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辽宁省高中新课程省级培训数学科讲师团胡文亮Email：gzsxhwlg,导数及其应用专题,一、学习微积分的意义1天地通用微积分：是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想.”恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一.”微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.,整体介绍,二、编写的指导思想,1打破传统的教学顺序，突出概念本质：,越过极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微积分的核心微积分基本定理.没有从数学定义的角度讲极限，可以避免学生难以克服极限概念的理解这个问题，从而将更多的精力关注于导数和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数和定积分理解为一种特殊的极限.,虽然没有给出极限的定义，但是自始至终都体现出了极限的思想，以让学生在学习的过程中以具体内容为载体，逐步体会和感受极限思想，从而为大学阶段学习严格的极限定义打好基础.,从历史上看，是先有微积分，后有极限.,牛顿和莱布尼兹创立微积分学后，他们并没有解决无穷小量问题.牛顿对无穷小量究竟是不是零曾作过三种不同解释：有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁.,直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步的发展开来.,在教学中应该贯彻两条线.第一，是按照自然的历史的人的认识过程来表述；第二才是严密的公理化的表述.现在对于前者我们重视的太不够了.,两个极限典例,3返璞归真，强调本质：没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述.努力揭示数学对象的发展过程与本质，领会其中的数学思想方法.,4尽力体现课标理念：直观理解导数的背景，关注其思想和作用，重视其应用价值.贯穿微积分的基本思想方法：无限细分，以直代曲，并在解决问题的实践中逐步领悟.,三、教材概述,1与原大纲教材相比内容的调整变化：（1）选修11中，导数公式包含所有常见基本初等函数的导数；（2）选修22中，新增加了“定积分与微积分基本定理”；（3）所有导数公式都是用导数表给出，不要求学生证明；（4）删除了函数的最大值与最小值一节，相关内容以例题出现；,（5）选修22中，删除复合函数的导数一节，但有相关的例题和习题；（6）都增设了导数的实际应用研究最优化问题；（7）用数学软件求导数理科必修，文科选学,3.内容概述理科分为四个大节,第一大节：导数这一节通过具体实例，介绍函数的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率、导数的概念，结合具体函数介绍导数的几何意义要多举生活或学习中的实例，以体会研究过程中所体现的极限思想引导学生在学习过程中要认真体会学习与研究的方法，加强数形结合思想的应用意识和字母运算能力的强化,第二大节：导数的运算这一节主要是学习基本初等函数的求导方法和导数的四则运算法则.要注意导数的运算法则与实数运算法则的联系与区别对教材中给出的基本初等函数的导数表要能准确熟练的记忆，并会用数学软件求简单基本初等函数的导数,第三大节：导数的应用这一大节是本章学习与应用的重点，包含利用导数判断函数的单调性、利用导数研究函数的极值、导数的实际应用三个方面的内容，充分体现了导数在研究函数及在解决生产、生活实际问题中的作用利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的最值与导数的关系，特别是函数的最值与函数的极值的联系与区别,第四大节：定积分与微积分基本定理本节通过求曲边梯形的面积和求变力作功介绍定积分的概念，通过具体问题介绍微积分基本定理.要通过本节的学习了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想，本节内容是本章的一个难点,四、应注意的几个问题,1要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值,由于学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是应通过实际的背景和具体应用事例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解，直观了解微积分基本定理的含义.,2导数的运算不宜要求过高,由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数.只要求学生能根据导数定义求基本幂函数的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)）的导数.,4高中微积分课程更要注重知识发生、发展的过程,导数是微积分的核心概念，理解导数概念的实质、把握导数概念的生成所反映的思想和方法，是学习微积分的重中之重，从导数概念的发生、发展来看，变化率则是导数思想方法的核心，亦即中学开设微积分课程价值的核心.,课标要求,1导数概念及其几何意义（1）通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（2）通过函数图像直观地理解导数的几何意义,（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间（2）结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值,3导数在研究函数中的应