中考数学综合题专题【二次函数压轴题解析】专题解析一.doc

数学专题之【二次函数压轴题】精品解析中考数学综合题专题【二次函数压轴题解析】专题解析一 1.已知抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DHHC，求a的值和直线CD的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）令y0，求得x的值，从而得出点A、B的坐标（2）令x0，则y3a，求得点C、D的坐标，设直线CD的解析式为ykxb，把C、D两点的坐标代入，求出直线CD的解析式（3）设存在，作MQCD于Q，由RtFQMRtFNE，得，及可得出关于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点M的坐标解答：（1）由y0得，ax22ax3a0a0，x22x30，解得x11，x23，A（1，0），B（3，0）（2）由yax22ax3a，令x0，得y3aC（0，3a）yax22ax3aa(x1)24aD（1，4a）DHHCDH1，CH4a（3a）aa1a1C（0，3），D（1，4）设直线CD的解析式为ykx3，则k34，解得k1直线CD的解析式为yx3（3）存在，如下图，作MQCD于Q，由（2）得，E（3，0），N（，0）F（，），EN设存在满足条件的点M（，m），则FMm，EF，MQOMQFMNFE，FQMFNE90RtFQMRtFNE即整理得4m236m630，(2m3)(2m21)0m1，m2点M的坐标为M1（，），M2（，）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果2.已知二次函数的图象如图.（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若ACB=90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由. 考点：二次函数综合题分析：（1）根据对称轴公式求出x=- ，求出即可；（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；（3）由抛物线的解析式 可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CDCM，即可证明答案：解: （1）由得 （，）（2）方法一:如图1, 设平移后的抛物线的解析式为 则C OC=令 即 得 A，B 即: 得 (舍去) 抛物线的解析式为 方法二: 顶点坐标设抛物线向上平移h个单位,则得到,顶点坐标平移后的抛物线: 当时, , 得 A BACB=90 AOCCOBOAOB 得 , 平移后的抛物线: （3）方法一:如图2, 由抛物线的解析式可得A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(，0) ，M 过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H,则 在RtCOD中,CD=AD 点C在D上 CDM是直角三角形，CDCM直线CM与D相切 方法二:如图3, 由抛物线的解析式可得A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(，0) ，M 作直线CM,过D作DECM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则, , 由勾股定理得DMOC MCH=EMDRtCMHRtDME 得 由(2)知 D的半径为5 直线CM与D相切 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理以及逆定理的应用，利用数形结合得出是解决问题的关键3.如图，半径为1的M经过直角坐标系的原点O，且与x的正半轴，y的正半轴交于点A、B，OMA=60,过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C.（1）求点A、B的坐标.（2）求抛物线的解析式.（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标.若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。分析：（1）由题意可直接得出点A、B的坐标为A（1，0），B（0，）；（2）再根据BC是切线，可求出BC的长，即得出点C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（3）先假设存在，看能否求出符合条件的点D即可解答：解：(1)M为半径1AB=2OMA=60,OAM=60OA=1,OB=A(1,0) ,B(0, )（2）AB是M的切线CBA=90OAM=60AC=4OA=3C(-3,0)设抛物线的解析式为把A(1,0) ,B(0, ),C(-3,0)代入得(3).抛物线的对称轴为x=-1做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点易求AB的解析式为是BC的垂直平分线AB设的解析式为交x轴于（-1，0）代入解析式得b=,把x=-1代入得y=0(-1，0),过B做BHx轴，则BH=1在Rt中，由勾股定理得=（-1，）同理可求其它点的坐标。可求交点坐标（-1，）,（-1，）,(-1，0),(-1,)（-1，）点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形判定等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题4.已知二次函数y=x22mx+4m8（1）当x2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围（2）以抛物线y=x22mx+4m8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由（3）若抛物线y=x22mx+4m8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）求出二次函数的对称轴x=m，由于抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可以求出m的取值范围（2）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到三角形AMN的面积是m无关的定值（3）当y=0时，求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，然后确定整数m的值解答：解：（1）二次函数y=x22mx+4m8的对称轴是：x=m当x2时，函数值y随x的增大而减小，而x2应在对称轴的左边，m2（2）如图：顶点A的坐标为（m，m2+4m8）AMN是抛物线的内角正三角形，MN交对称轴于点B，则，设BM=BN=a，则，点M的坐标为（m+a，），点M在抛物线上，整理得：得：或a=0（舍去）所以AMN是边长为的正三角形，SAMN=，与m无关；（3）当y=0时，x22mx+4m8=0，解得：，抛物线y=x22mx+4m8与x轴交点的横坐标均为整数，（m2）2+4应是完全平方数，m=2点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用二次函数的对称轴确定m的取值范围（2）由点M在抛物线上，求出正三角形的边长，计算正三角形的面积（3）根据抛物线与x轴的交点的横坐标都是整数，确定整数m的值5. