【硕士论文】包装装潢设计中三维分形图像的参数化设计.pdf

摘要 论文题目：包装装潢设计中三维分形图像的参数化设计 学科专业：包装工程 研究生：师蕾签名： 指导教师：和克智副教授签名： 摘要 、一 ， 7曩吝 劣人古 在现代社会中，商家为了在激烈的竞争中能够不断扩大市场，对商品外观包装的装潢 设计有了越来越高的追求。以传统的计算机绘图方法为基础用欧氏几何的理论来描述的图 形，绘制的都是一些表面平滑、形状规则的几何图案，然而在设计包装图案时常常需要设 计比较多的任意图形，有时更需要一些抽象的、效果逼真的三维图形来满足消费者的审美 需求。分形图形丰富的层次、深刻的内涵，奇丽变幻的效果恰恰可以满足人们的这种需要。 如今，分形图案设计在包装、装演、商标、标识、封面、服装等图案设计中正在发挥着特 殊的功效，分形图案设计已成为一门热门的学科和一种既有创意又富效率的设计手段。因 此，分形图像的研究对包装设计的发展有着极为重要的意义。 针对以上问题，本文在V C + + 6 0 平台上结合O p e n G L 技术，实现了复数分形系统 M a n d e l b r o t 集和J u l i a 集的图像绘制，同时为用户提供了参数输入、图像局部放大、颜 色模式、光源设置、图像的平移、旋转、放大、三维动画效果等交互式操作，提高了分形 图像的绘制功能，简洁的界面操作增强了软件的实用性，不仅使生成的分形图像更加丰富 多彩，同时还使分形图像的设计变得更加简便、快速，方便包装设计人员的使用，为设计 者提供了丰富的图像素材。此外，本文所开发软件采用模块化设计，易于移植和添加新的 功能，方便系统的二次开发。 关键词：包装设计；分形；二维；三维；M a n d e l b r o t 集；J u l i a 集；四元数；法向量；O p e n G L A b s t r a c t T i t l e ：P A R A M E T R I CD E S I G NF O R3 DF R A C T A LG R A P H l C SI N P A C K I N GD E S l G N M a j o r - P a c k a g i n gE n g i n e e r i n g N a m e = L e iS H I S u p e r v i s o r ；A s s o c i a t ep r o f K e z h iH E A b s t r a c t S i g n a t u r e ： S i g n a t u r e ： A tp r e s e n t ，i no r d e rt oe x p a n dm a r k e t ，b u s i n e s s m e ns e e kg r e a t e rp a c k i n g d e s i g n G r a p h i c s b a s e do nE u c l i dG e o m e t r yi sn o tg o o de n o u g ht op a c k i n gd e s i g n W h i l ed e s i g n i n gap a c k i n g g r a p h i c s ，l i f e l i k e3 Dg r a p h i c sC a nm a k eaf u l lp e r f o r m a n c eo fc o n c e i v ew h i c hd e s i g n e rw a n tt o r e p r e s e n t P a c k i n gd e s i g n e rc a na p p l yt h ef r a c t a lt h e o r yt od e s i g nf r a c t a lg r a p h i c s I th a sh i g h p r a c t i c a b i l i t ya n da r tv a l u ei nt h ep a c k i n gd e s i g n T h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho fg r a p h i c sb a s e do n F r a c t a lG e o m e t r yh a ss p e c i a ls i g n i f i c a n c ei nt h ed e v e l o p m e n to f p a c k i n gd e s i g n S o ，P a r a m e t r i cd e s i g nf o rc o m p l e xf r a c t a lg r a p h i c sd e s i g n e du n d e rV C 抖p l a t f o r mi nt h i s p a p e r W i t hO p e n G La n dl a wv e c t o r , t h i ss y s t e mC a np r o t r a c t2 Da n d3 Dg r a p h i c s T or e a l i z e t h e3 Df r a c t a l ，t h eq u a t e r n i o ni Sa p p l i e da st h ei t e r a t i o nv a r i a b l et oc r e a t et h e4 DJ u l