Mathematica的基本量.ppt

软件介绍,第2讲Mathematica的基本量,2.1数在Mathematica里将数大致分为两类，一类是基本常数，包括整数、有理数、实数和复数；另一类是系统的内部常数，包括数学、物理中常见的某些常数。这些数的概念同数学中的概念完全一样，它们的表示方法同数学中的也基本一致。但要指出的是，如果计算机字长允许的话，在Mathematica系统里，这些数可以具有任意的长度和精确值。,在这些数之间常常需要进行加、减、乘、除以及乘方等算术运算，这些算术运算的运算符在Mathematica里分别用+、-、*、/、等来表示，与计算机编程语言中的符号基本一致；还可以使用模板进行输入。模板的调出可以选择菜单“File/Palettes/3BasicInput”。,2.1.1数的表示和计算1.整数在Mathematica系统中，整数由一串连续的数字组成，数字之间不允许有空格或其他字符。在系统里可以对任意大的整数进行计算，系统将保持输入的和计算后输出的整数永远是精确的，不会将大的整数转化为浮点数形式。例如,说明：(1)乘法符号“*”可以用空格代替，但不能省略；(2)算术运算的优先顺序：先乘方，再乘除，最后是加减，可以用括号改变优先顺序；(3)同级运算的顺序依顺序从左到右进行；(4)负号用减号表示，直接写在数的前面即可，同数学习惯完全一样；(5)如果参加运算的整数都是精确数，那么运算的结果也一定是精确数，Mathematica系统决不轻易丢失信息。,2.有理数Mathematica系统中任何有理数都可用两个整数的商来表示，并且对有理数将自动化简，约去分子与分母中的公因数，最后结果是精确的。例如,3.实数(浮点数)实数在Mathematica里用浮点数表示。浮点数是指含有一个小数点的数字串，它至少包含着一位有效数字，数字串的长度可以任意。因此用浮点数来表示实数可以具有任意的精度。然而在书写时，数字串的长度总是有限位的，这样就有必要引入实数在不同精度要求下的近似记法。在Mathematica里用符号Nx，n来表示实数x具有n位精度的近似值，当n16时只取6位有效数字，当n17时则取n位有效数字。例如,说明：当整数、有理数、实数进行混合运算时，如果参加运算的数都是精确的，那么在Mathematica系统中运行的结果也一定是精确数，决不轻易丢失信息。如果其中有一些是近似数，那么运算的结果也只能是近似数，但保持尽可能高的精度，仍然不轻易丢失信息。注：(*)为Mathematica系统的注释符号，两个*号之间为注释内容，注释部分可以放在程序的任何位置。,4.复数同数学中的复数表示法一样，在Mathematica里的每一个复数也表示为z=x+Iy，其中x与y为实数，I为虚数单位，即，运算规则与数学中的规则一样。,5.数学常数最常见的数学常数有：此外，还有欧拉常数、黄金分割常数、光速常数、万有引力常数等数学、物理中常见的常数.对这类常数，Mathematica将它们设置为系统的内部常数，用到时，可以利用Help命令到系统中查询。,2.1.2数的转换有时需要将不同类型的数进行转换。例如，将有理数转换为实数，将精确数转换为近似数等。前面在实数举例中用到的函数N就是这种转换函数之一。下面列出的是最常用的两个转换函数：Nx将x转换为实数形式Nx，n将x转换为最多具n个数字精度的近似实数Rationalizex给出x的近似有理数Rationalizex，dx给出误差在dx内x的近似有理数,【例1-7】数的转换。N1/3N1/3,20Rationalize%RationalizeNSqrt2RationalizeNSqrt2,10(-7)说明：符号%的含义如下：%表示上一次输出的结果%表示倒数第2次输出的结果%(共n个)表示倒数第n次输出的结果%n表示以n为序号的那次输出结果,2.1.3数的输出形式在Mathematica计算中，常用函数N将符号运算的结果转换为数值结果，或将有理数的准确值转换为近似数。如果参与计算的数都是准确值，则计算结果将按准确值的方式输出；如果参与计算的数有近似数，则计算的结果必是近似数，系统将会根据数值类型与数值大小给出合理的输出形式。,2.1.3数的输出形式如果你对输出形式有精度方面的特殊要求，则可利用下面科学记数形式进行输出。ScientificForm表达式以科学记数形式输出表达式例如,2.2变量在Mathematica系统中，变量名与函数名总是用标识符来书写的。2.2.1标识符标识符是由英文字母开头的字母数字串。字母与数字的长度可以不限，但不能包含空格或标点符号。例如a，bce，a12，Cij，ArcSinh等均为合法的标识符，而2ab，x*y，a12，Arc-Sinh等均为不合法的标识符。,2.2.2变量命名变量命名即用标识符给变量命名，给变量用标识符命名时必须严格依照标识符的有关规定进行。给函数命名时，除了要遵守标识符的规定外，还要遵守函数命名的一些规则，这将在下一节作介绍。标识符除了可给变量命名和给函数命名外，还可有别的用途，例如可以用它来表示计算中的单位：1.5Kg+2.3Kg3.8Kg,2.2.3变量赋值在Mathematica中运算符“=”的作用是赋值。