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H.（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）在轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；ABHCABHC（备用图）（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标. 考点：二次函数综合题 分析：（1）将A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；（2）首先证明CEDDOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出ACD是以AC为斜边的直角三角形（3）首先求出直线CM的解析式为y=k1x+b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQACH，得PCQ=ACH得出答案即可 答案：24.解：（1），顶点C的坐标为（-1，4）（2）假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CEy轴于点E.EC由CDA=90得，1+2=90. 又2+3=90，3=1. 又CED=DOA =90，1CED DOA，.HBA23设D（0，c），则.变形得，解之得.综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使ACD是以AC为斜边的直角三角形. （3）若点P在对称轴右侧（如图），只能是PCQCAH，得QCP=CAH.延长CP交x轴于M，AM=CM， AM2=CM2.设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，m=2，即M（2，0）.设直线CM的解析式为y=k1x+b1，则， 解之得，.直线CM的解析式. 联立，解之得或(舍去). 若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQACH，得PCQ=ACH.过A作CA的垂线交PC于点F，作FNx轴于点N. 由CFACAH得，由FNAAHC得. , 点F坐标为（-5,1）. 设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解之得.直线CF的解析式. 联立 ，解之得 或 (舍去). . PABHCQM（图）PABHCQFN（图）满足条件的点P坐标为或 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握5. 如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）（1）求b的值（2）求x1x2的值（3）分别过M，N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是 M1和N1判断M1FN1的形状，并证明你的结论（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1x2的值（3）确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状（4）根据题意可知y=1总与该圆相切解答：解：（1）直线y=kx+b过点F（0，1），b=1；（3分）（2）直线y=kx+b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，可以得出：kx+b=x2，整理得：x2kx1=0，x1x2=4；（6分）（3）M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）理由如下：设直线l与y轴的交点是F1FM12=FF12+M1F12=x12+4FN12=FF12+F1N12=x22+4M1N12=（x1x2）2=x12+x222x1x2=x12+x22+8FM12+FN12=M1N12M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形（10分）（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=1过M作MHNN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1x2）2+（y1y2）2=（x1x2）2+（kx1+1）（kx2+1）2=（x1x2）2+k2（x1x2）2=（k2+1）（x1x2）2=（k2+1）（4 ）2=16（k2+1）2MN=4（k2+1）分别取MN和M1N1的中点P，P1，PP1=（MM1+NN1）=（y1+1+y2+1）=（y1+y2）+1=k（x1+x1）+2=2k2+2=2（k2+1）PP1=MN即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半以MN为直径的圆与l相切（15分）点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F的坐标求出b的值（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状（4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置6. 如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x0，0），其中x00，又点P是抛物线的对称轴l上一动点（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；（2）若PAC周长的最小值为10+2，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MHCB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；（4）在（3）的条件下，当S=时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论（备用图图3）考点：二次函数综合题。