i as e ta n d M a n d e l b r o ts e t A f t e ri n t r o d u c i n gh o wt oi m p l e m e n tt h e3 Dv i s u a l i z a t i o na n dt h ec h o i c eo ft h e i t e r a t i o nm e t h o d ，t h ep a p e rd e m o n s t r a t e si nd e t a i lt h ec o n c r e t ep r o c e s so ft h eg e n e r a t i o no ft h e q u a t e m i o nf r a c t a l ，a n ds h o w st h eg r a p h i ce x a m p l e s B e c a u s et h ej u d g m e n tc r i t e r i o no nt h e e s c a p et i m ea l g o r i t h mi si m p r o v e d ，t h eo b j e c ts e ti st h eb o u n d a r ys e t t h es y s t e mp r o v i d e sv a s t g r a p h i co p e r a t i o n si na d d i t i o n K e yw o r d s ：P a c k i n gD e s i g n ；F r a c t a l ；2 D ；3 D ；M a n d e l b r o tS e t ；J u l i aS e t ；Q u a t e r n i o n ；L a w v e c t o r ；O p e n G L 引言 1 引言 1 1 课题研究背景 分形几何学起源于上世纪7 0 年代，被誉为大自然的几何学。早在一百多年以前，数学 家就已注意到一类行为古怪、特性奇异的曲线，如脍炙人口的C a n t o r 集、V o nK o c h “雪花”， S i e r p i n s k i “地毯”等。自然界和社会中许多现象，诸如海岸线、云彩、股市的变化规律等都 属于分形，分形概念的提出为准确地描述自然现象、社会现象提供了一种崭新的、有效的 数学模型和工具。分形涉及的范围极为广泛，己经遍及到甚至经济、社会和艺术等多个学 科和领域。 随着计算机技术尤其是计算机图形学的发展，分形图形在人们面前展现出一个瑰丽多 采、变幻莫测的美丽世界。分形已从一种分析工具变为同时又是一种设计工具，分形设计 在自然景观重构、非光滑不可微曲线曲面生成、艺术装饰纹理设计、计算机动画、仿真形 体生成等方面逐渐显现巨大的威力，而且基于分形设计的图案还具有保真性和防伪性。 在高速发展的现代社会中，随着人们生活水平的不断提高，对各种事物的要求也就越 来越高了。商品是人们生活中必不可少的东西，因此人们对商品外观包装的装潢设计也就 有了越来越高的追求。以传统的计算机绘图方法为基础用欧氏几何的理论来描述的图形， 绘制的都是一些表面平滑、形状规则的几何图案，然而包装设计者在设计包装图案时常常 需要设计比较多的任意图形，有时更需要一些抽象的、效果逼真的三维图形来满足消费者 的审美需求，分形图形层次丰富、内涵深刻，它的奇丽壮观、变幻莫测恰恰可以满足人们 的这种需要。如今，分形图案设计在包装、装演、商标、标识、封面、服装等图案设计中 正在发挥着特殊的功效，分形图案设计已成为一门热门的学科和一种既有创意又富效率的 设计手段。川1 1 2 本课题在国内外的研究状况和发展趋势 分形是一门新兴的学科，目前仍处在不断发展中。当前分形理论的研究主演分三种类 型：一、分形的基础理论研究。如分形集位数的性质与估计，分形集的局部结构，分形集 的交与积，随即分形理论等方面的研究；二、分形理论在实际应用中的研究。分形理论在 化学、物理学、地震学、生命科学、艺术等方面有广泛的研究；三、分形图形的生成方法 研究。这三类研究相比之下，第一类问题的研究者较少，出成果的速度缓慢，尤其是分形 集维数的估计及本质认识，分形集结构的深入认识，分形函数的“导数”等方面进展缓慢， 但是在分形压缩方面却不断有新的成果出现并投入了实际应用。后两类问题的研究者较 多，出成果的速度也很快，尤其是分形理论在物理、化学、材料科学、计算机图形学等多 个学科的应用取得了令人注目的成绩，特别是目前在一些广告、电脑游戏、计算机动画、 西安理工大学硕士学位论文 书籍报刊的封装、艺术作品中，已成功的应用了分形技术。 本文研究分形理论中复数分形系统的三维图像生成及其参数化。下面具体介绍这方面 的研究状况。1 9 7 5 年，I B M 公司的科学家曼德勃罗特( B B M a n d e l b r o t ) 提出分形几何 的概念，但最早的工作可追朔到1 8 7 5 年，德国数学家维尔斯特拉斯( K W e i e r e s t r a s s ) 构 造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托( G C a n t o r ，德国数学家) 构造了 有许多奇异性质的三分康托集。1 8 9 0 年，意大利数学家皮亚诺( G P e a n o ) 构造了填充空 间的曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学家科赫( H y o nK o c h ) 设计出类似雪花和岛屿边缘的一类 曲线。