华中师范大学数学物理方法第2章作业及答案.pdf

第二章第二章 级数的基本性质级数的基本性质 2- 1 复变函数的级数复变函数的级数 1. 求下列幂级数的收敛半径：求下列幂级数的收敛半径： （1） 1 k k z k = （2） 1 () ! k k k z zi k = （3） 2 1 k k z = （4） 1 ! k k k k z k = （5） 1 (5) kk k kz = （6） 2 1 kk k q z = 其中其中1q 解：(1) 1 1 1 limlimlim1 11 1 1 kkk k k R k kk = (2) () ( ) 1 1 !1 limlimlim1 11 1 1 ! kkk kk R k kk = (3) 1 lim1 1 k R = (4) () ()() () 1 1 1 1 ! 11 ! limlimlim ! 1 1! k k k k kkk k k kkk k R k k kk k = 令1kn =，则 11 limlim 1 nn kk n Re nn + =+= （5） 11 limlim0 kkkk R k k = （6）当1q 时ln0q 故 2 ln 111 limlimlimlim kq k kkkk kk k k Re qa q = 2 .证明：对幂级数逐项积分或逐项求导，不改变其收敛半径。证明：对幂级数逐项积分或逐项求导，不改变其收敛半径。 解: 设幂级数为() 0 ( ) k k k S zazb = = 其收敛半径为 1 lim k k k a R a + = 逐项积分后，() 1 1 1 ( ) k k k S za k zb = = 的收敛半径为 () 1 11 limlimlim 11 kk kkk kk a kak RR akak + = + 逐项积分后，() 1 2 0 ( ) 1 k k k a Szzbc k + = =+ + 的收敛半径为 () () 2 11 22 limlimlim 11 k k kkk kk akak RR akak + + = + 3.利用级数（利用级数（2- 2- 16）导出下列函数在）导出下列函数在0z =领域内的幂级数展开式，并指出收敛领域内的幂级数展开式，并指出收敛 范围：范围： （1） 1 azb+ （ , a b为复数，且为复数，且0b ） ；） ； 解： 1 azb+ = 1 (1) a bz b + = 11 1() ab z b = 0 1 n n n a z bb = = 1 0 ( 1) n nn n n a z b + = 1 1 lim n n n n n a b R a b + = 11 lim nn nn n ab ba + =lim n b a = b a 故，收敛范围为 b z a （2） () 2 1 1z （提示：（提示： () 2 11 1 1 z z = ） 解： () 2 1 1z = 1 1z = 1 01 nn nn znz = = 11 |1| 1 limlim nn n R nn = 所以收敛范围是| 1z . 4.证明：如果证明：如果 1 lim n n n a a 存在，则下列三个幂级数有相同的收敛半径：存在，则下列三个幂级数有相同的收敛半径： n n n a z ， 1 1 n n n a z n + + ， 1n n n na z 证明： 1 1lim n n n a R a = 1 2 1 lim n nn a n R a n = + = 1 1 lim n n n an na + = 11 1 lim nn n nn aa an a += 1 lim n n n a a 1111 3 (1)1 limlimlim nnnn nnn nnnn naaaa R naan aa = 由题设条件 1 lim n n n a a 存在，故有 123 RRR=，故三个幂级数有共同的收敛半径。 第二章第二章 级数的基本性质级数的基本性质 2- 2 复变函数在解析区域中的幂级数展开泰勒级数复变函数在解析区域中的幂级数展开泰勒级数 鞍点鞍点 1.求求 sin z 和和 cosz 在在0z =的领域的泰勒展开式，讨论其收敛区域，并验证：的领域的泰勒展开式，讨论其收敛区域，并验证： cossin iz eziz=+ 解： （i）由欧拉公式有 1 sin() 22 iziz ixix ee zee ii = 由 2 1 1!2! n z zzz e n = +LL 则 22 1 1!2! nn iz izi zi z e n = +LL， ()() 2 1 1!2! n iz iziz iz e n = +LL 所以 2222 1( 1) sin11 221!2!1!2! iziznnn nn eeizi zi zizi zi z z iinn =+ + LLLL () 3521 ( 1) 1!3!5!21 ! n n zzzz n + =+ + + LL () 21 0 ( 1) 21 ! n n n z n + = = + () () 1 211 ! lim 1 21 ! n n R n + = + 即收敛区域为全平面。 （ii）因为 ()() 2 22 1 cos11 221!2!1!2! n iziznn izizeeizi zi ziz z nn + =+ + LLLL () () 2462 11 2!4!6!2! n nzzzz n = + +LL () () 2 0 1 2! n n n z n = = 收敛区域为全平面。 因为， () 22242 11( 1) 1!2!2!4!2! nnn izn izi zi zzzz e nn = +=+ + LLLL () 3521 ( 1) 1!3!521 ! n n zzzz i in + + + L () () () () 221 00 11cossin 2!21 ! nn nn nn zz iziz nn + = =+=+ + 2.