分析：（1）由题意AB点关于抛物线对称，则BC所在直线与对称点的交点即为P0；（2）由（1）所求可知该题周长最小即为 AC+BC的长，从而求出x0，而解得；（3）由在三角形OBC三角形CMN，得到高关于t的式子，因为MHBC，得到三角形MHP0三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，从而证明各点解答：解：（1）由题意直线AC与x轴的交点，所以当y=0，则x=6，所以点A（6，0）同理点C（0，8），设点A关于y轴对称点为B（x，0），由题意则x=2x0+6则直线BC为y=，代入x=x0，则y=，所以该点为（,），即（,）；（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10+2，=10+2，解得x0=2或x0=8（不符舍去），则点B（10，0），由点A，B，C三点的二次函数式为y=-点N（2，16）；（3）如图，作MNBC与N，则在三角形OBC三角形CMN，所以，即h=因为MHBC，所以，解得MH=，S=MHh=-，因为每秒移动2个单位，则当t=2时符合范围0t4，所以当t为2时S最大；（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，S=，即则解得t=2，则由题意知CEF三点所在圆半径为4，所以直线CN与CFE所在圆相切点评：本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式，考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合，是道好题7. 如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6），直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PDAC，垂足为D（1）求直线AC的解析式；（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在Q，使得SPAD：SQOA=8：25，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）先求出A、C两点的坐标即可求出直线AC的解析式；（2）求出O、M、A三点坐标，将三点坐标代入函数解析式便可求出经过点O、M、A的抛物线的解析式；（3）根据题意先求出Q点的y坐标，在根据Q在抛物线上的关系求出Q点的横坐标，便可得出答案解答：解：（1）由题意四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6）可知：A、C两点坐标为A（8，0），C（0，6），设直线AC的解析式y=kx+b，将A（8，0），C（0，6）两点坐标代入y=kx+b，解得，故直线AC的解析式为；（2）由题意可知O（0，0），M（4，3），A（8，0），设经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=ax2+bx，将M（4，3），A（8，0），两点坐标代入y=ax2+bx，得，解得，故经过点O、M、A的抛物线的解析式为；（3）AOCAPD，即解得PD=2.4，AD=3.2，SPAD=PDAD=，SPAD：SQOA=8：25，SQOA=12，SQOA=OA|yQ|=8|yQ|=12，解得|y|Q=3，又点Q在抛物线上，所以或解方程得x1=4，x2=4+4，x3=44，故Q点的坐标为、Q（4，3）点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题8. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当BON面积最大时，在坐标平面内求使得BOP与OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令x0，可求E点坐标；（2）设抛物线解析式为yax2+bx+c，将A（2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值即可；（3）依题意，得直线OB的解析式为yx，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为yx+m，与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当0时，BON面积最大，由此可求m的值及N点的坐标；（4）根据N点的坐标及AONOBP，可知直线BP与y轴交于点（0，30），可求直线BP的解析式，与抛物线解析式联立，可求P点坐标解答：解：（1）设直线AB解析式为ykx+b，将A（2，2），B（6，6）代入，得，解得，yx+3，令x0，得E（0，3）；（2）设抛物线解析式为yax2+bx+c，将A（2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得，解得，yx2x；（3）依题意，得直线OB的解析式为yx，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为yx+m，联立，得x26x4m0，当36+16m0时，BON面积最大，解得m，x3，y，即N（3，）；（4）依题意，得AONOBP，则直线BP与y轴交于点（0，30），设直线BP的解析式ykx+30，将B（6，6）代入，得k4，y4x+30，联立，解得，P点坐标为（20，110）点评：本题考查了二次函数的综合运用根据已知条件求直线、抛物线解析式，再根据图形特点，将问题转化为列方程组，利用代数方法解题9. 已知直线y=kx+3（k0）分别交x轴y轴于AB两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒（1）当k=1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）直接写出t=1秒时CQ两点的坐标；若以QCA为顶点的三角形与AOB相似，求t的值（2）当时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2），求CD的长；设COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？