1 9 1 5 年，波兰数学家谢尔宾斯基( W S i e r p i n s k i ) 设计了像地毯和海绵一样的几何 图形。这些都是为解决分析与拓扑学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的 源泉。1 9 1 0 年，德国数学家豪斯道夫( E H a u s d o r f f ) 开始了奇异集合性质与量的研究， 提出分数维概念。1 9 2 8 年布利干( G B o u l i g a n d ) 将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由 此能将螺线作很好的分类。1 9 3 2 年庞特里亚金( L S P o n t r y a g i n ) 等引入盒维数。1 9 3 4 年， 贝塞考维奇( A S B e s i c o v i t c h ) 更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维， 他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中做出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫一贝塞考 维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作 为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 作为计算机图形学的一个分支，用分形方法生成的图像向人们展示了在简单的数学模 型中蕴涵的内在美、对称性和复杂性。在二维平面上，广大学者借助复变函数理论对复平 面上J u l i a 集( J 集) 和M a n d e l b r o t 集( M 集) 的无限精细结构、周期轨道和自相似性等进行了 系统、详尽和精确的分析，推动了分形理论的不断发展。 在三维空间的研究中，1 9 8 2 年，A l a n N o r t o n 首次将哈密顿四元数应用于三维分形集 的生成，并采用边界检测法来绘制这些复杂结构，最早观察到了三维分形集的全局图像。 此后为了克服边界检测法的局限性，并获得更真实的三维分形表面，J o h nC H a r t 提出了 体光线跟踪法，该方法以图像空间为序，直接研究光线通过体数据场时的变化，对内存要 求低，并可得到具有不同层次细节结构的高质量三维分形图像。1 9 8 9 年，N o r t o n 提出了 构造四维空间中具有多种不同结构的J u l i a 集的方法，并通过边界检测法绘制的J u l i a 集图 像验证了该法的有效性。1 9 9 0 年，J o h nC H a r t 在前人工作的基础上提出了能实现J u l i a 集交互显示的反迭代法。以上研究均采用哈密顿四元数作为迭代运算工具，所得到的三维 分形集具有相同的形式( 即旋转对称结构) 。S B e d d i n g 等人甚至认为，哈密顿四元数乘法 的不可交换性决定了利用其所获得的分形集难以具备与复平面分形集相提并论的重要意 心 1 2 1 】1 2 2 11 2 3 1 ，o 此后，研究者们开始寻求借助其他数学理论或工具生成三维分形集的方法，先后提出 了基于满足乘法交换律的双复数和变异的“复数化”四元数构造三维分形集的方法。近十几 年来，研究者们开始探索直接在三维算术空间中构造三维分形集的方法，分别采用二次多 项式映射、三元数和参数化函数来构造分形集，不仅丰富了三维分形集的形式，而且有效 2 引言 地避免了四元代数法构造三维分形集时，由四维到三维的投影过程所引起的信息丢失、不 直观和不可控，推动了复平面分形集在三维空问中的拓展。2 4 2 5 1 1 3 课题研究目的和研究意义 近年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又 有巨大的实用价值。分形图形层次丰富、内涵深刻，体现了各种类型的混沌和有序，并且 只有用计算机才能产生出来，任何高明的画家均无法绘制。分形图形计算机生成的参数化 设计，可以使分形从抽象的理论研究进入到实际设计应用中，从而减少设计人员编制、调 试绘图程序的时间。将生成的分形图像应用于包装设计中，再利用常用的图像软件进行处 理将会创造出更为丰富多彩的图案，为产品包装装潢设计和防伪提供了一个新思路，给包 装产业带来了新的活力，具有可观的实用价值和广阔的发展前景。 一般认为分形图形在包装印刷中有如下用途： l 、制作成各种尺寸的装饰画( 用卡纸装裱，可获得很好的装饰画效果) 。 2 、用作包装材料图案，效果新颖。 3 、将分形图形用于信息加密防伪。 4 、研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印染工艺。 5 、印制分形贺卡、明信片和小台历。 1 3 1 分形在包装装潢设计中的美学意义和艺术价值 从复杂科学理论衍生出的分形艺术( F r a e t a lA r t ，F A ) ，是科学家为现代美学贡献的瑰 宝，到目前为止约有2 0 多年的历史，1 9 8 4 年，德国布来梅大学动力系统计算机图形室的培 特根等制作出第一批分形图片，而它第一次引起公众注意是1 9 8 5 年在科学美国人上一 篇关于M a n d e l b r o t 集的文章。 