反函数常见题型11-副本.doc

提高兴趣 增强自信 总结规律 规范答题 对接高考 分层教学 学好反函数需掌握的11种题型及方法反函数是高中数学的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，现归纳整理反函数的几种题型及其解法，供复习参考.一. 反函数存在的充要条件例1.函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数。而已知函数在区间1，2上存在反函数所以或者，即或，故选（C）点评：函数在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数在定义域内的单调函数，那么函数f（x）必存在反函数；如果函数f（x）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f（x）在这个子区间上必存在反函数。y=是映射反函数 x=是映射.因此, y=存在反函数的充分必要条件是所属区间上,x、y应该一一对应.二. 反函数的求法例2.函数y=的反函数为（） 解：y=，取常用对数，得2x=lny,x=lny.其中 即y0.因此，反函数是.选（B）.例3.y=2+1(x0) 的反函数（）A y=log, B y=-logC y=log D y=log 解：解方程y=2+1，得x=log,即y=log.的定义域.故选(A)注：求反函数解析式要注意其定义域例4.函数的反函数是（ ）A. B. C. D. 解析：由可得，故，从解得因，所以，即其反函数是故选（B）。评注：这种类型题目在历年高考中比较常见。在求反函数的过程中必须注意三个问题：（1）反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；（2）求反函数的步骤：求原函数的值域，反表示，即把x用y来表示，改写，即把x与y交换，并标上定义域。其中例3在反表示后存在正负两种情况，由反函数存在的充要条件可知，只能根据函数的定义域（）来确定，再结合原函数的值域即可得出正确结论。另外，根据反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。例如：求的反函数。由可得，反表示解出，由应取，即，所以为其反函数。（3）f（x）与互为反函数，对于函数来说，其反函数不是，而是。同理的反函数也不是，而是。三. 求反函数定义域、值域类型1.求原函数的定义域 例5.函数反函数是，求定义域 解：原出数定义域是反函数值域，的值域是，故函数定义域是2.求反函数定义域例6.函数f(x+1)=log(x+2)+x+2x+3的定义域，求反函数定义域解：f(x+1)的值域，f(x+1)与f(x)的值域相同，反函数定义域是注：从另角度看，f(x)=log(x+1)+x+2的值域是其反函数的定义域，但是此时它的定义域是，不要误认为是,从而出现f(x)的值域不是错误.3.求反函数值域例7.若为函数的反函数，则f1（x）的值域为_。解析：通法是先求出f（x）的反函数，可求得f1（x）的值域为，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f1（x）的值域为。评注：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。四. 反函数的奇偶性、单调性类型例8. 函数的反函数是（ ）A. 奇函数，在（）上是减函数B. 偶函数，在（）上是减函数C. 奇函数，在（）上是增函数D. 偶函数，在（）上是增函数解析：因为在（）上是增函数，在（）上是减函数所以在（）上是增函数，易知为奇函数利用函数与f1（x）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C）。解：偶函数无反函数，排除B、D；原函数在（0，+）上是增函数，反函数也增函数.故选（C）.注:利用函数与f1（x）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数、偶函数无反函数这三条性质，立即选（C）。五. 反函数求值类型例9.设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，则_。解析：由，可知函数f（x）的图象过点（4，0）。而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数f（x）的图象上，即有，所以。评注：此题是关于反函数求值的问题，但又综合了函数图象关于点的对称问题。在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f（x）存在反函数时，若，则。例10.设f1（x）是函数的反函数，若，则的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 分析：直接利用：若，则。选（B）。例11.已知函数是奇函数，当时，设的反函数是，则 .解：易求当时，。解方程和，前者x=-2,后者无解. 