考点：二次函数综合题专题：几何综合题分析：（1）由题意得由题意得到关于t的坐标按照两种情形解答，从而得到答案（2）以点C为顶点的抛物线，解得关于t的根，又由过点D作DECP于点E，则DEC=AOB=90，又由DECAOB从而解得先求得三角形COD的面积为定值，又由RtPCORtOAB，在线段比例中t为是，h最大解答：解：（1）C（1，2），Q（2，0）由题意得：P（t，0），C（t，t+3），Q（3t，0）分两种情况讨论：情形一：当AQCAOB时，AQC=AOB=90，CQOA，CPOA，点P与点Q重合，OQ=OP，即3t=t，t=1.5情形二：当AQCAOB时，ACQ=AOB=90，OA=OB=3AOB是等腰直角三角形ACQ也是等腰直角三角形CPOAAQ=2CP，即t=2（t+3）t=2满足条件的t的值是1.5秒或2秒（2）由题意得：C（t，）以C为顶点的抛物线解析式是y=，由，解得，过点D作DECP于点E，则DEC=AOB=90DEOAEDC=OABDECAOBAO=4，AB=5，DE=，CD=.，CD边上的高=，SCOD为定值要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OCAB时OC最短，此时OC的长为，BCO=90AOB=90COP=90BOC=OBA又CPOARtPCORtOAB，即t=当t为秒时，h的值最大. 点评：本题考查了二次函数的综合题，（1）由题意很容易知，由题意知P（t，0），C（t，t+3），Q（3t，0）代入，分两种情况解答（2）以点C为顶点的函数式，设法代入关于t的方程，又由DECAOB从而解得通过求解可知三角形COD的面积为定值，又由RtPCORtOAB，在线段比例中t为是，h最大从而解答10. 如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DBAB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当AOB30时，求弧AB的长；（2）当DE8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算；平行线分线段成比例。专题：代数几何综合题。分析：（1）连接BC，由已知得ACB=2AOB=60，AC=AO=5，根据弧长公式求解；（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在RtODE中，由勾股定理求OE，依题意证明OEFDEA，利用相似比求EF；（3）存在当以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似时，分为当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，当交点E在点C的右侧时，要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，当交点E在点O的左侧时，要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，三种情况，分别求E点坐标【解】（1）连结BC,A（10，0）, OA=10 ,CA=5,OBDECFxyAAOB=30,ACB=2AOB=60,弧AB的长=; 4分（2）连结OD,OBDECFxyAOA是C直径, OBA=90,又AB=BD,OB是AD的垂直平分线,OD=OA=10,在RtODE中，OE=,AE=AOOE=10-6=4,由 AOB=ADE=90-OAB，OEF=DEA，得OEFDEA,即，EF=3；4分（3）设OE=x，当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，当ECF=BOA时，此时OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，E1（，0）；当ECF=OAB时，有CE=5-x, AE=10-x，CFAB,有CF=,ECFEAD,OBDFCEAxy,即,解得：,E2（，0）;当交点E在点C的右侧时，ECFBOA，要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，OBDFCEAxy连结BE，BE为RtADE斜边上的中线，BE=AB=BD,BEA=BAO,BEA=ECF,CFBE, ,ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ,而AD=2BE, ,即, 解得, 0（舍去），OBDFCEAxyE3（，0）;当交点E在点O的左侧时，BOA=EOFECF .要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO连结BE，得BE=AB，BEA=BAOECF=BEA,CFBE,又ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ，而AD=2BE, , 解得, 0（舍去）,点E在x轴负半轴上, E4（，0）,综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似,此时点E坐标为：OBDFCEAxy（，0）、（，0）、（，0）、（，0）4分【思路分析】（1）要求弧AB的长，半径为5，只要知道圆心角的度数，连结BC,根据圆心角的度数与它所对的弧所对的圆周角的2倍，ACB=2AOB=60,可得弧AB的长=（2）连结OD,先证OAD是等腰三角形，OD=OA=10,，解直角三角形RtODE中，得OE=,AE=AOOE=10-6=4,由OEFDE求出EF=3。OBDFCEAxy（3）分三种情况讨论：设OE=x，当交点E在O，C之间时，CEF=OBA=90有两种情况：当ECF=BOA，RtECFRtBOA此时OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，得E1（，0）；当ECF=OAB时，RtECFRtAOB有CE=5-x, AE=10-x，可得ECFEAD,OBDFCEAxy,即,解得：,E2（，0）;当交点E在点C的右侧时，只能ECF=BAO，RtECFRtBAO因为BE为RtADE斜边上的中线，BAE是等腰三角形， OBDFCEAxy因为等边对等角BEA=BAO,BEA=ECF,CFBE, 得OCFOEB,可证CEFAED, 又AD=2BE, 可解得, 0（舍去），E3（，0）;OBDFCEAxy当交点E在点O的左侧时，只能使ECF=BAORtECFRtBAO，连结BE，得BE=AB，BEA=BAOECF=BEA,CFBE,可证CEFAED, ，又AD=2BE, ,可 解得, 0（舍去）,点E在x轴负半轴上, E4（，0）,综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似,此时点E坐标为：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，圆周角定理，弧长公式的运用关键是理解题意，根据基本条件，图形的性质，分类求解11. 