分形使人们觉悟到科学与艺术的融合、数学和艺术审美上的统一。分形图形的生成与 设计的基本原理，除了与普通艺术图案具有相同的规律和法则之外，最主要的是运用了分 形的自相似性，在图形生成过程中引入递归或迭代，以及对局部过程加进随机扰乱。分形 之美在于它的图形变幻莫测、层次丰富、形态结构的不规则性和随机性，这正是图形艺术 创作所要追求的最高境界。四1 分形艺术的美学意义在于：1 ) 有科学内涵，作品有内在的 数学结构；2 ) 一般采用计算机数值计算，是现代科学与现代艺术的完美结合；3 ) 画面一 般具有多重自相似结构；4 ) 有后现代主义的风味，美感是其第一考虑。 同时，分形为包装装潢设计带来了新的造型语言和表达方式，它用一种新的“语言” 描述自然界中的复杂形状。在该语言中，元素可能是一些计算规则，通过数值计算得到可 视图形，并凭借计算机显示。用分形理论来绘制图形，不但为包装设计者们提供了一种全 3 西安理工大学硕士学位论文 新的设计手法，而且能够让设计者有更大的想象余地和发挥空间，可以将设计者的构思充 分地表现出来。而且，分形图案变幻莫测、色彩绚烂而美丽，将其应用到包装设计中除具 有实用性外，还有很好的艺术价值，更能吸引消费者，刺激其购买欲。此外，三维分形图 形还可用作三维包装容器效果图中的三维贴图素材、包装容器的材质与纹理以及包装材料 图案等，效果新颖，形象逼真盯1 。 1 3 2 分形在包装防伪中的应用价值 过去防伪技术的应用局限于货币、有价证券、特种行业等。但如今，假冒现象已不再 仅限于钞票、支票和债券。药品、烟草和酒类等贵重物品现在也经常成为假冒对象，防伪 已经成为一个迅速增长的市场。目前，国内外的防伪技术主要限于：特种油墨、纸张、制 版与印刷、激光全息防伪。把印刷与计算机数字化技术结合起来制作防伪商标是一个必然 趋势。 将计算机产生的分形图像可以叠加在产品的防伪商标或标识上，甚至作为标识其中的 一部分，从可以达到很好的防伪效果。由于分形图像具有无限自相似性及无限细致性的特 征，分形图像对于系统本身具有不确定性，它对参数非常敏感，很小的误差就会造成结果 的巨大差异，这使得对它的复制和仿造都极其困难，一个像素的差异都会造成图形的完全 改变。采用分形放大镜还可以对初始分形图细节作局部放大显示，从而使生成的效果图之 间差异显著。而且三维分形图案形象逼真，绘制复杂，更加难以复制，这就给包装的防伪 提供了很大的利用空间。一旦把包装的图案确定，就很难利用原稿扫描复制的方法进行假 冒，而且几乎是不可能。从包装图案设计上增加防伪特征，能做到既易于识别，又无须增 长印刷成本，况且只要生成原始分形图案的参数不泄秘，对于外界来说这个产品的包装就 是永远唯一的，从而达到了防伪的目的。 其次，把分形得到的图案加入到激光全息防伪图中，制作具有分形艺术特征的标志 激光点阵分形全息图。将多种防伪方式结合起来，达到更好的防伪效果。中国科学院 广州电子技术研究所激光全息研究室最近将点阵激光全息和计算机产生分形图像相结合 的新技术用于镭射防伪标志制作，所制作的镭射标志具有极好的防伪性能和视觉效果( 如 背景渐变、旋转闪变及扩缩闪变等动感效果) 。 1 4 论文的研究方法与研究内容 1 4 1 分形几何与分形理论 几何学是人类在认识世界和改造世界的活动中必不可少的工具。在历史上，科学技术 的发展与几何学的进步始终是密切相关的。计算机特别是计算机图形学的迅速发展，人们 4 引言 在使用计算机深入探讨一系列问题的过程中，逐渐感到，用传统的几何学已不能有效地描 述自然界中大量存在的对象，如：海岸线、山形、河流、岩石、断裂、树木、森林、云团、 闪电等等。它们都是非规则形状，用欧几里德几何学是无能为力的。计算机图形学在自然 景物的模拟以及动化的制作中，如果用直线、圆弧、样条曲线等去建模生成，则其逼真程 度就非常差。另外，在科学研究中，对许多非规则对象进行建模分析，如：星系分布、凝 聚生长、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要一种新的几何学来描述。 1 9 7 5 年，美国m M ( I n t e r n a t i o n a lB u s i n e s sM a c h i n e ) 公司研究中心物理部研究员暨 哈佛大学数学系教授M a n d e l b r o t 首次提出了“分形( F r a c t a l ) ”这个概念，其原意是“不规则 的、分数的、支离破碎的”物体，这个名词是参考了拉丁文“F r a c t u s ”后创造出来的。1 9 7 7 年， 他出版了第一本著作“分形：形态，偶然性和维数”( F r a c t a l ：F o r m ，C h a n c ea n dD i m e n s i o n ) ， 标志着分形理论的正式诞生。五年后，他出版了著名的专著“自然界的分形几何学”( T h e F r a c t a lG e o m e t r yo f N a t u r e ) 。至此，分形理论初步形成。分形( F r a c t a l ) 几何作为现代数 学的一个主要内容，是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自 然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形理论是研究和处理自 然与工程中不规则图形的强有力工具，但其本质却是一种新的世界观和方法论，它与动力 系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在 某一方面( 形态，结构，信息，功能，时间，能量等) 表现出与整体的相似性，它承认空 间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。