2012年6月微分方程模型.ppt

1线密度设细棒的质量与棒的长度（已经在细棒上建立了轴）的关系为则表示细棒上一小段的平均密度，那么细棒在点的线密度可定义为即,例3某快餐公司在某地区已有40个营业点，每个营业点平均每天营业额为1万元。经调查发现：每开一个新营业点将会使所有各点的每天的营业额减少200元，试问：该公司总共要开多少个营业点，才能使公司收入最多？,5.1微分方程的建立,实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律：y=y(t).,直接求很困难,建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程,建立变量能满足的微分方程,？,哪一类问题,在工程实际问题中,*“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.,关键词:“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”.,建立方法常用微分方程,运用已知物理定律,利用平衡与增长式,运用微元法,应用分析法,机理分析法,一、微分方程模型建模步骤,（1）建模步骤（2）关于建模步骤的例子（3）建立微分方程的其他方法,1、建模步骤(1),1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段t上的增量表达式，令t0，即得到的表达式,建模步骤(2),3、配备物理单位：在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。,建立微分方程模型时,应用已知物理定律，可事半功倍,例5.1.1一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？,牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.,一.运用已知物理定律,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，,“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”,翻译为,数学语言,建立微分方程,其中参数k0，m=18.求得一般解为,ln(Tm)=kt+c,代入条件，求得c=42，k=,最后得,T(t)=18+42,t0.,破案,受害者的尸体于晚上19:30发现，法医于20:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6摄氏度。一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4摄氏度，室温在几小时内始终保持在21.1摄氏度。此案的最大嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：下午张某一直在办公室上班，17:00时打了一个电话，打完电话就离开了办公室。从张某的办公室到凶案现场需步行5分钟，问：(1)张某是嫌疑犯吗？(2)若张某的律师发现受害者死亡的当天下午去医院看过病，病历记录：发烧38.3摄氏度。试问：张某能排除在嫌疑犯之外吗？,设t时刻尸体温度为T(t)，则,为了便于计算，再设20:20时刻为0时刻，一小时后为1时刻，可解得C=11.5，k=0.11，即,(1)当体温为37摄氏度时，可得死亡时间为17:23，张某是嫌疑犯。(2)若发高烧38.3摄氏度，可得死亡时间为16:40，则可排除张某嫌疑犯。,目前，欧债美债危机使大家对经济的发展前景十分担忧。一个国家债务过多，其所需支付的利息超过了该国的国民收入时，该国会出现破产。那么持续财政赤字的国家会出现破产这个现象吗？国民收入与国家债务问题能否转化为微分方程去进行分析呢？,收入与债务的问题,利用微分方程可以很好地体现一个国家的国民收入与其债务问题。,赤字定义:为一个等于支出减去收入的正值,假定所有变量都以实际美元标价，从而去掉通货膨胀因素。假定赤字为任何时点国民收入的常数比例。令D(t)表示国债在时刻t的美元价值Y(t)表示时刻t国民收入。,假定D(t)=bY(t),b0（一般,许多国家的b值介于0.02和0.08之间，这意味着赤字大约相当于国民收入的2%8%）假定国民收入随时间的增长满足如下微分方程：Y=gY,g为正常数（表示国民收入的增长率）。,国债积累模型,假定利息率为常数r，则利息支付rD(t).定义z(t)=rD(t)/Y(t)为偿付国债利息所吸收的国民收入份额.,国债的利息支付收敛到国民收入的一个固定比例rb/g。如果rb/g1，那么即便政府一直实行不断增长的国民收入的固定比例的预算赤字，最终的债务负担也会收敛到国民收入的一个固定份额。这会是一个好消息，因为这意味着经济总是能够满足债务的偿付，破产永远都不会发生。另一方面，如果rb/g1，那么这一过程就会收敛到一个利息支付超过国民收入的有限值，此时，如果预算赤字持续下去，那么经济将注定会破产。,二.分析法,基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.,例5.1.2（新技术推广模型）一项新技术如何在有关企业中推广，是人们关心的问题。具体的说，就是一家企业采用了一项新技术，那么该行业中其他企业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素影响速度的大小？,记p(t)为t时刻采用该技术的企业数，并设p(t)连续可微。假设未采用该技术的企业之所以决定采用该技术，是因为其已知已有企业采用了该技术并具有成效，也就是“示范效应”在起作用。假设t=0时，有一项技术被引进到共有N个企业的行业中，其中有一个企业采用了该技术。,表示t到,时间内采用该技术的企业数的增加量,假设该增量与已采用该技术的企业数成正比，还与未采用该技术的企业数成正比，则有,令,当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？还有当？时变化率最大？如果考虑广告的效应呢？,解为,考虑单位时间内使用该技术的企业数增量时应把示范效应和广告效应一起考虑。而广告只对没采用该技术的企业起作用。假设其引起的增量与（N-p）成正比,草原命运:天然草原的生息繁衍,已形成自身特有的生物链,且对人类生存起着重要作用。长期以来,人为破坏(如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等)使草原生态每况愈下,日渐衰竭。据2000年8月6日北京晚报载:“受利益驱使,有些人不顾国家法律和当地政府禁令,在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药,致使草原严重受损。据此,有关专家推断,10年之内,该草原将变成荒漠。”,为了天然草原的生息繁衍和可持续发展,完成以下工作:1)建立草原自然生长规律模型,描述人为破坏对草原生长的影响过程;(2)论证或驳斥报载消息中专家的推断,如果立即停止对草原的一切人为破坏,10年后的情形如何?3)寻求导致草原消失的临界条件,给出草原生长的挽救方案,并对挽救效果进行预测。,模型验证印度孟买的一个例子,图中，实际数据用圆点表示可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。,微分方程的定性分析,随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具，也是数学建模的必备基础理论.,一.