高三数学研讨会解题思路资料.ppt

四、指导教师相约,（1）研究科学破除迷信,（2）研究真题找到题根,（4）通融教材厚书变薄,（3）研究例题提炼思想,（5）坦诚为师认生为友,有人一意“追新追名”，结果却追上了“怪物”！,有些备考“专家”，为市场利益所驱动，经常制造怪物.,怪物可用来开心，但在科学高考看来，它是“异类”.,（1）研究科学破除迷信,备考中的迷信是“崇名”：名人、名言、名校、名卷等等。,别忘了自己就是名师！,科学的对立面是迷信.高考备考要科学不要迷信！,教师相约,【题目】已知函数求f(0)的值.,是“新题”还是“怪物”,【学生解法】,令则函数化为,f(u)=1+u2,“标准解答”因为0，所以函数值f(0)不存在.,所以f(0)=1,【点评】哭笑不得吧！这种“复合函数”会考吗？,教师相约,是“详解”还是“笨法”,不知道是为了张扬细节，还是为了多赚稿费，有的解答详尽万分，以至“详尽过头”！,以下就是多种笨法中的一种，如今还挂上多种名牌在市场上流通，被许多考生迷信为“精品”！,教师相约,所谓过头，就是这些解答“因详至伪”、“因详至笨”！,数学的精华就是简化！”繁法”多为“烦法”或“反法”。,如08年2卷第15题，本是一道一望而答的填空题，却有为其写出了千字文以上的解答，不厌其详地介绍了多种笨法的操作过程。,笨法之一解A、B两点,【考题】已知F是抛物线Cy2=4x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则ABF的面积等于（）,【详法】依题意设点，,则有，,由此得y1y2=0，解得y1=0且y2=4，从而解得AB两点的坐标分别为（0，0）和（4，4）。,教师相约,解得,【质疑】想干什么？一道填空题，值得这样搞吗？,笨法之二认AB为底,【考题】已知F是抛物线Cy2=4x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则ABF的面积等于（）,【详法】依题意设点，,则有，,由此得y1y2=0，解得y1=0且y2=4，直线AB的方程是xy=0，点F（1，0）到直线AB的距离等于，,所以ABF的面积等于,教师相约,小题看图一望而答,【考题】已知F是抛物线Cy2=4x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则ABF的面积等于（）,【图解】从方程到图形，易知抛物线y2=4x上半部有两个整点A（0，0）和B（4，4），图右.,看图可知，ABF的面积为2.,线段AB的中点为M（2，2）.,教师相约,说清“是”同时说清“不”,负责的老师，在告诉考生哪些要考的同时，还要说清哪些不考.,不负责的老师则是：所有的这些都重要，都可能考！,其实，按考纲的要求，已经有许多旧的东西声明不考了：,（1）二元以上的平均不等式；,（2）用万能置换公式进行三角变换；,（3）没有提示垂足的异面直线间的距离；,（4）二次曲线划分平面区域；,（5）值域与定义域“不传递”的复合函数.如此等等.,教师相约,高考复习防止四贪,（1）贪多。必然混入歧枝，偏离学科主干。,（2）贪高。必然忽视基础，偏离考生实际。,（3）贪快。必然陷入过场，造成消化不良。,（4）贪新。必然陷入形式，防碍深入内涵。,贪多的反面是求精，贪高的反面是求准，,贪快的反面是求稳，贪新的反面是求实。,教师相约：精、准、稳、实。,教师相约,（2）研究真题找到题根,说一千道一万,高考不过一张卷,病急切忌乱投医,研究真题最合算,教师相约,研究真题是研究备考的捷径，另取他题，多走歧途.,真题考点准而信度好；,真题方向明而内容精；,真题成本低而效益高.,因为人们对真题多有“前期投入”，在根基上建树易出成果，比“另起炉灶”省力.,人们关心的是：真题能够创新吗？,回答是肯定的：所有的考题都是“温故知新”的结果！