问世以来，被广泛应用 到天文学，计算机图形学，气象学，哲学和艺术等诸多自然科学领域。配3 1 1 4 2 研究内容和研究方法 在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性。它使传统数学 中无法表达的形态如山脉、花草等得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。利 用分形理论进行艺术图形设计，能够做出许多高明的艺术家也设计不出的线条和颜色。复 数分形系统中的M a n d e l b r o t 集和J u l i a 集，本来是动力系统参数分析的结果，然而在计算 机图形学的帮助下呈现在人们眼前的图像却是令艺术家叹为观止。这种具有无限精细结构 的艺术图形可以用于纺织印染、广告、印刷、工业设计、邮票制作、服装及计算机美术教 学等各个方面，无论是经济效益还是社会效益方面都是非常巨大的。 本文对分形的计算机生成方面主要进行了以下方面的研究工作： 首先，对已有的一些重要成果进行了归纳总结；其次，分析了分形和复数分形系统理 论基础，将经典的M a n d e l b r o t 集和J u l i a 集推广到高阶，分析了J u l i a 集和M a n d e l b r o t 集 的相互关系和生成图像特点；第三，引入四元数理论和法向量的计算，实现三维空间中复 数分形系统的图像生成和显示；第四，结合O p e n G L 技术，实现三维空间中对图像颜色、 背景、光照效果、平移、旋转、放大等的操作，使得生成的图形更富于变化。 5 西安理工大学硕士学位论文 1 5 论文整体结构布局 本文根据课题的研究内容，将全文分为以下部分： 第一章：引言，主要介绍了本论文的研究背景，分形理论的国内外研究现状和发展趋 势，本论文的研究方法和内容，以及分形理论在包装装潢领域的应用和重要性。 第二章：对分形理论进行了分析，主要介绍了分形的基本理论，讨论了复数分形系统 M a n d e l b r o t 集和J u l i a 集的产生、常用的生成算法以及计算机描述方法，分析图像的特点 以及二者之间的关系。 第三章：引入四元数和法向量的概念，讨论了如何用逃逸时间算法生成三维空间中复 数分形系统的方法。 第四章：通过分析O p e n G L 技术，实现三维空间中图形的真实感效果。 第五章：本论文所设计软件的功能模块介绍和技术分析。 第六章：总结概括本论文所取得的重要成果，进一步的研究设想及尚待解决的问题。 6 分形及复数分形系统的基本理论 2 分形及复数分形系统的基本理论 2 1 分形的基本理论 2 1 1 非欧氏几何学 自从E u c l i d ( 欧几里得) 在两千多年前创立几何学以来，在漫长的岁月里，自然科学 研究人员与数学家们基本上都在E u c l i d 空间进行研究和探索。但E u c l i d 几何学不是万能 的，自然界中的许多现象都不可能用E u c l i d 几何来解释。虽然历史上曾经出现了像俄罗 斯数学家L o b a c h e v s k i ( 罗巴切夫斯基，1 7 9 2 1 8 5 6 ) 创建的非欧式几何学，但其影响有限 而且还不能解决我们当前所面临的许多问题。2 0 世纪7 0 年代，M a n d e l b r o t 的分形几何 ( F r a c t a lG e o m e t r y ) 出现了，许多以前的“数学怪物”及大自然现象在分形几何学里都很容 易迎刃而解。同时，分形几何问世后被立刻广泛应用于自然科学和社会科学的众多领域。 因此，“分形”被认为是2 0 世纪数学科学的重要发现之一。与传统几何图形相比，分形图 最大的特点，就是局部与整体在某种方式下的自相似性。分形图具有无限嵌套层次的精细 结构，并在不同尺度下保持某种相似的属性，它可进行变换与迭代的递归定义。 2 1 2 分形的含义和几何特征 英文单词F r a c t a l ，在大陆被译为“分形”，在台湾被译为“碎形”。它是由美籍法国数学 家B e n o i tM a n d e l b r o t 创造出来的。其含义是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想 用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。 对于什么是分形，目前还很难给它下一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有 严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明的。对分形的定义 也可作同样的处理。K F a l c o n n e r 对分形F 的描述常常被人们所引用。 该描述如下： 1 F 具有精细的结构，也就是说在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节； 2 F 是不规整的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述； 3 F 通常有自相似形式，这种自相似可以是近似的或是统计意义下的； 4 一般地，F 的某种定义之下的分形维数大于它的拓扑维数； 5 在大多数情况下，F 以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生。 