?105t0?(Ns) 3 (2)根据动量定理 I?mv?mv0?mv，计算得 63 / 99 m?I?10?3?kg?(g) v 2-9 有两个质量均为 m 的人站在停于光滑水平直轨道的平板车上，平板车质量为 M。当他们从车上沿相同方向跳下后，车获得了一定的速度。设两个人跳下时相对于车的水平分速度均为 u。试比较两个人同时跳下和两个人依次跳下这两种情况下，车所获得的速度的大小。 解：两人同时跳下。 在地面参考系中，设平板车的末速度为 v，则两个人跳下时相 对地面的速度为 v?u 根据动量守恒，有： 0?Mv?2m(v?u) v?2mu (M?2m) 一个人跳下，另一个再跳下。 设第一个人跳下车后车的的速度为 v0 0?(M?m)v0?m(v0?u) v0?mu M?2m 设另一个再跳下车后车的速度为 v，以车和车上的人为质点64 / 99 系，有： (M?m)v0?Mv?m(v?u) v?(M?m)v0?mumm?(?)u M?mM?mM?2m 2-10 质量为 m 的人拿着质量为 m0 的物体跳远，设人起跳速度为 v0，仰角为 ?，到最高点时，此人将手中的物体以相对速度 u 水平向后抛出，问 此人的跳远成绩因此而增加多少？ 解：人不向后抛出物体所能跳过的距离为 x?v0t0cos?，式中 t0 为人跳离地面的时间。 由y?vot0sin?2vsin?12gt0?0 可解得： t0?0 2g 222vsin?cos?v0sin2? x?v0t0cos?0?gg 大学物理学知识总结 第一篇 力学基础 质点运动学 一、描述物体运动的三个必要条件 65 / 99 参考系：由于自然界物体的运动是绝对的，只能在相对的意义上讨论运动，因此，需要引入参考系，为定量描述物体的运动又必须在参考系上建立坐标系。 物理模型：真实的物理世界是非常复杂的，在具体处理时必须分析各种因素对所涉及问题的影响，忽略次要因素，突出主要因素，提出理想化模型，质点和刚体是我们在物理学中遇到的最初的两个模型，以后我们还会遇到许多其他理想化模型。 质点适用的范围： 1.物体自身的线度 l远远小于物体运动的空间范围 r 2.物体作平动 如果一个物体在运动时，上述两个条件一个也不满足，我们可以把这个物体看成是由许多个都能满足第一个条件的质点所组成，这就是所谓质点系的模型。 如果在所讨论的问题中，物体的形状及其在空间的方位取向是不能忽略的，而物体的细小形变是可以忽略不计的，则须引入刚体模型，刚体是各质元之间无相对位移的质点系。 66 / 99 初始条件：指开始计时时刻物体的位置和速度，即运 动物体的初始状态。在建立了物体的运动方程之后，若要想预知未来某个时刻物体的位置及其运动速度，还必须知道在某个已知时刻物体的运动状态，即初台条件。 二、描述质点运动和运动变化的物理量 位置矢量：由坐标原点引向质点所在处的有向 线段，通常用r 表示，简称位矢或矢径。 在直角坐标系中 r?xi?yi?zk 在自然坐标系中 r?r(s) 在平面极坐标系中 r?rr0 位移：由超始位置指向终止位置的有向线段，就是位矢的增67 / 99 量，即 ?r?r2?r1 位移是矢量，只与始、末位置有关，与质点运动的轨迹及质点在其间往返的次数无关。 路程是质点在空 间运动所经历的轨迹的长度，恒为正，用符号 ?s表示。路程的大小与质点运动的轨迹开关有关，与质点在其往返的次数有关，故在一般情况下： ?r?s 但是在 ?t?0时，有 dr?ds 速度 v与速率 v： 平均速度 ? 68 / 99 平均速率 ?r?t ?s? ?t 平均速度的大小 ?r?s? ?t?t 质点在 t 时刻的瞬时速度 v? 质点在 t 时刻的速度 drdt 69 / 99 v? 则 ds dt v? 在直角坐标系中 drds?vdtdt v? 式中 vx? dxdydz i?j?k?vxi?vyj?vzkdtdtdt 70 / 99 dxdydz ，分别称为速度在 x轴， y轴， z 轴的分量。 ,vy?,vz? dtdtdt 在自然坐标系中 v?v?0 式中 ?0是轨道切线方向的单位矢。 位矢 r和速度 v是描述质点机械运动的状态参量。 加速度： dvd2ra?2 dtdt 71 / 99 加速度是描述质点速度变化率的物理量。 在直角坐标系中 dvydvxdvzd2xd2yd2z a?i?j?k?2i?2j?2k?axi?ayj?azk dtdtdtdtdtdt dvyd2ydvxd2xdvzd2z 式中 ax?2 ， ay?2 ， az?2，分别称为加速度在 dtdtdtdtdtdt x 轴、 y轴， z 轴的分量。 在自然坐标中 dvv2 a?0?n0?ax?an dt? 72 / 99 dvv2 n0，是加速度 a 是轨道切线方向和法线方向的分量式。 式中 a?0,an? dt? 3、运动学中的两类问题 已知运动方程求质点的速度、加速度，这类问题主要是利用求导数的方法，如已知质点的运动方程为 x?x(t) 则质点的位移、速度、加速度分别为 dxdvd2x ?x?x2?x1;v?;a?2 dtdtdt 73 / 99 已知质点加速度函数 a?a(x,v,t) 以及初始条件，建立质点的运动方程，这类问题主要用积分方法。 设初始条件为： t=0 时， v?v0,x?x0 若 a?a(t)，则因 a?所以 ?dv?a(t)dt v0 v t dv, dt 即 v?v0?0a(t)dt 74 / 99 若 a?a(v)，则因所以 ? v t dv ?a(v)， dt v0 tdv ?dt, a(v)0 求出 t? v v0 75 / 99 dv ，再解出 v?v(t),即可求出运动方程。 a(v) 若 a?a(x)，是因 a?v dv ?a(x)，有 dx ? 