,真题成本低而效益高,教师相约,全国1卷第10题研究题根,【考题】若直线通过,即是：若ax+by=1，x2+y2=1,则a2+b21,教师相约,研究第10题找到题根,【寻根】第10题的题根有如下形式：,【认知】这是一个已知两个等式,求证一个不等式的问题.,已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b21.,这是一个已知两个等式,求另个式子的值域问题.,这是一个相等与不等互相链接的问题.,【见根】代数题根：第一型二元二次组有解的1条件。,几何题根：直线与圆有公共点的条件。,教师相约,代数寻根找到方程,【题根】已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b21.,【视角】视二等式为方程组，研究方程组有解的条件.,【解法】由x2+y2=1，ax+by=1消去y.,得关于x的一元二次方程：,由根的判别式得:,教师相约,【追根】二次方程组的判别式，其根在二次方程的判别式中.,【题根】已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b21.,【视角】看作由等式向不等式的转换，用平均不等式放缩.,【解法】由ax+by=1两边平方,得:,教师相约,题根转向沟通不等式,几何寻根找到图形,【题根】已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b21.,【视角】视方程为轨迹图形，求图形有公共点的条件.,【解法】视方程ax+by=1为直线，x2+y2=1为圆.,直线到圆心的距离小于圆的半径1.,原方程组有解，对应到解析几何中，则条件变为：,教师相约,【根脉】题根根脉并不多，除了代数是几何！,【题根】已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b21.,【视角】视ax+by=1为和角展开式，x2+y2=1为同角平方式.,【解法】由x2+y2=1，令x=cos,y=sin.,代入直线方程得：acos+bsin=1,教师相约,题根转向链接三角,【题根】已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b21.,【视角】视ax+by=1为数量积，x2+y2=1为向量长度的平方.,【解法】视ax+by=1为向量OM(x,y)与ON(a,b)的数量积.,则有ax+by=(a,b)(x,y)=|OM|ON|cos=1.,故有a2+b21.,即是,教师相约,题根转向链接向量,【见智见仁】题根顺着视角走，图者见图数见数；,视角旋转三百六，处处留心看入口。,视角变换题根延伸,视角ax+by=1x2+y2=1a2+b21.,解几轨迹直线轨迹圆有公共点,三角和角展开式三角平方式振辐范围,向量向量数量积单位向量长度范围,不等式两积的和平方和平均放缩,方程一次方程二次方程有公共解,教师相约,一个题根一片林,题有根根伸本,根本发展成森林,孤株断木不成体,单抓独撞太孤鳞,抓一根得一片,枝枝蔓蔓题题新,教师相约,要题多少有多少,莫向题海枉费神,【原题】已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，,求的取值范围.,借助真题设计新题,【说明】用多种方法，可以求得本题的答案为(2，0).,研究如何借助原题的题根，进行条件更换，设计出在款式一新、情景一新、要求一新、难度不同的新题.,教师相约,既然一个题根可以发展成一片森林，那么利用真题的题根编写新题，则是一件左右逢源、林中选秀的有趣之事！,【原题】已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，,求的取值范围.答案为(2，0).,【寻根】已知|OP|2，|OP|2=|PA|PB|，求PAPB的取值范围.,【研究】如何借助原题的题根，进行条件更换，设计出款式新、情景新、要求新、难度不同的新题.,教师相约,【说明】高考命题，说到底，是在进行这种“真新变换”.,找到真题研究变换,已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，,求的取值范围.