九年级数学下册 3.2 圆的对称性课件1 北师大版.ppt

圆对称性(1)垂径定理,九年级数学(下)第三章圆,3.2,圆的对称性,3.2圆的对称性,？,复习提问：,1、什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问题的?,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法即可解决上述问题.,3.2圆的对称性,O,A,C,B,N,M,D,圆是轴对称图形，,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。,O,A,C,B,N,M,D,或：任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。,任意一条直径都是圆的对称轴（）,圆的相关概念,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc).,直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧).,连接圆上任意两点间的线段叫做弦(chord)(如弦AB).,经过圆心的弦叫做直径(diameter)(如直径AC).,同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。,弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.,等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.,练习1.判断题(1)直径是弦.(2)过圆心的线段是直径.(3)半圆是弧.(4)两个半圆是等弧.(5)面积不等的两圆不是等圆.(6)长度相等的两条弧是等弧.,（）,（）,（）,（）,（）,（）,看一看,AEBE,AEBE,AM=BM,垂径定理,AB是O的一条弦.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,作直径CD,使CDAB,垂足为M.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,由CD是直径,CDAB,题设,结论,如图,小明的理由是:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定理,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,题设,结论,（1）直径（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,垂径定理三种语言,定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧,如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,E,解：连结OA.过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。AB8厘米AE4厘米在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘米O的半径为5厘米,练习,课题：垂直于弦的直径(2),垂径定理的推论,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心AC=BC,MNAB,弧AM=弧BM弧AN=弧BN,探索一：,结论：,推论1.(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,O,A,B,M,N,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。,推论1.(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,C,D,M,O,A,C,B,N,MNABAC=BC,直线MN过圆心O,弧AM=弧BM弧AN=弧BN,探索二：,推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;,M,O,A,C,B,N,MNABAC=BC弧AM=弧BM,直线MN过圆心O弧AN=弧BN,探索三：,推论1:(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。,C,D,A,B,M,T,E,F,G,H,N,P,错在哪里？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。,作AB的垂直平分线CD。,作ATBT的垂直平分线EFGH,你可以写出相应的命题吗?,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理的逆定理,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理的推论2,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.,讲解,如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.,推论2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。,挑战自我画一画,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,C,D,A,B,E,例：平分已知弧AB,已知：弧AB,作法：,连结AB.,作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点。,求作：弧AB的中点,挑战自我画一画,C,D,A,B,E,F,G,变式一：求弧AB的四等分点。,m,n,C,A,B,E,变式二：你能确定弧AB的圆心吗？,m,n,D,C,A,B,E,m,n,O,你能破镜重圆吗？,A,B,A,C,m,n,O,作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。,破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。,作图依据：,判断,垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧(),弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心(),圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分(),平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧(),圆内两条非直径的弦不能互相平分（）,挑战自我填一填,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（7）平分弦的直线，必定过圆心。,（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。,挑战自我填一填,(9)弦的垂直平分线一定是圆的直径.,平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.,弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.,挑战自我填一填,2.已知：如图,O中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.,挑战自我填一填,3、已知：如图，O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求O的半径OA.,挑战自我做一做,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,N,挑战自我做一做,5.已知：AB和CD是O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，O的半径为5cm，,（1）请根据题意画出符合条件的图形,（2）求出AB、与CD间的距离。,（1）,（2）,挑战自我做一做,解：（1）,OAB+AOC=90,挑战自我做一做,解：（2）,挑战自我做一做,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,挑战自我再上新台阶,例如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m求这段弯路的半径,分析要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.因为已知OECD，所以CFCD300cm，OFOE-EF，此时得到了一个RtCFO,利用勾股定理便可列出方程.,（四）讲例,驶向胜利的彼岸,回味引伸垂径定理及其推论1的实质是把(1)直线MN过圆心;(2)直线MN垂直AB;(3)直线MN平分AB;(4)直线MN平分弧AMB;(5)直线MN平分弧ANB中的两个条件进行了四种组合,