与传统的几何学相比，分形几何有这样的特点： ( 1 ) 从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如：海岸线和山川形状，从远距 离观察，其形状是极不规则的。 7 西安理工大学硕士学位论文 ( 2 ) 自相似性 分形几何图形的部分与整体具有相似的性质。分形几何学的基本思想是：客观事物具 有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义 上的相似性，称为自相似性。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个 结构不变。自相似性包括严格的自相似性和统计意义上的自相似性。因此，不同的分形集， 自相似的程度是大不相同的。 当然，也有一些分形几何图形，它们并不是自相似的。其中一些是用来描述一般随机 现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。 ( 3 )自仿射性 自仿射性是自相似性的一种拓展。如果，将自相似性看成是局部到整体在各个方向上 的等比例变换的结果的话，那么，自仿射性就是局部到整体在不同方向上的不等比例变换 的结果。前者称为自相似变换，后者称为自仿射变换。 ( 4 ) 精细结构 分形图形的任意小局部总是包含细致的结构。任何规则的几何形状都具有一定的特征 尺度。比如画一个圆，在特征尺度内观察，它是圆，尺度变小时观察它的一部分。就成为 一段圆弧，尺度再变到很小时观察，就只能看到一小直线段了。对地球的观察也是这样， 卫星上的宇航员可以看到地球是一个球体，生活在地球上的人看不到球体，看到的是平地。 然而分形没有特征尺度，它含有一切尺度的要素，在每种尺度上都有复杂的细节。们 2 1 3 分形维数 在欧氏空间中，人们习惯把空间看成是三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲 线看成一维。点对应零维，线、面、球面分别对应一、二、三维，还可引入更高维的空间， 但都是整数维。而分形理论则把维数视为分数，用来表示分形集的不规则程度。1 9 1 9 年， 数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集 维数为整数的限制。通常状况下，分形中维数一般为分数。这类维数是物理学家在研究混 沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。常见的有相似性维数、容量维数、H a u s d o r 雠 数、信息维数、李亚普诺夫维数、谱维数、拓扑维数、广延维数、计盒维数等。在实际应 用中，针对不同的研究对象采用不同的维数定义方法吃”。 从维数角度分形可定义为： 对于某一集合A ，若具有下面性质，称为分形集： ( 1 ) 曼德布罗特曾把满足下式条件的集合A 称为分形集。 D i m ( A ) d i m ( A ) 其中，D i m ( A ) 为集合A 的分维数，d i m ( A ) 为A 的拓扑维数。一般来说，D i m ( A ) 不是整数， 而是分数： 分形及复数分形系统的基本理论 ( 2 ) 集合A 具有近似性或统计自相似性，亦即满足标度不变性； ( 3 | ) 集合A 具有不规则性，从整体到局部均难以用传统的几何学进行描述； ( 4 ) 集合A 具有精细结构，也就是说，具有任意小比例的细节； ( 5 ) 在许多情况下，集合A 可以用非常简单的方法定义，它具有递归性，可在计算 机上以递归的方法生成。 2 1 4 分形的典型方法 生成分形图形的关键是要有一个合适的模型来描述对象，根据所选择的分形造型的模 型不同，产生分形图形的方法有L 系统、迭代函数系统I F S 、复数分形系统、粒子系统模 型等4 1 嘲1 ”。 1 、迭代函数系统S 迭代函数系统( I t e r a t e dF u n c t i o nS y s t e m ，I F S ) 是分形理论的重要分支。它被称为是分 形理论应用于图形图像处理中最富有生命力并具有广阔应用前景的领域之一。迭代函数系 统的提出，最早可以追溯到1 9 8 1 年H u t c h i n s o n 对自相似集的研究。1 9 8 5 年，美国数学家 佐治亚理工学院的M E B a m s l e y 发展了这一分形构型系统，并将其命名为“迭代函数系 统”，后来又经S t e p h e nD e m k o 等人将其公式化，并引入到图像合成领域中。 迭代函数系统( I F S ) 是指通过重复地进行某个特殊的几何过程来产生分形图。利用仿 射变换建立几何对象各部分之间、整体与局部之间的联系，整体的结构被反映在其每一部 分中。它的基本思想是将待生成的几何对象看成是由许多与整体相似的( 自相似) 或经过 一定变换与整体相似的( 自仿射) 小块拼贴而成的结构。这样一来，几何对象的整体被定 义以后，选定若干仿射变换，将整体形态变换到局部，并且这一过程可以迭代地进行下去， 直到满意的造型。其理论依据及应用效果是基于著名的压缩映射不变集定理和拼帖定理。 