4、曲线运动中的两类典型 抛体运动 V V0 vdv?xa(x)dx x 76 / 99 若以抛出点为原点，水平前进方向为 x 轴正向，向上方为 y轴正向，则 运动方程为 x?v0cost? ?y?vsin?t?1gt2 ?2 速度方程为 ?vx?v0cos? ?vy?v0sin?gt 在最高点时 vy?0，故达最高点的时间为 v0sin?tH? g 77 / 99 第二章 质点动力学 2 1 一物体从一倾角为 30?的斜面底部以初速 v0=10ms?1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率 v=7ms?1, 求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力 f uN umgcos30? 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 121 mv?mv02?f?2s22 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 (1) 1 0?mv02?f?s?mgh?f?s?mgssin30? 78 / 99 2 ?s? 把式代入式得， 2(2) u? 2 2如本题图，一质量为 m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧 ADCB下滑，试求小球在 C点时的角速度 和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为 r 。 解：小球在运动的过程中受到重力 G 和轨道对它的支持力 T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 2 79 / 99 ? ?dvFt?mgsin?m dt ?v2Fn?T?mgcos?m2 R 由 v? (1) (2) dsrd?rd?,得 dt?,代入式， 1 dtdtv 习题 2 2图 并根据小球从点 A 运动到点 C始末条件进行积分有， 80 / 99 ? v0 vdv?(?rgsin?)d? 90 ? 得 v?则小球在点 C 的角速度为 v r ? ?mv2 81 / 99 由式得 T?mgcos?3mgcos? r 由此可得小球对园轨道得作用力为 ? T?T?3mgcos?,方向与 en反向 2 3如本题图，一倾角为 ? 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为 m的木块，两 者间摩擦系数为 ?，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度 a 应满足的条件。 解：如图所示 a1?asin?,a2?acos?N?mgcos?ma1?masin?mgsin?uN?m?a2macos? 82 / 99 (1) ?2? m (1)?u?(2)得， g(sin?ucos?)?a(cos?usin?) g(sin?ucos?)g(tg?u) ?amin? (cos?usin?)1?utg?(2)?(1)?u 得，g(sin?ucos?)?a(cos?usin?) g(sin?ucos?)g(tg?u) ?amax? (cos?usin?)1?utg? g(tg?u)g(tg?u)?a?1?utg?1?utg? 83 / 99 习题 2-3 图 2 4如本题图， A、 B 两物体质量均为 m，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则 A和 B的加速度大小各为多少 。 解：如图由受力分析得 mg?TA?maATB?mg?maB2aA?aBTA?2TB 1 解得 aA g 52aB g 5 (1)(2)(3)(4) aA aB 84 / 99 习题 2-4 图 2 5如本题图所示，已知两物体 A、 B的质量均为 m=，物体A 以加速度 a=/s2 运动，求物体 B与桌面间的摩擦力。 解：分别对物体和滑轮受力分析，由牛顿定律和动力学方程得， mAg?FT?mAaFT1?Ff?mBa2a?aFT?2FT1mA?mB?mFT FTFT1?FT1 解得 Ff? (1)(2)(3)(4) ?5? ?6?7? 习题 2 5图 85 / 99 mg?(m?4m)a ? 2 2 6质量为 M 的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为 m 的木块放在斜面上 (如本题图所示 )。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求 M的加速度和 m相对 M 的加 速度。 ?，则 解： m 相对 M 的相对加速度为 am ?am?cos?,amy?am?sin?, amx 在水平方向， ?amx?aMxamx ?aMx?am?cos?aM?amx?amx 86 / 99 在竖直方向 习题 2-6 图 ?amyamy ?sin?amy?am 由牛顿定律可得， ?cos?maM?Nsin?mamx?mam ?sin?mg?Ncos?mamy?mamNsin?MaM 解得 aM? mgsin?cos?(M?m)gsin? a ， m22 M?msin?M?msin? 87 / 99 2 7在一只半径为 R 的半球形碗内，有一粒质量为 m 的小钢球。当钢球以角速度 在 水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高 ？ 解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得， Fsin?man?mR?2sin?Fcos?mgcos?(R?h)/R 解得钢球距碗底的高度 h?R? g?2 2 8光滑的水平面上