南京邮电大学通达学院2015-2016-2线性代数试卷A答案.pdf

线性代数试卷第 1 页 共 5 页 南京邮电大学通达学院 2015/2016 学年第二学期 线性代数期（末）试卷（A） 本试卷共本试卷共页；页；考试时间考试时间分钟；考试方式分钟；考试方式（闭闭）卷卷 专业班级学号姓名 题号一二三四五六七八九十总总 分分 得分 一、填空题（本题 40 分，每题 4 分） 1已知二阶行列式 1112 2122 1 aa aa ，则行列式 1211 2221 2 2 2 aa aa . 2. 设向量 14 , 41 ，则内积( ,)0 . 3. 若方阵A满足 2 AAE，E为单位阵，则逆阵 1 ()AAE . 4. 已知5 4矩阵A的列向量组线性无关，则秩()4 T r A. 5. 齐次方程组 1235 0 xxxx的基础解系中应含有4个线性无关的 解向量. 6. 已知向量 124 , 线性无关，且 3124 2，则秩 1234 (,)3r . 7. 已知三阶方阵A的秩( )2r A ， 12 , 是齐次线性方程组0Ax=的两个不 同的解，则方程组0Ax=的通解为 12 ()xk kR=-. 8. 设A是二阶实矩阵，且0AEAE，E为单位阵，则 60 AE 得 分 装订线内不要答题 自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊 线性代数试卷第 2 页 共 5 页 9. 已知矩阵 200 001 01 A x 与 200 00 001 y 相似，则( , )(0,1)x y . 10. 若实二次型 222 12323 2fxxxtx x正定，则t的取值范围是11t 1. 二、二、计算四阶行列式 3111 1311 1131 1113 D （本题 10 分） 解： 311111111111 131113110200 6648 113111310020 111311130002 D 三、求矩阵X，使得AXBX，其中 20111 121 ,01 21210 AB （本题 10 分） 解：()AXBXAE XB 1 101 11110() 21 1 AEAEXAEB 而可逆 11 101111011110111 111010121201212 21 1100113200120 1001111 01052()()52 0012020 AEB EAEBXAEB 而 得分 得分 得分 线性代数试卷第 3 页 共 5 页 四、求向量组 1234 1230 1203 , 2460 1214 - = - 的秩和它的一个极大线性 无关组，并用该极大线性无关组表示其余向量. （本题 12 分） 解() 1234 12301230 12030033 24600000 12140444 - = - 123012031003 011101000100 001100110011 000000000000 - 所以() 1234 3r =，极大线性无关组是 123 , ，且 413 3=-+。 五、求非齐次线性方程组 123 123 123 231 4254 6385 xxx xxx xxx -+= -+= -+= 的通解和相应齐次线 性方程组的一个基础解系. （本题 10 分） 解： () 2131213121312107 4254001200120012 6385001200000000 17 10 22 0012 0000 Ab - =- - - - 得分 线性代数试卷第 4 页 共 5 页 ()( ) 7 1 2 23,22 , 00 R AbR AXkkR方程组有无穷多解 其通解为:Q =+ - 相应齐次线性方程组的一个基础解系： 1 2 0 = 六、将二次型 222 12312233 ( ,)2343f x x xxxx xx=+通过正交变换 XPY=化为标准型， 并写出所用的正交变换矩阵P. （本题 12 分） 解： 200 032 , 023 A A的特征值是1,2, 5 200100 (1)11032011 023000 IA 当时,， 特征向量 1 (0,1, 1)Ta ，单位化： 1 1 (0,1, 1) 2 T e 。 000000 (2)22012001 021010 IA 当时,，特征向量 2 (1,0,0)Te 300100 (3)55022011 022000 IA 当时,， 特征向量 3 (0,1,1)Ta ，单位化： 3 1 (0,1,1) 2 T e 。 得分 线性代数试卷第 5 页 共 5 页 取正交矩阵 1 123 11 22 11 22 010 1 ( ,)0,2 5 0 T Pe e eP APP AP 七