微分方程定性理论的基本任务和主要研究方法,极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解.,求微分方程的数值解,解决方法,对微分方程进行定性分析,一般提法：不去积分给定的微分方程,而根据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态.,微分方程定性分析,基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状，或研究当时间无限增大时,积分曲线的性态.,研究对象：驻定系统,其右端的函数不显含自变量t，称为一阶n维驻定系统(自治系统、动力系统).,若微分方程组,例5.2.1单一质点非受迫直线运动满足下方程,得一个二维驻定系统,一般二维驻定系统形式为,存在且唯一，则在三维空间(x,y,t)中有且仅有一条解曲线通过点(x0,y0,t0).,基本思想将空间曲线投影到平面上进行分析.,动态微分方程模型,一、传染病模型：四个模型二、战争模型,问题提出,本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍乱已经得到有效的控制然而，即使在今天，一些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象，医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是：（1）感染上疾病的人数与哪些因素有关（2）如何预报传染病高潮的到来,问题分析,不同类型传染病的传播过程有不同的特点。故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型由于传染病在传播的过程涉及因素较多，在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完善的数学模型思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修改假设，最终得出较好的模型。,模型一,模型假设：（1）一人得病后，久治不愈，人在传染期内不会死亡。（2）单位时间内每个病人传染人数为常数k。,为什么假设不会死亡？,（因为死亡后便不会再传播疾病，因而可认为此时已退出系统）,模型建立：,I(t)表示t时刻病人的数量，时间：天则：I(t+t)I(t)k0I(t)t,k0表示每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数于是模型如下：,模型的解：,举个实例,最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人,模型的缺点,问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加，这一点与实际情况不符原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移时，一个地区的总人数可视为常数。因此k0应为时间t的函数。在传染病流行初期，k0较大，随着病人的增多，健康人数减少，被传染的机会也减少，于是k0将变小。模型修改的关键：k0的变化规律,模型二,设t时刻健康人数为S(t)模型假设：（1）总人数为n，I(t)十S(t)n（2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不会死亡。（3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康的人数成正比，比例系数为k（称之为传染系数）,模型改进,方程的解：,对模型作进一步分析,传染病人数与时间t关系,传染病人数的变化率与时间t的关系,染病人数由开始到高峰并逐渐达到稳定,增长速度由低增至最高后降落下来,疾病的传染高峰期,此时,计算高峰期得：,意义：1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快的来临，这与实际情况比较符合。2、令=kn，表示每个病人每天有效接触的平均人数，称日接触率。t0与成反比。表示该地区的卫生水平，越小卫生水平越高。故改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。,模型的缺点,缺点：当t时，I(t)n，这表示所有的人最终都将成为病人，这一点与实际情况不符合原因：这是由假设1)所导致，没有考虑病人可以治愈及病人病发身亡的情况。思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型进行修改。,模型三,有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再次被传染而成为病人。模型假设：（1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)，则：s(t)+i(t)1（2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成正比，比例系数为k（3）病人中每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，称1/为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2人，1/5，则每位病人平均生病时间为1/5天)。,模型的建立,假设2、3得：,将假设1代入，可得模型：,模型的解：,阈值=k/的意义,一个病人在平均传染期内传染的人数与当时健康的人数成正比，比例系数为,模型的意义,（t,i(t)）图,（1）当1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋于零。（2）当l时，i(t)最终以1-1/为极限；（3）当增大时，i()也增大，是因为随着传染期内被传染人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占比例也随之上升,模型四,某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。模型假设：（1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类，这三类人在总人数中所占的比例分别为s(t)，i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)1。（2）单位时间内，一个病人传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病人人数成正比，比例系数为,模型的建立,i(t)与s(t)无解释解。从相轨线定性分析,相轨线,相轨线（s，i）,图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向,相轨线分析结果,1、不论初始条件s0、i0如何病人终将消失。2、最终未被感染的健康者的比例是s，图中可看出是在(0，1/)内的单根。3、若s01/，则i(t)先增加，当s1/时，i(t)达到最大。4、若s01/，则i(t)单调减小至零,阈值1/的意义,1、减小传染期接触数，即提高阈值l/，使得s01/(即1/s0)，传染病就不会蔓延。2、医疗水平3、交换数的意义4、的估计,1、问题来源,2、Lanchester的工作,缺陷：,3、一般战争,x(t)与y(t)表示t时刻甲乙双方交战人数,一、假设：,二、模型,4、战争类型讨论,（1）正规战争（2）游击战争（3）混合战争,（1）正规战争模型,分析甲方战斗减员率f(x,y)：,模型简化,（3）,原模型：,简化后,模型求解,认为：兵力先减至零的一方为负方。,解分析,乙方取胜的条件平方率模型,条件：,（2）游击战争模型,模型,方程的解,乙方获胜的条件,（3）混合战争,甲方为游击队，乙方为正规部队,相轨线,乙方获胜的条件,结果分析,则乙获胜的条件：,模型应用越战,思考：如何分析美国-伊拉克现代战争的结局？,5、模型的另一个应用,（1）基本模型建立,（2）增援率u(t),（3