常常用它来给变量赋一个值，这个值可以是一个数值、一个数组、一个表达式，甚至一个图形。例如x=2+3x=y=3变量x一旦被赋值，这个值将长期保留，直到它被清除或被重新赋值为止。保留期间，无论在何处使用这个变量x，它将被数值3代替。,2.2.3变量赋值变量x一旦被赋值，这个值将长期保留，直到它被清除或被重新赋值为止。例如p3=x3+3*x24*x+5在以后的运算中凡是用到p3的地方，也就相当于在那里写上了这个多项式。对于已经赋值的变量，当不再使用而且想要清除掉时，可随时用“=.”清除掉。在这个命令执行后，变量的值就不存在了。应当特别注意随时将以后不再使用的变量的值清除掉，以免影响后面某些计算结果的正确性。,2.2.4变量替换在数学运算中，经常需要将数学式子中的某些变量替换为另外的一些变量，Mathematica中将这种替换机制叫做变换规则，用记号“/.”来完成。例如p3=5-4y+3y2+y3p3/.y-t+1p3/.y-2对于多个变量的式子，这种替换同样可以进行。例如f=x2+xy+y2f/.x-u+1,y-v-1,2.3表在Mathematica中，常常将一些有关联的元素组合成一个整体，并将其称为表（List）。表中的元素可以是数，也可以是函数，还可以是表达式等；同一表中的元素可以有不同的数据类型。表常被用来表示数学中的向量、矩阵或集合。,2.3.1表的描述表在形式上是用花括号括起来的一组元素，元素之间用逗号分隔。例如1，23，0.5，x，Sint3，4，1，2，5,2.3.1表的描述表的元素又称为表的分量，表中分量一般表示为：tn或Partt,n表示表t中的第n个元素t-n或Partt,-n表示表t中的倒数第n个元素Firstt表示表t中的第一个元素Lastt表示表t中的最后一个元素tn1,n2,或Partt,n1,n2表示由表t中第n1,n2,元素组成的表ti，j表示表t中的第i个子表的第j个元素,【例1-8】已知t1=3，4，5，6，7，8，9，则有：t13t1-3Firstt1Lastt1t12,4,5,7,2.3.2表的建立当表中的元素较少时，可以采用直接输入的形式：表变量名=元素1，元素2，来生成表，即在给出表名的同时又给出了表中的元素，但在更多的时候是要利用建表函数Table、Range和Array来生成。,1.循环描述在利用建表函数时常常要用到循环描述。(1)循环描述的一般形式是：循环变量，循环初值，循环终值，步长其执行过程是：循环变量从初值开始，按照所给步长逐步递增（或递减），直至达到或超过终值的界限为止。循环变量、初值、终值和步长可为整数、有理数和实数。,1.循环描述常见的几种循环描述如下：j，min，max，stepj从min开始到max，按步长step增加j，min，maxj，max说明：当步长为1时可省略不写，初值min为1时可省略不写max重复max次,除了上面的单重循环外，有时还要用到多重循环。多重循环是在写循环描述的地方连续写几个上面形式的循环描述，它们之间用逗号分开。例如i，imin，imax，j，jmin，jmax表示一个关于变量i与j的二重循环描述，它表示i从imin开始到imax，且对每一个j值，j从jmin到jmax。,2.建表函数利用建表函数来生成表是十分方便的。(1)数值表建表函数Range，格式如下：Range正整数n生成表1，2，3，nRangem，n生成表m,m+1,m+2,n(mn)Rangem，n，d从m开始按步长d递增，直到n的界限为止【例1-9】建数值表。Range3,9Range1,2,0.31,(2)通项表建表函数Table，格式如下：Tablefi，i，min，max，step说明：依照通项fi的规律，i从min到max，step为步长，当步长为1时省略。Tablef，max说明：依照通项f的规律，给出max个元素的表。Tablefij，i，imin，imax,j，jmin，jmax,说明：生成一个多维表。,【例1-10】建通项表。Tablei2,i,1,7Table2n,n,3,12,2Tablex+1,5TablePrimek,k,10式中，Primek为产生第k个素数的函数。TableRandom,3式中，Random为产生一个0与1之间随机数的函数。TableSinx,x,0,1,0.3Tablem+n,m,3,n,5,(3)特殊表建表函数Array，格式如下：Array函数f，整数nArray函数f，n1，n2，【例1-11】建特殊表。ArraySin,4N%Arraya,2,3其中第一句等价于TableSinn,n,4第三句等价于Tableai,j,i,2,j,3,说明：凡能用函数Range与函数Array生成的表，都能用函数Table生成，Mathematica系统提供函数Range与Array的目的是为了使用户有更多的方便与选择余地，我们的重点是对函数Table的掌握与使用上。,2.3.3表的运算表的运算主要包括表的结构运算与表的集合运算两部分。1.