抛物线y=（x1）2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C（1）如图1求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQBC交x轴于点Q，连接BQ若含45角的直角三角板如图2所示放置其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上求直线BQ的函数解析式；若含30角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长（2）由CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到DQO=45，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标解答：解：（1）把x=0代入抛物线得：y=，点A（0，）抛物线的对称轴为x=1，OC=1（2）如图：B（1，3）分别过点D作DMx轴于M，DNPQ于点N，PQBC，DMQ=DNQ=MQN=90，DMQN是矩形CDE是等腰直角三角形，DC=DE，CDM=EDNCDMEDNDM=DN，DMQN是正方形，BQC=45CQ=CB=3Q（4，0）设BQ的解析式为：y=kx+b，把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=1，b=4所以直线BQ的解析式为：y=x+4当点P在对称轴右侧，如图：过点D作DMx轴于M，DNPQ于N，CDE=90，CDM=EDNCDMEDN当DCE=30，=又DN=MQ=，BC=3，CQ=Q（1+，0）P1（1+，）当DCE=60，点P2（1+3，）当点P在对称轴的左边时，由对称性知：P3（1，），P4（13，）综上所述：P1（1+，），P2（1+3，），P3（1，），P4（13，）点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用抛物线与y轴的交点及对称轴求出点A的坐标和OC的长（2）利用三角形全等确定点Q的坐标，求出BQ的解析式根据三角形相似求出点Q的坐标，然后确定点P的坐标12. 图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2，OEF与OGH组成的图形称为蝶形（1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h2的取值范围考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质；中心对称；平行线分线段成比例专题：计算题；几何图形问题分析：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EFBD，求证ABDAEF，然后利用其对边成比例求得EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值（2）根据题意，得OE=OM作ORAB于R，OB关于OR对称线段为OS，当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，可知RE=RM利用勾股定理求得BR，由MLEKOB，利用平行线分线段求得即可知h1的取值范围；当点E，M重合时，则h1=h2，此时可知h1的取值范围解答：解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形EFBD，ABDAEF，即 所以当时，（2）根据题意，得OE=OM如图，作ORAB于R，OB关于OR对称线段为OS，当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM， 由MLEKOB，得，即 ，此时h1的取值范围为且当点E，M重合时，则h1=h2，此时h1的取值范围为0h15点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，轴对称的性质，中心对称，平行线分线段成比例等知识点，综合性强，有一定的拔高难度，属于难题13. 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路径长（不必写解答过程）考点：二次函数综合题.专题：代数几何综合题；分类讨论.分析：（1）证明RtPMCRtDMB，即可证明DB=2m，AD=4m，从而求解；（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三种情况，根据勾股定理即可求解；（3）运动时，路线长不变，可以取当P在O点是，求解即可解答：解：（1）由题意得CM=BM.PMC=DMB，RtPMCRtDMB，DB=PC，DB=2m，AD=4m，点D的坐标为（2，4m）（2）分三种情况：若AP=AD，则4+m2=（4m）2，解得.若PD=PA，过P作PFAB于点F（如图），则AF=FD=AD=（4m）.又OP=AF，.若PD=DA，PMCDMB，PM=PD=AD=（4m），PC2+CM2=PM2，解得，（舍去）综上所述，当APD是等腰三角形时，m的值为或或.（3）点H所经过的路径长为点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果14. 已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）利用BOCCOA，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，进而得出D，E，F点的坐标即可得出，三条线段数量关系；（3）利用等边三角形的判定方法得出ABK为正三角形，以及易知KDC为等腰三角形，进而得出MCK为等腰三角形E点坐标解答：解：（1）解法1：由题意易知：BOCCOA，即，点C的坐标是（0，），由题意，可设抛物线的函数解析式为，把A（1，0），B（3，0）的坐标分别代入，得，解这个方程组，得，抛物线的函数解析式为解法2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，又OB=3，OA=1，AB=4，点C的坐标是（0，），由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x1）（x+3），把C（0，）代入函数解析式得，所以，抛物线的函数解析式为；（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF理由如下：可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，抛物线的对称轴为直线x=1，由此可求得点K的坐标为（1，），点D的坐标为（1，），点E的坐标为（1，），点F的坐标为（1，0），KD=，DE=，EF=，KD=DE=EF解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，理由如下：由题意可知RtABC中，ABC=30，CAB=60，则可得，