用,4生活中的优化问题举例例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用5数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值（理）定积分与微积分基本定理（1）通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念（2）通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义6（理同文5）,考试大纲要求,1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景（2）理解导数的几何意义2导数的运算,（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次,4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5（理）定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念（2）了解微积分基本定理的含义,3导数在研究函数中的应用,说明：,1广东、山东的考试说明与全国的相同，但是海南、宁夏的与全国的有所不同，有以下三处：（1）导数的运算：文科要求“能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的导数”（2）导数在研究函数中的应用：（3）通过典型实例，体会导数在解决实际问题中的作用2对于导数的应用，考试大纲的要求高于课标的要求“能利用导数研究函数的单调性”3.江苏省只对节的标题有要求，没有提出对具体内容的要求，且最高要求是“理解”.,大纲要求,1（文）通过丰富的实际材料体验导数概念的背景；理解导数是平均变化率的极限；理解导数的几何意义（理）了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2（文）掌握函数y=xn（n为正整数）的导数公式，会求多项式函数的导数（理）熟记基本导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数,3（文）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值；通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用（理）会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值4通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想,教材分析,一、导数1.教学要求的变化：大纲的要求是“理解导数是平均变化率的极限；理解导数的几何意义；”课标的要求是“知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义”课标比大纲降低了理论要求文理要求相同,2.教学内容的变化：,大纲教材是在学习了数列的极限、函数的极限、函数的连续性等知识的基础上，从切线的斜率和瞬时速度引入导数的概念；,课标教材没有给出极限的定义，而是按照：平均速度（平均变化率）瞬时速度（瞬时变化率）导数的概念导数的几何意义这样的顺序来安排，用形象直观的“逼近”方法定义导数避开极限概念的难点，让学生有更充裕的时间学习导数的思想方法，体会导数概念产生的背景及其在现实生活中的应用,4.以实例解决研究方法的问题教材所给的登山实例，是要让学生体会世界上的变化无处不在，和如何刻画人们经常关心变化的快慢问题，即是解决研究方法的问题若两个变量存在函数关系，他们在某一范围内的平均变化情况可用函数的改变量与相对应的自变量的改变量的比来刻画（消元思想）,3.本节教学内容的重点与难点：重点是：导数概念的引进；导数实际意义的理解知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，直观理解导数的几何意义教学难点是：导数产生的极限过程，体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的过程中采用的逼近方法,5.瞬时变化率不是由“计算”得来的,形成导数定义以及理解导数内涵的基础都是瞬时速度这个具体的物理模型，因此教学的关键是让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度，体会到整个过程中采用的方法以及明确瞬时速度的含义瞬时变化率是通过缩短自变量的改变量，用平均变化率“逼近”了瞬时变化率瞬时变化率不是由“计算”得来的，而是客观存在的，令自变量的改变量趋于零，只是一种研究或刻画的方法，即是极限的思想方法，要会用“动”来看“静”（极限的符号只能作为一种记号）由实际问题抽象为数学的函数模型问题，就得到函数的瞬时变化率导数，即导数是函数瞬时变化率的另一种说法,此部分内容的重点是让学生体会研究的方法与过程从自变量的改变量出发，再令自变量的改变量“无限”的趋于零,要引导学生归纳出求函数导数的三个基本步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限.,注意：研究导数的条件是函数f（x）必须是在闭区间a，b“连续”的，而导数f（x）又是只在开区间（a，b）才可能存在的，至于为什么这不是我们现在研究的范围,6导数的几何意义的学习,必须在学生对图形充分感知的基础上进行，这是课标明确要求的导数的几何意义就是从图形的角度说明什么是导数，要让学生充分感知导数几何意义形成的过程，这也是对本节知识、方法的归纳总结过程，平均变化率的几何意义是过两点直线（割线）的斜率，瞬时变化率是一点处切线的斜率，割线变为切线的过程就是“逼近”的过程，也是以“直”代“曲”的过程，重要的是研究的过程与方法注意与初中圆的切的区别,对教材内容处理的几点建议,1（理）P4第4行“之差与横坐标之差的比值”“之差与相应横坐标之差的比值”2（理）P4例2、（文）P77例2所给函数不连续函数的平均变化率是对一个连续的区间而言的3.