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文档简介
第二章学业质量标准检测本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1下列命题中正确的是(D)A B0C00 D解析起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,;,是一对相反向量,它们的和应该为零向量,0;002已知点P,Q是ABC所在平面上的两个定点,且满足0,2,若|,则正实数(A)A B C1 D解析满足0,点P是线段AC的中点2,22,点Q是线段AB的中点,|,3如果a、b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是(D)AabBab1Cab D|a|b|解析两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项A、C不正确;由于两个单位向量的夹角不确定,则ab1不成立,所以选项B不正确;|a|b|1,则选项D正确4如图,ab等于(C)A2e14e2B4e12e2Ce13e2D3e1e2解析abe13e25如图,正方形ABCD中,点E、F分别是DC、BC的中点,那么(D)ABCDAD解析()6()()等于(A)A0 B12C12 D12解析a0.(a0为a的单位向量)原式即(1a01b0)(2a02b0)12(ab)07已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2,1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为(A)A BC D解析本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算由条件知(2,1),(5,5),10515|5,则在方向上的投影为|cos,故选A8已知a、b是不共线的向量,ab,ab(,R),那么A、B、C三点共线应满足的条件是(D)A2 B1C1 D1解析A,B,C三点共线即存在实数k,使得k,即abk(ab),所以有aka,bkb,即k,1k,得19设a、b是两个非零向量(C)A若|ab|a|b|,则abB若ab,则|ab|a|b|C若|ab|a|b|,则存在实数,使得abD若存在实数,使得ab,则|ab|a|b|解析利用排除法可得选项C是正确的,|ab|a|b|,则a、b共线,即存在实数,使得ab.如选项A:|ab|a|b|时,a、b可为异向的共线向量;选项B:若ab,由正方形得|ab|a|b|不成立;选项D;若存在实数,使得ab,a,b可为同向的共线向量,此时显然|ab|a|b|不成立10(山东高考)已知非零向量m、n满足4|m|3|n|,cos.若n(tmn),则实数t的值为(B)A4 B4C D解析由n(tmn)可得n(tmn)0,则tmnn20,所以t334.故选B11(2018天津理,8)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD120,ABAD1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为(A)A BC D3解析如图,以D为坐标原点建立直角坐标系连接AC,由题意知CADCAB60,ACDACB30,则D(0,0),A(1,0),B,C(0,)设E(0,y)(0y),则(1,y), y2y2, 当y时,有最小值故选A12已知点O为ABC所在平面内一点,且222222,则点O一定为ABC的(D)A外心 B内心C重心 D垂心解析2222,2222,()()()(),()(),()0,()0,20,0,同理可得:,O为ABC的垂心第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13已知向量a、b,且a2b,5a6b,7a2b,则A、B、C、D四点中一定共线的三点是_A、B、D_解析(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)214设向量a,b,c满足abc0,(ab)c,ab,若|a|1,则|a|2|b|2|c|2的值是_4_解析由于ab,由此画出以a,b为邻边的矩形ABCD,如图所示,其中,a,b,abc0,c,ab(ab)c,矩形的两条对角线互相垂直,则四边形ABCD为正方形|a|b|1,|c|,|a|2|b|2|c|2415若对n个向量a1,a2,an存在n个不全为零的实数k1,k2,kn,使得k1a1k2a2knan0成立,则称向量a1,a2,an为“线性相关”依此规定,能说明a1(1,2),a2(1,1),a3(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取_4,2,1_(写出一组数值即可,不必考虑所有情况)解析由k1a1k2a2k3a30得k14k3,k22k3,令k3c(c0),则k14c,k22c16(2017天津理科)在ABC中,A60,AB3,AC2,若2,(R),且4,则的值为解析由题意,知|3,|2,32cos603,(),()()223322254,解得三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知向量a(1,2),b(x,1)(1)若a,b为锐角,求x的范围;(2)当(a2b)(2ab)时,求x的值解析(1)若a,b为锐角,则ab0且a、b不同向abx20,x2当x时,a、b同向x2且x(2)a2b(12x,4),2ab(2x,3)(2x1)(2x)340即2x23x140解得:x或x218(本题满分12分)如图,AOB,动点A1,A2与B1,B2分别在射线OA,OB上,且线段A1A2的长为1,线段B1B2的长为2,点M,N分别是线段A1B1,A2B2的中点(1)用向量与表示向量(2)求向量的模解析(1),将2,所以();(2)|2(222)(1212cos4)|19(本题满分12分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a(1,2)(1)若|b|2,且ab,求b的坐标(2)若|c|,且2ac与4a3c垂直,求a与c的夹角解析(1)设b(x,y),因为ab,所以y2x又因为|b|2,所以x2y220由联立,解得b(2,4)或b(2,4)(2)由已知(2ac)(4a3c),(2ac)(4a3c)8a23c22ac0,又|a|,|c|,解得ac5,所以cos,0,所以a与c的夹角20(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量,当atb(tR)的模取最小值时(1)求t的值;(2)已知a与b成45角,求证:b与atb(tR)垂直解析(1)设a与b的夹角为,则|atb|2|a|2t2|b|22tab|a|2t2|b|22|a|b|tcos|b|2(tcos)2|a|2(1cos2)当tcos时,|atb|取最小值|a|sin(2)a与b的夹角为45,cos,从而t,b(atb)abt|b|2|a|b|b|20,所以b与atb(tR)垂直,即原结论成立21(本题满分12分)在ABC中,设(1)求证:ABC为等腰三角形;(2)若|2,且B,求的取值范围解析(1)证明:,()0又0则(),()()0220,|2|2|,即ABC为等腰三角形(2)解:B,cosB,设|a|2,|24,则有a2a22a2cosB4a2,则a2cosB2又cosB,2,22(本题满分12分)已知向量a,b满足|a|b|1,|kab|akb|(k0,kR)(1)求ab关于k的解析式f(k)(2)若ab,求实数k的值(3)求向量a与b夹角的最大值解析(1)由已知|kab|akb|,有|kab|2(|akb|)2,k2a22
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