人教版数学七年级下-第八章-二元一次方程组补课讲义.docx

寒假培优训练四寒假培优训练四 二元一次方程组题型一：二元一次方程（组）的概念 元一次方程：例1、下列方程， ，中，二元一次方程有 个。例2、方程是二元一次方程，则的取值范围为 .例3、已知方程是关于的二元一次方程，则的取值范围是 .例4.若关于x，y的方程是二元一次方程，则的和为 .例5、若是关于x，y的二元一次方程，其中，则 二元一次方程组：例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是 . （1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.；（9）例5、若方程组是关于的二元一次方程组，则代数式的值是 判断下列方程是否为二元一次方程？并说明理由。 （2）、已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？并说明理由。 题型二：二元一次方程（组）的解的概念例1、若是二元一次方程的一个解，则 .例2、如果是方程的一个解（），那么（） A、m0，n=0 B、m，n异号 C、m，n同号 D、m，n可能同号，也可能异号 例3、方程组和同解，求的值。 例4、已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 .例5、若是方程2x+y=0的解，则 .例6、已知是二元一次方程组的解，则的值为 .例7、关于x，y的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 .题型三：解多元一次方程（组）的问题解二元一次方程组的方法：代入消元法；加减消元法，整体思想（整体代入法；整体加减法）；换元法、分类讨论法。1）代入消元法：1、将方程5x-6y=12变形：若用y的式子表示x，则x=_，当y=-2时，x=_；若用含x的式子表示y，则y=_，当x=0时，y=_ 。xy22 2xy40 那么怎样求这个方程组的解呢？可以发现，二元一次方程组中第1个方程xy22说明y_，将第2个方程2xy40的y换为_，这个方程就化为一元一次方程2x+(22-x)=40。这就是说，二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程。这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.二、例题 解方程组：归纳总结用代入消元法解方程组的一般步骤：（1） 从方程组中选一个系数_的方程，将这个方程中的一个_，如y，用含x的代数式表示，即y=ax+b;（2） 将y=ax+b代入_方程中,消去y,得到关于x的一元一次方程；（3） 解这个_方程，求出x的值；（4） 把求得x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到_的解。也可以说上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.三、课堂练习：解下列方程组（1） （2） （3） 4xy =5 2x4y=24 （4） 课后练习1、（2011柳州）把方程改写成用含的式子表示的形式，得 .2、在方程2x+6y-5=0中，当3y=-4时，2x= _。3、若的解，则a=_，b=_。4、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解，则x=_，y=_。5、用代人法解方程组，把_代人_，可以消去未知数_。6、已知方程组的解也是方程组的解，则a=_，b=_ ,3a+2b=_。7、已知x=1和x=2都满足关于x的方程x2+px+q=0，则p=_，q=_ 。8、当k=_时，方程组的解中x与y的值相等。9、 用代入法解下列方程组:（1） （2） （3） （4） .2）加减消元法：对于方程组 , 可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有别的方法呢？ 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？y的系数_；用可消去未知数_，得_ 解得x=_把_代入得y=_。显然，由也能消去未知数y.思考：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组这两个方程中未知数y的系数互为_，因此由可消去未知数y，从而求出未知数x的值。解 归纳： 当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。例题 用加减法解方程组 想一想：本题如果用加减法消去x该怎么办？把_，_即可。（1） (2) (3) （4） （5） （6） 练习1、方程组中，x的系数特点是_；方程组中，y的系数特点是_.这两个方程组用_法解比较方便。2、用加减法解方程组时，-得_.3、解二元一次方程组有以下四种消元的方法： 由+得2x=18； 由-得-8y=-6； 由得x=6-4y,将代人得6-4y+4y=12； 由得x=12-4y，将代人得，12-4y-4y=6.其中正确的是_。4、已知，则2xy的值是_.5、在等式y=kx+b中，当x=0时，y=2；当x=3时，y=3；则k=_，b=_.6、已知，则=_.7、用加减法解下列方程组： 3） 整体思想：例1、解下列方程组：（1） ； （2）.例2、解下列方程组：（1） ； (2)4）换元法：例1已知方程组的解是，求方程组的解。例2、已知方程组：的解是：，则方程组：的解是 .例3 题型四：二元一次方程（组）与绝对值、同类项的综合运用例1、已知，则 .例2、若，则的值为 .例3、方程的解的值也满足，且，求的值。例4、如果是同类项，那么的取值分别是 . 例5、若是同类项，则 ， . 题型五：模糊以及抄错题问题例1、小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组中第一个方程的系数和第二个方程的系数看不到了，现在已知小丽的结果是你能由此求出原来的方程组吗？例2、甲、乙两位同学一起解方程组甲正确地解得乙仅因抄错了题中的，解得求原方程组中的值题型六：由实际问题抽象出二元一次方程组的问题例1、（2011泰安）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则可列方程 .A、 B、 C、 D、例2、（2010丹东）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分若设（1）班得x分，（5）班得分，根据题意所列的方程组应为 .A、 B、 C、 D、例6、（2010长春）端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元设王老师购买荷包个，五彩绳个，根据题意，下面列出的方程组正确的是 .A、 B、 C、 D、 例7、（2010巴中）巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km一辆小汽车，一辆货车同时从巴中，广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为km/h，km/h，则下列方程组正确的是 .A、 B、 C、 D例8、（2008株洲）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔”解决此问题，设鸡为只，兔为只，则所列方程组正确的是 .A、 B、 C、 D、例9、（2008台州）四川5.12大地震后，灾区急需帐篷某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么下面列出的方程组中正确的是 .A、 B、 C、 D、例10、“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为，乙数为，则列出方程组：（1）；（2） ；（3）；（4）中，其中正确的有 。A、1组 B、2组 C、3组 D、4组例12、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，则可列方程组为 .题型七：方程及方程组的应用问题本节我们探究如何用二元一次方程组解决实际问题。同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流。