将下列函数展开成泰勒级数，并说明其收敛区域：将下列函数展开成泰勒级数，并说明其收敛区域： （1） 1 z 在在1z = 的领域的领域 解：() () 0 11 11 1(1) nn n z zz = = + () () 1 1 lim1 1 n n n R = 故收敛区域为011z （2） 1 1 z z + 在那在那0z =和和1z = 的领域的领域 解（i）在0z =的领域() 11 1 11 z z zz = + 而() 0 1 1 1 n n n z z = = + 所以()()()() 1 00 1 111 1 nn nnn nn z zzzz z + = = + 其收敛区域为1z （ii）在1z = 的领域 ()() () () () () () 0 11 1111 1111 1112122 2 1 2 n n n zz z zzz zzzz = = + + () 1 0 1 1 2 n n n z + = = 其收敛领域为 1 01 2 z 即 012z （3） 2 sin z和和 2 cos z在在0z =的领域的领域 解（i）法一 因为()() () () 2 2 0 2 11111 sin1 cos2cos21 222222! n n n z zzz n = = () ( ) () 2 1 2 1 2 1 1 22! n n n n z n = = 法二 令( ) 2 sinf zz=则( )2sin cossin2fzzzz= 所以( )() () () 21 0 2 sin21 21 ! n n n z fzz n + = = + () () 21 21 0 2 1 21 ! n n n n z n + + = = + ( )f z =( )fz dz = () () 21 21 0 2 1 21 ! n n n n zdz n + + = + () () () 21 22 0 2 1 2221 ! n n n n z nn + + = = + () () 21 1 2 1 2 1 2! k k k k z k = = () () 2 1 2 1 12 1 22! k k k k z k = = 所以() () 2 1 22 1 12 sin1 22! k k k k zz k = = （ii）() () 2 1 222 1 12 cos1 sin11 22! n n n n zzz n = = = () () () () () () ()() 2 1 2 2222 2 1 2!222 !2221 limlimlim 222!4 1 21! n n n nn nnn n nnnn R n n + + = + 所以0z （4） 1 1 z e 在在0z =的邻域的邻域 解：法一： 1 11 00 11 ! 1! 1 nn zn zz nn zz ee eee nznz = = = 由广义二项式定理： () ()()() 2 111 11 2! m k m mm mmk zmzzz k + += + L LLL 当 m 为负整数时，这个级数在1z 的园内收敛。 法二：令( ) 1 1 z fze = 则( )( )( ) ( )( ) 23 00 00 2!3! fzfz f zffz =+L ( ) 1 1 0 0fee = ( )() 1 2 1 0 01 z z fzee = = ( )()()() 11 322 11 0 02 1113 zz z fzezzee = =+= ( )013fe = ( ) ( ) 4 073fe= LLLL 所以( ) 23 313 1 2!3! f zezzz =+ L 因为 2 1 1 1 zz z = + L 其收敛半径1R = ，由维尔斯特拉斯定理知 1 1 z e 在1R = 的园域内解析。 根据复变函数泰勒展开式的定理： “如果一个函数( )fz 在以 b 为圆心，R 为 半径的园内部解析，则它可以在此园内部展开成幂级数，而且这一展开式是唯一 的 所以 1 23 1 313 1 2!3! z eezzz =+ L 在01z 的区域内收敛。 （5）tan z在在0z =的领域（只计算前四项的系数）的领域（只计算前四项的系数） 令( )tanfzz= 则( ) 2 1 cos fz z = ( ) 3 2sin cos z fz z = ( ) 22 4 2cos6sin cos zz fz z + = ( ) ( ) 23 4 5 16sin cos24sin cos zzz fz z + =LLLL 所以 357 1217 tan 315315 zzzzz=+LL 因为 2 z =是tan z的奇点，而tan z在 2 z 内解析，故级数在 2 z 内收敛。 2- 3 复变函数在环形区域中的幂级数展开复变函数在环形区域中的幂级数展开 罗朗级数罗朗级数 p61 求下列函数在指定区域内的罗朗展开：求下列函数在指定区域内的罗朗展开： 1. ( )()13 z zz 在在1z = 和和3z =为心的环域内；为心的环域内； 解（i）在1z = 为心的环域内 ()()()()()()() 13131 1 13113121 1 2 z z zzzzzzz =+= () 0 131 1212 n n z zz = = 1 01 2 z 即012z （ii）在3z =为心的环域内 ()()()()()()() 11111 3 13331323 1 2 z z zzzzzzz =+=+ + () () 0 113 1 3232 n n n z zz = =+ 032z 2. 