答案(2，0).,【变题1】（变更点P的位置）,（1）动点P由“圆内”变到“圆外”，答案由(-2，0)变到(0，)，题目难度持平；,（3）点P由“圆内”变到“两圆x2+y2=1，x2+y2=4之间”，则难度提高.,（2）点P由“圆内”变到“平面”，答案为(-2，)，难度降低；,教师相约,变更条件难度不同,【变题2】（变更点P的轨迹）,（1）条件|PA|、|PO|、|PB|成“等比数列”变为成“等差数列”，则P点的轨迹由“双曲线”变为“直线”.题目变难.,（2）条件|PA|、|PO|、|PB|成“等比数列”变为“|PA|2+|PB|2为常数”，则P点的轨迹变为“圆”.题目变易.,教师相约,变更题设题目不同,已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，,求的取值范围.答案(2，0).,【变题3】（变更设问全是新题）,（1）求动点P的轨迹方程：题目变易；,（2）求动点P的轨迹图形截得圆的弧长：题目持平；,（3）求动点P的轨迹图形与圆交点处的切线方程：题目的综合度变大.题目变难.,教师相约,变更设问目标不同,已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，,求的取值范围.答案为(2，0).,【变题4】（变更载体全是新题）,（1）将题()中的“圆x2+y2=4”变为“抛物线x2=4y”，AB为抛物线的通径，点P在通径左边的弓形内，新题与原题持平；,（2）将题()中的“圆x2+y2=4”变为“椭圆x2+4y2=4”，AB为椭圆的一条弦.新题()可随弦AB的位置不同而改变难度.,教师相约,变更载体情景不同,（3）研究例题提炼思想,命题人也要在课本中说出依据：知识依据、方法依据、思想依据.,上新课讲例题，按知识点就题讲题；,复习课讲例题，按逻辑链归纳方法；,一轮备考复习例题，除了系统知识外、注意力应转到归纳方法、提升思想。,课本寻根：“义根”在定义中，“理根”在公理、定理上，而“题根”则在例题、习题之中！,教师相约,a，,b，a，b，,由2到3从列举到递推,【解析】先拿来集合a,b的所有子集，排成左下方的三角阵,在后一个三角阵的每个集合中，依次添上第三个元素c，得一个新的三角阵.这两个三角阵中“元素”的集合便是a,b,c子集集合.,c,a,ba，b,将左边的三角阵复制成另一个相同三角阵（如右）.,【思考】这是一个关于“3”的问题，拿“2”来解决.,c,c,c,教师相约,【问题】写出集合a,b,c的所有子集.,a,b,ca,b,a,c,b,ca,b,c,将新的三角阵“下移”一行，与原三角阵错位相并，即得H3=a,b,c的三阶子集三角阵：,依次可得到H4=a,b,c,d的（四阶三角阵）子集。,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,d,d,d,d,d,d,d,d,由3到4递推法连续,递推法，就是“添1法”，或称“添1合1法”。,教师相约,k跨1步就是k+1,由2到3、由3到4，都是1步之跨.,教师相约,1步虽小，但我们一直走去，可以到达天边！,这就是“递推法”的力量所在！,由1开始，由任何已知的k，都能把它推向k+1.,因此，由1到n的问题可靠递推解决.,1分为2两分法起家,划分，到底将事物分成几类？在子集扩展的递推过程中给出了“两分法”.,分类思想、分类法，是分析事物的基本思想方法，由此产生了“划分法”.,两分法的重要性，在于这种方法把事物分成“互斥互补”的两部分：从整体到部分是一分为二，从部分到整体是合二而一.,教师相约,请记住，H3=a,b,c的子集分两类，含c的4个，不含c的也是4个。