I F S 可以定义为由一组满足一定条件的映射函数W i ( 例如压缩的仿射变换) 及一组变换发 生的概率P j 组成：I F S = ( W j ，P j ) ，i = l ，2 ，n ) ，利用I F S 生成植物图像的方法是对初始植物 图像按照己知概率选择函数而实施的一种迭代变换嗨1 。 迭代函数系统主要包括以下几方面内容：压缩映射、度量空间、不变紧缩集的存在性 以及测度理论等。算法规则主要包括两方面的内容：I F S 码获取过程中的拼贴规则；由I F S 码显示几何对象的计算机算法( 随机迭代算法和确定性算法) 。迭代函数系统用很少的数 据就能完成图像的模拟，在图像压缩方面显示了很大优势，同时由于自然界中的植物体大 多具有自相似性或者自仿射性。因此，利用I F S 实现图像压缩和植物体的动态仿真十分有 利。 2 、复数分形系统 M a n d e l b r o t 集( M 集) 和J u l i a 集是最著名复动力系统的分形集合，它们都在复平面上 生成，因此可称为复数分形系统。复数分形系统的分形图富有艺术感，可以进行艺术图案 设计。该系统来自非线性迭代函数 9 西安理工大学硕士学位论文 z 川= f ( Z 。) 刀= 0 ，1 ，2 ，+ o o 对初始值z 。进行迭代，可得Z 、z ，等轨迹点，在复平面上将这些点表示出来，它的 混沌集将每次迭代趋于零的固定集与每次迭代趋于。韵逃逸集分开。为产生丰富多彩的图 案，对外部结构逃逸集可按逃逸速度的快慢填上不同的颜色；对内部结构用数组记录周期 轨道，不同的周期用不同的颜色，从而绘出美丽的M 集和J 集。8 1 由于复数和平面上的点存在对应的关系，可以把图形显示看成复平面。当参数在复平 面上运动时，迭代过程逐次进行。在迭代进行时总是以新的坐标代替原来坐标，可以看到 某些起始点的轨迹逐渐朝无限大方向发展即扩散，而某些点的轨迹被限制在复平面的一定 的区域即收敛。按照一定的规则对收敛的点设置某种颜色，就显示出复数分形系统的计算 机图像，得到的图像具有层层嵌套和无限精细的结构。 3 、L 系统 1 9 6 8 年，美国植物学家A r e s t i dL i n d e n m a y e r ( 1 9 2 9 1 9 8 9 ) 从植物学观点出发，提出了 一套用以描述植物树木形态与生长的方法_ I ，系统，1 9 8 4 年S m i t h 等人将其引入计算 机图形学，形成了广为应用的模拟大自然景物的有效方法。1 1 3 1 自然界中树木是常见的景物，其形状复杂，结构特征强，对其建模是很困难的。一般 来说，为生成形态逼真的树木图形，简单的递归方法是不行的。L 系统是特别类型的迭代 过程，它的中心是并行重写系统，从一个初始图w 出发根据重写规则集P 改写初始元的一 部分，如此迭代嵌套以生成最终图形。用L 系统可以生成典型的分形。尽管生成一个复 杂的L 系统常常需要花费大量的时间，但是指定L 系统的公式往往非常简单。 L 系统可无限嵌套，具有高度简洁性和多级结构，为描述植物树木生长和增殖过程的 形态和结构特征，提供了行之有效的方法。目前发展的二阶L 系统已能很好地完成对树 木的描述。这种分形重构可模拟植物形态的各种变化，探讨不同植物形态及群落结构与环 境因子分布的数量关系及其对生理功能的影响，寻找最佳形态功能状态，从而建立一门新 的学科植物形态生态学。 L 系统不只适用于植物的生长，在物质结构、电子线路设计等方面也有使用价值改进 的L 系统，出现各种变体。随机L 系统着眼于字符替代的随机性，生成的图形避免呆板； 参数化L 系统大大缩短字符串长度及产生式的数目。近年来国外发展的一个新领域 人工生命( A r t i f i c i a ll i f e ) 的理论基础之一就是L 系统。目前比较常用的是f 阶L 系统( i 为 0 或2 ) 称为D i L 系统。 4 、粒子系统模型 粒子系统方法的思想与L 系统一样起源于数学之外的学科一物理学中的布朗运动。 在1 9 2 3 年提出的“W i e n e r 过程”这个数学模型，表现出的随机性质与布朗运动所阐述的微 粒在液体或气体中的不规则运动有惊人的相似。在三维空间中，“W i e n e r 过程”所描述的 粒子轨道具有等于2 的豪斯道夫维数。W T R e e v e s 于1 9 8 3 年提出用粒子系统方法来模拟 不规则物体。 粒子系统的基本思想是采用大量的、具有一定生命、形状简单的粒子图元( P a r t i c l e ) ( 例 1 0 分形及复数分形系统的基本理论 如点、小立方体、小球等) 作为基本元素来描述自然界不舰则的模糊景物粒子的创建、消 失和运动轨迹由所造型的物体的特性控制，从而形成景物的动态变化。粒子系统是一个有 “生命”的系统，这些粒子都有各自的生命周期，在系统中都要经历“产生”、“运动和生长” 及“消亡”三个阶段。每个粒子在任时刻都具有随机的形状、大小、颜色、透明度、运动 方向和运动速度等属性，并随时间推移发生位置、形态的变化。每个粒子的属性及动力学 性质均由一组预先定义的随机过程来说明。因此可产生一系列运动进化的画面，这使得模 拟动态的自然景物成为可能。 这种方法充分体现了不规则模糊物体的动态性和随机性，最初引入时是为了模拟火 焰，火焰被看成是一个喷出许多粒子的火山，粒子运动的轨迹构造了火焰的模型。后来又 用来模拟草丛、森林等全景要求高的景象。四1 2 1 5 本文所采用的算法一逃逸时间算法 本论文中复数分形图像的生成均采用逃逸时间算法实现钔，其算法定义如下： 定义设( X ，P ) 为给定的度量空间旷( X ) ，h o ) 代表相应的带有豪斯道夫距离的非空紧 子集空间( 即分形空间) ，则确定性分形集彳即为( F ( X ) ，h 。) 