随机事件及其概率.ppt

概率论与数理统计,开课系：公共教学部教师:白强e-mail:919901320电话教材：概率论与数理统计袁荫棠编中国人民大学出版社,参考书：1.概率论及数理统计中山大学数学力学系编人民教育出版社2.概率论与数理统计教程魏宗舒编高等教育出版社3.概率论及数理统计浙江大学编高等教育出版社,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象量的统计规律性的科学,序言,在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象：确定性现象：在一定条件下事先可以断言必然会发生某种结果的现象；,不确定性现象（随机现象）：在一定条件下，可能出现这种结果，也可能出现那种结果。事先不能预言会出现哪种结果的现象。,第一章随机事件及其概率,随机事件概率概率的加法法则条件概率与乘法法则独立实验概型,1.1随机事件一、随机试验(简称“试验”),对随机现象进行观测称为随机试验随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行；（必然性）2.每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可以明确试验的所有可能结果;（可示性）3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。（偶然性）随机试验可表为E,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。概率论中研究的随机现象不是日常人们所谈的偶然现象，它有特定的含义和特点。,随机实验的例,随机事件,二、随机事件,每次实验中，可能发生也可能不发生，而在大量实验中具有某种规律性的事件称为随机事件。简称为事件通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示基本事件：不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件复合事件：由基本事件复合而成的事件,必然事件、不可能事件,必然事件（）：每次试验中一定发生的事件不可能事件（）：每次试验中一定不发生的事件,三、样本空间：,1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为=；2、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为.3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为.,EX给出E1-E7的样本空间,随机事件,1.定义：试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素2.两个特殊事件:必然事件、不可能事件.例如对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000x3C=xlxP(A)?何时P(A|B)0,则P(AB)P(A)P(B|A).(1.10)若P(B)0,则P(AB)P(B)P(A|B).式(1.10)就称为事件A、B的概率乘法公式。,式(1.10)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).(1.11),例5、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。,根据乘法法则：P(AB)=P(A)P(B/A)=0.70.95=0.665P(B)=P()P(B/)=0.30.8=0.24,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(B/A)95%P(B/)=80%,例6：10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回）甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签，以及甲乙丙都抽到难签的概率,解：设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,例7盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球且第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,EX,P2718、19、20,三、全概率公式与贝叶斯公式,例1.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,例2、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。求从市场上买到一个灯泡是合格灯泡的概率。试判断该合格灯泡是甲厂生产的概率,P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B/A)+P()P(B/)=0.665+0.24=0.905P(A/B)=P(AB)/P(B)=0.665/0.9050.7348,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(AB)=0.665P(B/A)95%P(B/)=80%P(B)=0.24,定义:事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,定理1.1(p17)设A1，,An是的一个划分，构成一个完备事件组,且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,式(1.12)就称为全概率公式。,例3:有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,定理2(p18)设A1，,An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B，有,式(1.13)就称为贝叶斯公式。,思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。试判断该次品是甲厂生产的概率,由全概率公式：,由Bayes公式:,例5(88.3)商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.,问这一箱含有一个次品的概率是多少？解：设A“从一箱中任取4只检查,结果都是好的”.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例6：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。,解：设事件Ai、Bi、Ci分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球（i0、1、2、3）则且B0、B1、B2、B3构成一个完备事件组,根据全概率公式：,有,条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,EX,P2722、23、26、30,定义1.4(P20)如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P(A/B)=P(A),则称事件A对于事件B独立。若A对于B独立，则B对于A也一定独立，称事件A与事件B相互独立。,1.5独立试验概型,(一)事件的独立性,定义1.5如果n(n2)个事件A1,A2,An中任何一个事件发生的可能性都不受其他一个或几个事件发生与否的影响，则称A1,A2,An相互独立,一、两事件独立,等价于：,根据定义1.4设A、B是两事件，P(B)0,若,则称事件A与B相互独立。,二、三个事件的相互独立,根据定义1.4和1.5若三个事件A、B、C满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：(4)P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。,关于独立性的几个结论如下：,2.以下四个命题等价：,1.事件A与B相互独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B),3.若事件A1,A2,An相互独立，则有,注意:互斥与独立的区别,4.在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算,独立通常用于概率的乘法运算。,1.互斥的概念是事件本身的属性；独立的概念是事件的概率属性。,2.两事件互斥,即A与B不能同时发生；AB独立是指A与B的概率互不影响.P(A/B)=P(A),3.若0P(A)1,0P(B)1,互斥一定不独立；独立一定不互斥。,思考题：,证明：概率为1的事件与任何事件都相互独立；概率为0的事件与任何事件都相互独立；,概率为1的事件与其他事件什么关系？,概率为0的事件与其他事件什么关系？,?,例1甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，并假定中靶与否是相互独立的。求下列各事件的概率：,两人都击中靶的概率甲击中乙未击中的概率甲不中乙中的概率目标被击中的概率,解：设A、B分别表示甲、乙击中目标,例2甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率；机床因无人照管而停工的概率。,解:设A=“机床甲不需要工人照管”;B=“机床乙不需要工人照管”;C=“机床丙不需要工人照管”;根据题意,A、B、C相互独立，并且P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85,求机床因无人照管而停工的概率。,即求至少有两台机床同时需要照管的概率,例3若例1中的3部机床性能相同，设P(A)P(B)P(C)0.8，求这段时间内恰有一部机床需要照管的概率；恰有两部机床需要照管的概率；,解：设Di“恰有i部机床需要照管”则P(D1)=P(D2),例4若例1中有n部机床性能相同，每部机床需要照管的概率为：P(A1)P(A2)P(An)p，求这段时间内恰有k部机床需要照管的概率；,P(Dk)=,例5：如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,解：设A“L至R为通路”,Ai“第i个继电器通”,i=1,2,5,解法二：设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2ikn，具有等式P(Ai1Ai2Aik)P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)则称n个事件A1，A2，An相互独立。,思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则,2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？,答:0.518,0.496,三、事件独立性的应用,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则(1.15),2、在可靠性理论上的应用P23,24如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,EX,P2932、33、34、36,(二)独立试验序列概型,在概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响，称这n次试验是相互独立的。,进行n次试验，如果这n次试验满足：,)每次试验的条件相同)每次试验的结果互不影响称这n次试验为：n次重复独立试验概型。特别的：当每次试验只有两种可能结果，即只有事件A与，且在每次试验中P(A)=p,P()=1-p时，称为n重贝努里试验概型,例1一批产品的废品率为0.1，每次抽取一个，观察后放回去，下次再取一个，共重复3次，3次中恰有两次取到废品的概率,解：设B2“3次中恰有两次取到废品”Ai“第i次取到废品”(i=1,2,3)则A1A2A3，1A2A3,A12A3,A1A23,A123,1A23,12A3,123P(B2)=P(1A2A3+A12A3+A1A23)=P(1A2A3)+P(A12A3)+P(A1A23)=0