,分层划分树干图启蒙,集合H3=a,b,c的子集形成，可分三步，实为三层：,第1步考查元素a，分“无和有”两种情况；,第2步考查b，也分有、无两种情况；,第3步，还是“有、无”两种情况.,分步就是分层，将各层的可能数相乘，就是所有的子集个数.,树干图是分层划分的“数形结合”，用它来分析集合问题，可达到防重、防漏的效果.,教师相约,H3=a,b,c的子集形成，按“三层两分”不同情况的组合用图线连接起来，得到如下的树干图.,三层划分树干图的典型,教师相约,树干图与逻辑分类,事物的分类就是两分法，“三分法”在逻辑上“不存在”.所谓的“三分法”是两分法分层分类的“局部形式”.,【例题】5人站队，甲不站头，乙不站尾，求站法总数.,【说明】“三分法”导致错误如下.5人站队分三类：,错因：三分法不是“互补”式的逻辑划分，加法原理无效.,（1）甲在头4！；（2）乙在尾4！；（3）甲不头，乙不尾设作x.x=5!-24!=72.,教师相约,树干图解分类组合,第一层按甲划分：（1）甲在头，（2）甲不头；第二层按乙划分：（1）乙在尾，（2）乙不尾.得树干图如下：,5！,甲在头,乙在尾：3！乙不尾：33！,甲不头,乙在尾：33！乙不尾：x,由加法原理，得方程3！+33！+33！+x=5!解得x=78,教师相约,所谓组合即是抽出子集,教师相约,组合，即从集合中抽出子集.,写出n元集合Hn=x1，x2,，xn-1，xn的子集（集合）。,就是从n个元素依次取出r个元素的（子集）组合数.,就是中的r依次从0取到n时所形成的子集个数数列.,组合的一切性质，都深深地扎根于集合的子集之中.,实际上是从n元集合Hn中分别取出0个元素、1个元素、2个元素、n-1个元素，n个元素分别作成的“组合”,看清1+1认知乘法公式,教师相约,空集合的子集数是1,1元集合的子集数是1+1,2元集合的子集数是（1+1）（1+1）=1+2+1,3元集合的子集数是（1+2+1）（1+1）=1+3+3+1,4元集合的子集数是（1+3+3+1）（1+1）=1+4+6+4+1,这就是二项式展开式的系数式.,1+1迭起金字塔堆成,空集合的子集只1个，作金字塔顶；,杨辉三角实为子集三角阵的“立体本”。,教师相约,1元集合的子集有2个，作塔的1层；,2元集合的子集有22个，作塔的2层；,3元集合的子集有23个，作塔的3层；,4元集合的子集有24个，作塔的4层；,5元集合的子集有25个，作塔的5层；,n元集合的子集有2n个，作塔的n层。,由“肩扛两数”的性质，得到组合数的加法公式,组合加法就是子集迭加法,教师相约,按子集形成，组合数是n元集合中含r个元素的子集个数。,全部变为含含r个元的子集。,它由n-1元集合（上一行）中两部分子集合成：一是该集合中含r个元素的子集个数；二是该集合中含r-1个元素的子集个数，在这些含r-1个元子集中，依次添上第r个元素后，则,含第r个元素的有个；不含第r个元素的有个。,用两分法的观点看组合数加法，则是：将一分为二，,回答是：想走多远，就能多远！,学生对排列组合、概率统计感到抽象，说到底是对“子集变换”这条根没有链接上去！,子集引路还能走多远,教师相约,因为数学研究的对象就是集合及其元素，这些对象的变换，说到底就是集合的子集变换！,以下，我们以杨辉三角为“中转站”，看看如何把“子集变换”引向数列？引向高考压轴题？,为此，我们先看一段杨辉三角的“杂技表演”！,计数问题，实为子集的量化问题。,（1）组合加法,杂技表演，一杆通顶：抓一个，抛一个！,反映到图中是“一肩扛两数”：10=4+6,（2）组合加法的推广,加法推广看门道：数列求和：1+2+3+4=10,看杨辉三角表演顶杆杂技,教师相约,第1斜列：1、1、1、1、1；,杨辉三角看数列求和,教师相约,发现：下一斜列的通项公式恰为上一斜列的求和公式。,发现：等差数列及其高阶等差数列的基本公式全在杨辉手中！,第2斜列：1、2、3、4、；,第3斜列：1、3、6、10、；,第4斜列：1、4、10、20、；,如的求和公式是,【观察】竖看杨辉三角，得等比数列bn=2n-1,等比求和再请杨辉,教师相约,每下一行数，都是上面各行数的和再加1.,b1+b2+bn+1=bn+1,得求和公式Sn=2n-1,幂数列的求和公式Sn=2n1是等比数列求和的根基，试看：,考题设an是集合2t+2s|0st，s，tZ中所有的数从小到大排成的数列.a1=3,a2=5,a3=6,a6=12,（1）写出这个三角形第四行、第五行的各数.,（2）a100在这个三角形的第几行、第几列？