探究1.100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个,小和尚3人吃一个。大、小和尚各多少人？分析：设大和尚有x人，小和尚有y人。由题意可知，每个大和尚吃3个馒头，每个小和尚吃1/3个馒头。找出相等关系，列方程组 ， 。解这个方程组得 x= y=。因此，大和尚有-人，小和尚有-人。探究2根据一家商店的账目记录，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元。这个记录是否有误？如果有误，请说明理由。分析：设一支牙刷x元，一盒牙膏y元，根据问题中的数量关系，列方程组 。解这个方程组，得 x=-y=- 根据你得到的方程组的解，判断这个记录是-。九章算术是中国古代一部重要的数学著作，编写时间不能确定，但至少在约公元前20050年成书。书中有246个问题，分为九章。其中“方程”章的第一题原文为：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”译成现代汉语是这样的：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗.求上，中，下三等谷每束各是几斗？设上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗。根据题意，得三元一次方程组 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26与解二元一次方程组相类似，通过消元可以使上面的方程组转化为二元一次方程组，进而求出各个未知数。从以上探究可以看出，方程组使解决含有多个未知数问题的重要工具。要根据问题中的数量关系列出方程组，解出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义。练习：我国古代数学名题。（1） 大约在1800年前，我国有一本世界著名的算术书，名叫孙子算经。书中有一道流传久远的名题，原文是：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔个几何？”（2） 九章算术中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”（3） 孙子算经：今有木，不知长短。引绳度之 ，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。木长几何？“（4） 在我国民间流传着这样一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人7两少7两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，多少人分多少银？（5） （杨损问题）唐朝时，有一位懂数学的尚书叫杨损。他曾主持了一场考试。其中有一题是：有一天，几个盗贼正在商议怎样分配偷来的布匹。贼首说，每人分6匹布，还剩下5匹布；每人分7匹布，还少了8匹布。这些话被躲在暗处的衙役听到了，他飞快的跑回官府，报告了知府，但知府不知道有多少盗贼，不知派多少人屈抓捕他们。请问：有盗贼几人，布匹多少？（6） 一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一致鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？（7）龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只思路导航：关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性1） 工作量问题2） 思路导航：工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.基本等量关系为：工作量工作效率 工作时间；例1、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10，乙种机器产量要比第一季度增产20该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？例2、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？例3、重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半。后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半。乙型挖土机单独挖这块地需要几天？ 行程问题思路导航：行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程速度时间；例1、某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.例2、通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？例3.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.3） 分配问题 思路导航：这类问题要搞清资源的变化情况 例1、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底可以配成一个完整的盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以恰好制成一批完整的盒子？例2、某家具厂生产一种方桌，设计时的木材可做50个桌面或做300条桌腿。现有的木材，求怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，可使生产的桌面、桌腿刚好配套，并指出生产多少张方桌（1张方桌有一个桌面，4条桌腿）.通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？例3、某服装厂要生产一批服装，已知3米长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产这一批服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？4） 利率问题思想导航：储蓄问题中基本量之间的关系：，利息=本金利率期数，利率=.例1、小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）例2、某同学的父母用甲、乙两种形式为其存储了一笔教育储蓄金10 000元，甲种形式年利率为，乙种形式年利率为,一年后，这名同学得到本息和共10242.5元，那么该同学的父母为其存储的甲、乙两种形式的教育储蓄金各为多少元？5） 盈亏问题例1、某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，按成本计算，一套赚了20%另一套亏了20%。则商贩在这次买卖中盈亏了多少？例2、新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560元，为了发展农业科技，乙种书籍送下乡共卖得1350元，按甲、乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍盈利，乙种书籍亏本，试问该书店一天共盈利（亏本）多少元？6） 数字问题例1、一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是多少？例2、一个两位数，十位上数字是个位上数字的两倍，把这个两位数个位上数字与十位上数字对调得的新两位数比原两位数小27，求原两位数.例3、甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，你能求出原来的两个加数吗？7） 和、差、倍、分问题思路导航：基本等量关系为：(和差)2大数 ； (和差)2小数 ；和倍问题： 和(倍数+1)小数 小数倍数大数 (或者 和小数大数) 差倍问题： 差(倍数1)小数 小数倍数大数 (或 小数差大数)例1、有两缸金鱼，如果从甲缸中取出5条放入乙缸，两缸内的金鱼数相等。已知原来甲缸的金鱼数是乙缸的1又