2 1 (1)zz 在在1z = 为心的环域内；为心的环域内； 解：因为在1z = 为心的环域内，故有011z 因为 () () () 0 11 11 11 nn n z zz = = + 而() ()()() 11 2 00 11 1111 nnnn nn zn z zz = = = = 所以 () ()()()()()()() 11 121 2 001 11 1111121 11 nn nnkk nnk n zn zkz zzz + = =+ 3. sin 1 z z 在在01z 内；内； 解： 111 sinsin 1sin1coscos1sin 1111 z zzzz = = + () () () () 221 00 1 111 sin1cos11 2!121 ! 1 n nn n nn nznz + = = + + () () () () 221 00 1 111 sin1cos11 2!121 !1 n nn n nn nznz + = = + + 4. 2 z e z + 在在2z 内；内； 解：()() ()1 0000 11 1 21 2 22! 1 zmm ll lzlll lmlm ezz ezz zzmm z z + = = + + 1 z 2 z 31ml n zzz + + LLLL 1 z 为得正幂项，须用 1l n z + + 去乘所有负幂项 2 z M 1l z 为得负幂项，须用 k m z 去乘所有正幂项 k m z 为了得到乘积中的某个正幂项 n z ，()0n ,应取 z e 展开式中的1mln= + 的项 去乘 1 2z + 展开式中所有各项。为了得到乘积中的某个负幂项 k z，需用 1 2z + 展 开 式 中 的()1lkm+= 项 去 乘 z e展 开 式 中 的 所 有 各 项 。 以 实 现 ()1 k mmk zzzk =这样一来，便有：() ()1 00 1 2 2! zm l ll lm ez z zm + = = + () () () 1 0010 22 1 ! lm k nk nlkm zz lnm + = =+ + ()() 11 1 001 22 ! m nk n nn nmnk n zz mk + = + =+ 5. 2 (1)(2) z zz 在在1z ，在，在12z内内. 解：(i)在1z 内 因为 22 112 (1)(2)(1)(2)(2) z zzzzz =+ 而 0 11 1 11 n n z zz = = = ， 00 11111 (2)2222 2 1 2 n n n nn z z zz = = = = () 21 00 111111 (2)22222 nn nn nn n zz zz + = + = = = 所以() 21 0000 111 111 (1)(2)22222 n nnn nnn nnnn zzn zznz zz + = = +=+ (ii) 在12z内 因为 012 11111 11 1 n nn nnn zz zzzz z z = =+ 11 012 1112111 22 2(2) 1 n nn nn nnn zzzzzz z z = =+ () 112 21 112 11222 1 (2)2 nnn nnn nnn nn zzzzz + = = = = = 所以 ()() 11 11 2 2222 111221 11 21 2 (1)(2) nn nn nnnn nnnn z nn zzzzzzzz = =+=+ () 2 1 1 2 12 12 21 2 nn nn nn n nz z + = + =+= 第二章第二章 级数的基本性质级数的基本性质 2- 3 复变函数在环形区域中的幂级数展开复变函数在环形区域中的幂级数展开 罗朗级数罗朗级数 1. 求下列函数在指定区域内的罗朗展开：求下列函数在指定区域内的罗朗展开： 1. ( )()13 z zz 在在1z = 和和3z =为心的环域内；为心的环域内； 解（i）在1z = 为心的环域内 ()()()()()()() 13131 1 13113121 1 2 z z zzzzzzz =+= () 0 131 1212 n n z zz = = 1 01 2 z 即012z （ii）在3z =为心的环域内 ()()()()()()() 11111 3 13331323 1 2 z z zzzzzzz =+=+ + () () 0 113 1 3232 n n n z zz = =+ 032z 2. 2 1 (1)zz 在在1z = 为心的环域内；为心的环域内； 解：因为在1z = 为心的环域内，故有011z 因为 () () () 0 11 11 11 nn n z zz = = + 而() ()()() 11 2 00 11 1111 nnnn nn zn z zz = = = = 所以 () ()()()()()()() 11 121 2 001 11 1111121 11 nn nnkk nnk n zn zkz zzz + = =+ 3. sin 1 z z 在在01z 内；内； 解： 111 sinsin 1sin1coscos1sin 1111 z zzzz = = + () () () () 221 00 1 111 sin1cos11 2!121 ! 1 n nn n nn nznz + = = + + () () () () 221 00 1 111 sin1cos11 2!121 !1 n nn n nn nznz + = = + + 4. 2 z e z + 在在2z 内；内； 解：()() ()1 0000 11 1 21 2 22! 1 zmm ll lzlll lmlm ezz ezz zzmm z z + = = + + 1 z 2 z 31ml n zzz + + LLLL 1 z 为得正幂项，须用 1l n z + + 去乘所有负幂项 2 z M 1l z 为得负幂项，须用 k m z 去乘所有正幂项 k m z 为了得到乘积中的某个正幂项 n z ，()0n ,应取 z e 展开式中的1mln= + 的项 去乘 1 2z + 展开式中所有各项。