上的压缩映射与折叠变换的不 动点集，而讧，f ( f 为( X ，P ) 上的变换) 就可以构造空间( F ( x ) ，h o ) 上的分形动力系统。 定理 设( x ，P ) 为度量空间X c Y 为】，的非空紧子集，且厂：X 专Y 是连续的， 厂O ) 3 X 则： 由形( 彳) = f - 1 ( 彳) ，其中V A F ( x ) ，定义了一个变换W ：，( X ) 专，( x ) ； 具有不动点A F ( x ) ，它由下列条件决定： A = n 厂叫( x ) = l i m 形”( x ) ； 当厂满足：若U X 是( x ，p ) 上酌开子集，则厂缈) 是度量空间妒( x ) ，) 的开子集， 则有形是从度量空间( ，( x ) ，h o ) 到它自身的连续变换。 由上述定理可知，吸引子( 分形集) A 可表示为 A = x X ：f ”( x ) X ，咒= 1 , 2 ，3 即A 是那些在迭代过程中轨道不离开石的点组成。 由于A 是厂的吸引子，我们可以认为初始点越接近么，它的轨道趋于无穷的“时 间”就越长，这里的“时间”，对应于迭代过程中的迭代次数；而离开A 较远的点，经过较 少次的迭代其轨道就趋于无穷。 因此，构造分形集的逃逸时间算法的基本思想就是，取一个充分大的整数，作为判 断迭代次数( 时间) 是否使其轨道趋于无穷的标准：再取一个估计包含么的矩形w ，以及一 个以原点为圆心、半径为只的充分大且包含区域W 的圆( 圆外区域记为，) 。 于是可将逃逸时间算法概括如下： ( 1 ) 给定视窗W 及逃逸半径尺和逃逸时间限值； 西安理工大学硕士学位论丈 = 蕊：计黼髁翳谢 ( 4 ) 根据视窗w 内的各点的Z ( ) 值构造分形图形。 2 2 二维复数分形系统的基本理论 2 2 1J u l i a 集的理论基础及算法实现 G a s t o nJ u l i a ( 1 8 9 3 1 9 7 8 ) ，法国数学家。1 9 1 9 年，他在第一次世界大战时受了伤，住 院期间他潜心研究了迭代保角变换z 洲= z ：- 4 - C 。这种复平面上的变换能够产生出一系列 令人眼花缭乱的图形变化。J u l i a 集由一个二次复变函数的迭代产生，它来自于非线性映 射x X 2 + c ，当x 为复数的情形卯。从逃逸时间算法角度看，J u l i a 集的内部收敛某一 点或某几个点，而外部随着逃逸事件的增加将发散至其逃逸边界就是J u l i a 集。用z 表 示，产生J u l i a 集的变换是： Z n + l = z ：+ c ，l = 0 ，l ，2 ，3 ， 其中，z 。为第，2 次迭代后的复数X n + y 。f ，C 为常数c ，+ c y i ，则每次给定一初始值z 。， 代入上述公式可得到z 。，经过，z 次迭代后可得到复数序列z ：，z ，z 。其中参数C 是 控制参数中的关键，作为特例C = 0 的情形是简单的，这时有： z o z ；专z ：一z ；专 ( 1 ) 如果序列中的数按模越来越小，且趋于零，则说零是z z 2 的吸引子。复平面上 所有与该吸引子相距小于l 的点，都产生趋向吸引子的序列。 ( 2 ) 如果序列中的数按模越来越大，且趋于无穷，这时认为无穷是z z 2 的吸引子。 复平面上所有与零点的距离超过l 的点，都产生趋向无穷的序列。 ( 3 ) 与原点相距为1 的点作为初值，产生的序列总出现在上面两个吸引区域之间的边 界上，此时边界恰为复平面上的单位圆周。 当C 0 时，那么吸引子也不再是零，吸引区域也不是简单的圆周，而是由无穷多个 变形闭曲线组成，或为非连通的点集，具体形状取决于C 值的选取。当C 0 且其实部和 虚部都取较小的实数时，这个序列将有如下情况： ( 1 ) 如果z 0 按模也很小，当迭代次数达到足够多的时候，则迭代序列接近吸引子。 ( 2 ) 如果z 。按模比较大，达到一定迭代次数时，则迭代产生的复数的模趋向于无穷大。 这时我们就可以把平面上取到的初值点分成了两部分，( 1 ) 中的点构成的点的集合就 是J u l i a 集，而( 2 ) 中的点就构成了F a t o u 集。 根据逃逸时间算法，生成J u l i a 集的算法步骤如下8 1 ： ( 1 ) 初始化： 1 2 分形及复数分形系统的基本理论 给定视窗W ，其显示单位的数量为aX b ； 给定逃逸半径尺； 给定逃逸时间限值，也是可显示的颜色数+ l ，其中以0 表示黑色； 给定c 的值： ( 2 ) 以1 4 内所有的点( 玎，_ r l ，) 作为初值z o = n ，+ n y i ，其中聆，= 0 , 1 ，a - 1 ， 刀。= O r l ，b 一1 ，完成以下迭代步骤： 第一步：k = O ，X k = 以J ，Y I = ，l ， 第二步：计算Z = z 2 + c ，且尼= k + 1 第三步：计算，= 2 + l + y ；+ l 若r R ，则选择颜色k ，转到第四步； 若k = N ，则选择颜色0 ，转到第四步； 若r R 且k N ，则转到第二步； 第四步：对点( 以，l ，) 即气显示颜色k ，在视窗内取到下一点再转到第一步。 当z 。遍历像素( p ，q ) 的所有点，且对公式z 川= z 。2 + c 运用逃逸时间法后，便得到一 幅J u l i a 集了。由于c 值的不同，迭代过程收敛于结果的速率不同，可以产生形态各异的 吸引区域边界曲线。按照这种规则只要任选不同的常参数c ，就能产