（理）P5练习B1、（文）P78练习B1，“治污效果好？”“治污效率好？”4（理）P8第6行、（文）P80第十九行，“能越过任意小的时间间隔，但始终不能为零”“能越过任意小的时间间隔，非常的接近于零，但始终不能为零5（理）P13习题11A第2题（1）、（文）P85习题31A第2题（1），与P13练习A第3题重复，换题,例：函数f(x)在区间（a，b）内处处可导，其图象大致如图所示，并且它的导数f/(x)在（a，b）内仍处处可导，令y=g(x)=f/(x)，则g(x)的导数g/(x)的值（）A恒为正数B恒为负数C有正也有负D不小于零,不要选择下列类问题进行训练,二、导数的运算,1.教学要求的变化：课标明显降低了理论要求，积与商的运算法则不再推导，特别是对复合函数的求导的要求限制的非常明确，但是却提高了计算的技能和能力要求.掌握会求简单函数的导数,2.教学内容的变化：,有理指数函数、对数函数的导数公式不再推导，直接以公式表的形式给出.,新增加了“数学软件的应用”这一教学内容；复合函数的内容不以一小节的内容出现.,4注意形式化训练中的规范要求：,在推导的过程中，要注意形式化训练中的规范要求，由于在求极限的过程中，若“简化”过程都会出现“0/0”的形式，由此让学生体会过程的重要性,既要突出导数这一算法的基本思想和方法，又要注意相关基础知识的补充与强化,探索与研究（理科）直观理解sinx和cosx的导数,6.熟练应用导数的四则运算法则：,导数的四则运算法则是“求导数”作为一种运算的运算域的规定，教材只给出和（或差）公式的证明，不要求学生能根据定义对积、商的导数公式进行证明,要让学生注意实数的运算法则并不完全适用于求导数的运算法则.,运算法则满足运算律,对教材内容处理的几点建议,1理P22例1：较难，可改为实系数的.（文科为整数系数的）2补充极限的四则运算法则：是只给出公式，不解释含义,不要求学生弄懂原因.3理科P21例5：例5的结论可给出一般化的结论.,1.教学要求的变化：,整体上教学要求有所提高.增加了“能利用导数研究函数的单调性；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；体会导数在解决实际问题中的作用”；但在研究函数的极值与最值方面却有严格限制，要求所研究的函数类型为多项式函数，且多项式的次数不超过三,课标要求高于大纲要求；课标考纲要求高于课标要求.,三、导数的应用,3.教学内容的重点与难点：,重点是：利用直观的方法理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的最值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的单调区间；函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，利用导数判别可导函数极值的方法；求一些实际问题的最大值与最小值难点是：对抽象函数图象的观察与识别；函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；最值与极值的区别和联系，如何建立模型求一些实际问题的最大值与最小值；函数的单调性与极值、最值知识的综合运用,要强化数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的教学.,教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，虽简化了问题，但在实际应用中遇到端点的问题时仍要谨慎处理,（1）利用导数研究函数的单调性,A.要通过判定可导函数的极值，加深学生对可导函数单调性与其导数的关系的了解;,B.最值问题必须在闭区间上研究；C.f(x0)=0是函数f(x)在点x=x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件；D.f(x)不存在的点也可能是极值点；E.解答格式、步骤规范化问题,（3）教学中应注意以下问题：,5.优化问题：,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题解决这些问题具有非常重要的现实意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最值问题关键是引导学生能从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的函数关系在教学中要让学生了解背景，对问题有一定的生活经验感知，从生活经验的角度去看待问题，在生活经验的基础上，逐步引入到数学问题中,应用中常用的一个概念经济学中的边际成本,推荐：严世健主编，齐植兰、李心灿编著的微积分,对教材内容处理的几点建议,1（理）P24正文第1、3行（文）P93正文第2、5行：“沙袋”“沙袋达到的”2（理）P27练习A第3题（文）P95练习A第3题：函数解析式为分式，注意课标要求与考纲要求的关系3（理）P27练习B第3题（文）P95练习B第3题：较难，建议适当增加相应的练习4（理）P30练习A第2、3题（文）P98练习A第2题：函数不是多项式函数，注意课标要求与考纲要求的关系5理科P32例3解答：建议此例题删除，以符合课标对复合函数的求导要求,四、定积分与微积分基本定理,1.教学要求的变化:,（1）定位：了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；通过实例，直观了解微积分基本定理的含义.,（2）增加了定积分和微积分基本定理的知识教学要求.,（3）对相关的数学文化，由被动了解，变为主动收集、交流、体会,2.教学内容的变化:,由原来的没有具体知识内容，改为有明确的知识内