,（3）求a100.,教师相约,子集计数爬上高考压轴题,将数列各项排成如下的三角形表：35691012,考题设an是集合2t+2s|0st，s，tZ中所有的数从小到大排成的数列.a1=3,a2=5,a3=6,a6=12,排成如下三角形,（1）第四行、第五行？,（2、3）a100？,教师相约,集合压轴题难在哪里,35691012,对当年的这道第22题（压轴），能得分者甚少，有的根本就看不懂题意，至今人们还有余恐.,其实，那是一道集合的2元子集组合问题，或说是一道“两个幂数列的求和问题”.,35691012,教师相约,请来杨辉一点即破,将左三角形的1、2两行相加，得右三角形的第1斜列第1个数3；,将左三角形的1、3两行相加，得右三角形的第1斜列第2个数5；,将左三角形的1、4两行相加，得右三角形的第1斜列第3个数9；,将左三角形的1、5两行相加，得右三角形的第1斜列第4个数17；,17,33,2n+1,18,34,20,36,24,40,48,例1之歌交响之音,例1提炼三种法：,列举递推两分法。,加法乘法两原理。,例1讲明两大理，,排组概率与统计。,二项式与组合式。,例1介绍两种式，,例1链接三种题，,例1展开一张图，,杨辉三角一揽收,杨辉三角埋多深，研究例1这条根！,教师相约,杨辉三角看数列，,斜看等差竖看比。,谁把例1弄个透，高中数学好漫游！,（4）通融教材厚书变薄,讲代数讲几何,数形结合归一个,初中课高中课,弟弟如今成哥哥,高考复习讲整合,沉重教材要变薄,教师相约,通融教材的几个方面,（1）函数、导数与不等式,（2）解几、立几与平几,（3）函数图像与方程图形,（4）三角、向量与复数,（5）集合、计数与概率,（6）高中数学与初中数学,教师相约,以下就初、高中数学的打通举例,初中高中首先打通,【性质】它们的性质相似：共轭虚数的和与积是实数，共轭无理数的和与积是有理数.,【打通】在ax2+bx+c=0的求根公式中，它们有缘相遇.,【意义】打通后，一元二次方程求根问题不仅美满，而且简捷.,【共轭】高中有共轭虚数：abi，初中有共轭无理数：a,前者，0时，有,后者，0.,【说明】方程（组）有解，或方程有图形的条件，落实到一个（多元）不等式，它们都是根的判别式的发展。,（4）直线ax+by=1与圆x2+y2=1有公共点的条件是a2+b21,教师相约,右边得加点什么？,不等式的配平与恒等式的倾斜,【思考】要把不等式(x1+x2)24x1x2配平成等式,【说明】不等式由恒等式倾斜而得，恒等式由不等式配平而成.,上例的转换筹码就是不负数(x1-x2)20,不难发现，要加的东西是(x1-x2)2,加上即得(x1+x2)2=(x1-x2)2+4x1x2,放缩法，就是不等式与恒等式添减转换筹码的过程.,教师相约,连等与放缩,【说明】初中的“比例性质”可带进高中的“分式的放大性”！,后者缩小成前者：,教师相约,【连等】分式有基本性质,【放缩】分式有放大性,【转换】前者放大成后者：,正四面体与正三角形,答案是：正三角形的中心把高线分成1比2，到顶点的距离是到对边距离的2倍！,【分析】关键是求外接球的半径，问题转到求四面体的中心位置,如果由高线长到正四面体的边长，再到底面的高线长，再到外接球的半径，将是一个实实在在的大题.,【题目】正四面体的高长为4，求外接球的体积为（）,【联想】正三角形中心在高线的什么位置？,教师相约,立几与平几打通,【猜想】中心在正四面体高线的第1个四等分点上；或者说，正四面体的外半径与内半径之比为31.,【沟通】线段的中心在线段中点，正三角形的中心在高线的第1个三等分点上。,正四面体的中心在高线的第1个四等分点上。,教师相约,指导教师最“害怕的事”莫过于失去“教师尊严”：,（五）坦诚为师认生为友,教师相约,（1）如不能及时回答学生的提问时；,