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文档简介
随机过程,第三章：平稳过程的谱分析,3.1功率谱密度的定义3.2功率谱密度的性质3.3功率谱密度与自相关函数关系3.4离散随机序列的功率谱密度3.5联合平稳过程的互谱密度3.6白噪声自相关函数和功率谱密度,第三章：平稳过程的谱分析,平稳过程的相关函数在时域上描述了过程的统计特性，为了描述平稳过程在频域上的统计特性,需要引入了谱密度的概念。这章的上部分内容主要讨论随机过程的谱分析。,知识回顾：,非周期性确定性时间函数的帕塞伐（Parseval)等式为:,其中,称为能谱密度。证明:,数学推导基本步骤如下:,(Parseval帕塞伐公式),3.1功率谱密度的定义,功率谱密度的定义:,3.2功率谱密度的性质,平稳过程的功率谱密度的性质：,可以证明：随机过程的自相关函数与功率谱密度之间互为傅立叶变换对。这一个关系就是著名的维纳-辛钦定理。即：X(t)是均方连续的平稳过程，是它的相关函数，为它的功率谱密度，如果，则有：,3.3功率谱密度与自相关函数的关系,证明：,当随机过程为实平稳随机过程时：,证明：,同理：,方法1：利用常用的傅立叶变换,例题3-1:,解:,方法2：利用留数定理,也可以这样求解均方值:,令z=w，则上半平面极点为z1=j,z2=3j：,所以:,当然，也可以直接求出相关函数，然后令Rx(t)中的t=0，得到Rx(0)即是X(t)均方值，与上面所求的值是相同的，也可以用s=jw的方式来求得上面的留数，只是注意留数的取值区域，大家可以自己试一试！,例题3-2:,解:,例题3-3:,解:,3.4离散平稳随机序列的功率谱密度,离散功率谱密度定义：,可以证明，离散平稳随机序列的功率谱密度与相关函数是一对傅立叶变换对，即：,设X(t)为广义平稳随机过程，用Sc(w)和Rc(t)表示它的功率谱密度和相关函数，用T对其采样，构成离散随机序列X(n)=X(nT)，用S(w)和R(m)表示它的功率谱密度和相关函数，可以证明，它们之间存在以下关系：（采样定理）,例题3-4:,解:,3.5联合平稳随机过程的互谱密度,互谱密度的定义：,可以证明，互谱密度与与互相关函数是一对傅立叶变换对，即：,互谱密度具有如下性质：,3.6白噪声自相关函数和功率谱密度,白噪声过程定义：,函数定义：,白噪声自相关函数：,(1)白噪声是一种理想化的数学模型。各种随机干扰只要它的谱密度比信号频带宽得多，且分布近似均匀，则可以当作白噪
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