表的结构运算在Mathematica系统中，当一个表t与一个标量a作四则运算时，表示将a与t中的每一个元素作一次运算，运算的结果仍然是一个表。当两个表t1与t2进行加减运算时，首先要求t1与t2的长度相同(即t1与t2中元素的个数一样多)，然后将t1与t2对应元素相加减即可，运算的结果仍是一个表。,两个表的相乘、相除以及更一般的运算，我们将放到线性代数中去介绍。下面列出几个表的常见结构运算函数。Joint1，t2，将表tl，t2，连成一个表Uniont1，t2，合并几个表，去掉重复元素后对元素排序Sortt将表t中的元素排序Uniont去掉表中重复元素后对元素排序,两个表的相乘、相除以及更一般的运算，我们将放到线性代数中去介绍。下面列出几个表的常见结构运算函数。Reverset将表t中元素的顺序倒过来RotateLiftt，n将表t中元素向左转移n个位置RotateRightt，n将表t中元素向右转移n个位置ApplyPlus，t将表t中所有元素加在一起ApplyTimes，t将表t中所有元素乘在一起,【例1-12】已知t1=1，3，5，7，2，6，10；t2=Table2n-1，n，1，7，则Joint1,t2Uniont1,t2Sortt1Reverset1RotateLeftt2,3RotateRightt2,3ApplyPlus,t1ApplyTimes,t1,2.表的集合运算数学概念中的集合“并”、“交”、“补”运算，引伸到Mathematica里，是定义在几个表之间的“并”、“交”、“补”的运算，运算结果仍为表。其函数如下：Uniont1，t2，若干表之“并”，由表t1,t2,中所有不同元素组成Intersectiont1，t2，若干表的“交”，由表t1,t2,中公共元素组成Complementt1，t2表t1与表t2的“补”。由t1中有而t2中没有的元素组成,【例1-13】已知t1=1，3，5，7，2，6，10；t2=1，3，5，7，9，11，13，则Uniont1,t2Intersectiont1,t2Complementt1,t2Complementt2,t1,2.4函数Mathematica中的函数可以分为两大类：一类是在数学中常见的并且给出了明确定义的函数，比如三角函数、反三角函数等，可称之为数学函数；另一类是在Mathematica里给出定义的，具有计算和操作性质方面的函数，比如画图函数、方程求根函数等，可称之为操作函数。数学函数又可大致分为初等函数和非初等函数两种，下面将分别作简单介绍。,2.4.1基本初等函数与初等函数1.基本初等函数在Mathematica库函数里将它们作为最基本的函数供用户使用。,2.初等函数将常量、变量与基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的函数复合（函数套函数），并且能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。例如：，均是初等函数；，所确定的函数均不是初等函数。显然，初等函数里包含了全部基本初等函数。在自然科学与工程技术中最常见的函数是初等函数，它占有十分重要的地位。,2.4.2非初等函数与特殊函数凡不满足初等函数定义要求的函数，均可称为非初等函数。比如上面所列举的后3个函数便是非初等函数，又如数学分析中讲过的Gamma函数(x)与Beta函数B(p，q)，也都不是初等函数，再如由下面微分方程x2y+xy+(x2v2)y=0与(1x2)y2xy+n(n+1)y=0的解所确定的函数分别称为Bessel函数与Legender函数，也都不是初等函数。因此都可将它们归属到非初等函数中。,有些非初等函数，例如Bessel函数、Legender函数，由于它们在数学物理问题中具有特殊的意义，又将它们从非初等函数中划分出一小类，叫做特殊函数类。大致弄清初等函数与非初等函数的界限是必要的，因为它涉及到下面章节里一些问题的结果。比如某个不定积分是否可积，某个常微分方程是否有解等，对于这些问题的明确回答，将会起到关键性的作用。,2.4.3系统操作函数与运算函数由于处理和求解数学问题的需要，在Mathematica里专门设计了一大批具有求解和操作性质方面的函数。比如后面第2章中的各种绘图函数，第3章中的各种符号运算函数，第4章中的各种数值计算函数等，都可将它们归属到操作或运算函数类中。这类操作运算函数同前面介绍过的数学函数有着明显的区别，数学函数常被作为处理的对象，而操作运算函数常是处理的手段。,在一些计算机高级语言中，我们还常看到阶乘函数、取整函数、取余函数、随机函数等，也都是为了处理这些数学问题的需要而专门设计的，因此可以将它们归属到系统的运算函数类中，然而根据不同的需要，有时系统又将它们放入到数学函数类中。下面列出的是几个最常见的这类函数：,2.4.4函数名的书写规则通过上面的举例读者容易看到，在Mathematica中函数名的书写规则可以归纳如下：(1)函数名必须以大写字母开头，后面的字母小写，例如Sin，Tan等。当函数名可分成几个段时，每个段的开头字母都要大写，其后小写，例如ArcTan，