则-2.例12.设是函数的反函数，若，则的值为（ ）A1B2C3D解: 即，即.求得，。=8，a+b=3,于是=.选（D）.注;涉及的值时,往往从它的意义入手,通过解方程,得x=,较为简便.例13. 设，已知 y=g(x)的图象与的图象关于直线y=x 对称，则 g(3)= 。解析 ：我们知道， 反函数有一个非常重要的性质，即若点（a，b）在原函数上，则（b，a）一定在反函数上，反之也成立。于是可设（4，a）为 y=g(x) 图象上的任一点，则（a，4）为图象上的一点，（a+1，4）为图象上的一点，从而（4，a+1）为 y=f(x) 图象上的一点,代入y=f(x)的解析式，有。点评：在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f（x）存在反函数时，若，则。得来全不费工夫，反函数的一个简单而又重要的性质发挥了威力，这是逆向思维在解题中的重要体现。六. 反函数方程例14.已知函数，则方程f1（x）=4的解x=_。解析：当函数f（x）存在反函数时，若，则。所以只需求出的值即为f1（x）=4中的x的值。易知，所以即为所求的值。评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。即先求出反函数f1（x）的解析式，再解方程f1（x）=4，也可得。七. 反函数不等式例15.设f1（x）是函数的反函数，则f1（x）1成立时x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解析：由，知函数f（x）在R上为增函数，所以f1（x）在R上也为增函数。故由f1（x）1，有而可得故选（A）。评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。而下面的题目选用常规方法解则更为简便。解析：由，知函数f（x）在R上为增函数，所以f1（x）在R上也为增函数。例16.设f1（x）是函数的反函数，则下列不等式中恒成立的是（ ）A. B. C. D. 分析：依题意知。画出略图，故选（A）。八. 反函数图象例17.已知函数的反函数是，则的图象是（ ）解析：由题意知则所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。故选（C）。评注：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于直线对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x对称，这种函数称为自反函数。例18.则的图像是（）解：研究反函数图像,往往通过观察原函数的图像实现.先研究f(x)解析式。得它是一段圆弧，圆心（0，1），反函数图像也是一段圆弧，圆心（1，0）.故选(B) 例19.已知函数y=log的反函数是,则函数的图像是( ) 解:根据性质特征解.=,=,图像过点(1,1),且其值域为(0,).可见,答案选(C).九、求字母参数例20.的反函数是,的图像过Q(5,2).求b.解:f(x)的图像必过(2,5),代入,得 b=1.例21.设k1，f(x)=k(x-1)(xR) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图像与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( )(A)3 (B) (C) (D)解：f(x)=k(x-1)图像过点A（1，0），则B（0，1），四边形OAPB的面积可以分成三角形OPA和OPB，且等于三角形OPA面积二倍.求出点P (3,3).从而求出k=.故选(B).注：原函数图像上的点(a,b),在反函数图像上对应点是(b,a).这是一个经常用到的重要结论.十. 求互为反函数图像交点例22.求f(x)= 图像与反函数图像交点坐标.解:先求反函数f(x)=,解方程,得x=0或1. 从而交点坐标是(0,0)(1,1).例23.在P(1,1)、Q(1,2)、N M(2,3)四个点中，函数y=与其反函数的图像的公共点只可能是（ ） A 、 P B、 Q C 、M D、N解：把N点坐标代入y=，a=；代入其反函数解析式中，也有a=，说明N一定在函数y=与其反函数的图像上。另外，画出两函数图像的示意图如右图（1），看出P(1,1)、Q(1,2)、M(2,3)三点都不在图像上。因此，选（D） 注：指数函数与其反函数图像的公共点并不都在直线y=x上;位于直线y=x两侧互为反函数图像的公共点（a，b）、（b，a）是成对出现的; 互为反函数图像各自与直线y=x有惟一交点时，这两个交点必重合与直线y=x上一点，若各自与直线y=x有两个交，分别重合与直线y=x上两点处，如右图。十一、与反函数有关的综合性类型例24.设，f（x）是奇函数，且。（1）试求f（x）的反函数f1（x）的解析式及f1（x）的定义域；（2）设，若时，恒成立，求实数k的取值范围。解析：（1）因为f（x）是奇函数，且，所以，得所以，可求得，令，反解出，从而（2）因为，所以，由得所以，即对