[课件资料]概统第3章

第三章多维随机变量及其分布,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.,第三章是第二章内容的推广.,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标）来确定的等等.,一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,，Xn)为n维随机变量或随机向量.以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照.,3.1二维随机变量及其分布,设S=e是随机试验E的样本空间，X=X(e)，Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论X和Y的性质是不够的，需要把(X,Y)作为一个整体来讨论。随机变量X常称为一维随机变量。,一、二维随机变量及其分布函数,一维随机变量XR1上的随机点坐标；二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标；n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标。多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。,定义2设(X,Y)是二维随机变量，二元实值函数F(x,y)=P(XxYy)=P(Xx,Yy)x(-,+),y(-,+)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称X与Y的联合分布函数。即F(x,y)为事件Xx与Yy同时发生的概率。,二、二维随机变量的联合分布函数,几何意义：若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值F(x0,y0)就表示随机点(X,Y)落在区域-Xx0，-Yy0中的概率。如图阴影部分：,(x0,y0),x,y,O,对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2)，则随机点(X,Y)落在矩形区域x1Xx2，y1Yy2内的概率可用分布函数表示为P(x1Xx2，y1Yy2)F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1),(x1,y1),(x2,y2),Ox1x2x,y1,y2,y,分布函数F(x,y)具有如下性质：(p55),(1)对任意(x,y)R2,0F(x,y)1。(2)F(x,y)是变量x或y的非降函数，即对任意yR,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意xR,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2)。(3),(4)函数F(x,y)关于x是右连续的，关于y也是右连续的，即对任意xR，yR，有,反之，任一满足上述性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。,三、二维离散型随机变量及其分布,1、二维离散型随机变量（定义3）若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限多对或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。,2、联合分布律设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有可能取值为(xi,yi)，i=1,2,，j=1,2,。若(X,Y)取数对(xi,yi)的概率P(X=xi,Y=yi)=pij，满足(1)pij0；(2),则称P(X=xi,Y=yi)=pij，i=1,2,，j=1,2,为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律或分布律。,二维离散型随机变量的分布律也可用表格形式表示为：,的求法,利用古典概型直接求；,利用乘法公式,例1某校新选出的学生会6名女委员,文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定2人为学生会主席候选人.令X,Y分别为候选人中来自文、理科的人数.,解X与Y的可能取值分别为0,1与0,1,2.,求(X,Y)的联合分布律.,由乘法公式,或由古典概型,相仿有,故联合分布律为,01,012,3/156/151/15,3/152/150,X,Y,例2袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1，有2个球编号均为2，有2个球编号均为3。每次从中任取两个球，以X和Y分别表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。求X和Y的联合分布律。,解(X,Y)的全部可能取值为(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5个球从中任取2个，共有C52=10种取法。试验样本点总数为10，,用表格表示为,由X和的联合概率分布，可求出、各自的概率分布：,称P(Xxi)pi.，(i1,2,)为二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律；,称P(Yyj)p.j，(j1,2,)为二维离散型随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律。,以表格形式表示为,注意：联合分布律可以确定边缘分布律，而边缘分布律不一定能确定联合分布律。,例3如例1中，已求得(X,Y)的联合概率分布如下，求(X,Y)的边缘概率分布,01,012,3/156/151/15,3/152/150,X,Y,01,012,3/156/151/15,3/152/150,pi,pj,1/3,2/3,1,6/158/151/15,解：由联合分布求得(X,Y)边缘分布律为,四、二维连续型随机变量及其密度函数,1、定义(p57)设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使对任意实数x，y，有,则称(X,Y)为二维连续型R.V.，且称函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，简记p.d.f.,可记为(X,Y)f(x,y)，(x,y)R2,2、联合密度f(x,y)的性质(p57)(1)非负性：f(x,y)0，(x,y)R2;(2)归一性：,(3)若f(x,y)在(x0,y0)处连续，则有,事实上,(4)设G是平面上一个区域，则二维连续型随机变量(X,Y)落在G内的概率是概率密度函数f(x,y)在G上的积分，即,特别地，,称X的密度函数fX(x)为(X,Y)关于X的边缘密度函数，且,称Y的密度函数fY(y)为(X,Y)关于Y的边缘密度函数,与离散型相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定.,(1)求常数K；(2)求联合分布函数F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y1)。,例4已知,解(1),K=6,Ox,y,x+2y=1,(2),(3),例5设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为,(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y1)。,解(1),解得k=15,O1x,1,y,y=x,x+y=1,(2),例6设r.v.(X,Y)的联合d.f.为,求(X,Y)边缘概率密度,解：,同理求得Y的边缘密度函数为：,例7设二维随机变量,求边缘密度函数fX(x)和fY(y),解当0x1时,O1x,y,1,y=x2,y=x3,当x0或x1时，fX(x)=0，所以,当00、|1，则称(X,Y)服从参数为1，1，2，2，的二维正态分布，记为,2、二维正态分布(P60)若二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,二维正态分布的重要性质：若(X,Y)服从二维正态分布，,则,联合密度函数f(x,y)的指数部分,则,即,同理可得,x(-,+),由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与无关，说明不同，得到的二维正态分布也不同，但其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的，即使X,Y都是服从正态分布的随机变量，(X,Y)不一定是服从二维正态分布。二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之不真。,例9设二维随机变量,x(-,+)，y(-,+)，求fX(x)，fY(y)。,解,因此,同理可得,但(X,Y)不服从二维正态分布。,3.2随机变量的独立性,一、两个随机变量的独立性定义设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数，FX(x)，FY(y)分别是X与Y的边缘分布函数，若对一切x,yR，均有P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)即F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X与Y是相互独立的。随机变量X与Y是相互独立的充要条件是事件(Xx)与事件(Yy)相互独立。,X与Y独立,即,连续型,二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布,对一切i,j有,离散型,X与Y独立,对任何x,y有,由上述结论可知：要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可。,例1已知(X,Y)的联合分布律为,试确定常数a,b，使X与Y相互独立。,解先求出(X,Y)关于X和Y的边缘分布律,要使X与Y相互独立，可用pij=pipj来确定a,b。P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)，P(X=3,Y=2)=P(X=3)P(Y=2)，即,因此，(X,Y)的联合分布律和边缘分布律为,经检验，此时X与Y是相互独立的。,例2若二维随机变量,证明X与Y相互独立的充分必要条件为=0,证(X,Y)的联合密度函数为,边缘密度函数为,f(x,y)=fX(x)fY(y)成立的充分必要条件是=0，而X与Y相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。,例3设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数,(1)求X,Y的边缘概率密度；(2)问X与Y是否相互独立？,O1x,y,1,解,由于f(x,y)与fX(x)fY(y)在平面上不是几乎处处相等，因此X与Y不相互独立。,例4一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时之间，他的秘书到达办公室的时