高等数学之一关于矩阵的习题.ppt

习题课矩阵,P99,第10题设A为n阶方阵,并且Ak=O,试证E-A可逆,并且,证明:若n阶方阵A满足AB=E,则A可逆.,所以A-E可逆,并且(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1,第11题设A为n阶方阵,且满足A2+2A-3E=O,证明(1)A可逆,并求A的逆.(2)A-2E可逆,并求(A-2E)的逆.,证明:(1),所以A可逆,并且,所以(A-2E)可逆,并且,(2),第15题已知为方阵B满足AB=A+B,求矩阵B,其中,解:AB=A+B,(A-E)B=A.可以用矩阵方程的行初等变换方法计算B.,所以,第16题已知,且矩阵B满足A2-AB=E,求矩阵B.,解法一:因为A2-E=AB所以B=A-1(A2-E).解法二:因为AB=A2-E可以用矩阵方程的初等变换方法计算B.,(AA2-E)行初等变换(EB),第17题设A是n阶方阵,B是nr矩阵,且r(B)=n.,试证:(1)如果AB=O,那么A=O;(2)AB=B,那么A=E.,解:(1)因为AB=O,(AB)T=BTAT=O,又r(B)=n,所以r(BT)=n.因此矩阵方程BTAT=O(齐次线性方程组的矩阵形式),AT仅有零解.即AT的所有元素为零.即AT=O,所以A=O.,(2)因为AB=B,(A-E)B=O,根据(1)则A-E=O,即A=E.,第18题设A,B是两个n阶反对称矩阵,则,(1)A2是对称矩阵.,(2)AB=BA时,AB是对称矩阵.,解:(1)(A2)T=ATAT=(-A)(-A)=A2所以A2是对称矩阵.,（2）（AB）T=BTAT=（-B)(-A)=BA=AB.所以AB是对称矩阵,例题:设n阶方阵A的伴随矩阵为A*,证明：（1）若|A|0，则|A*|0。（2）|A*|A|n1。证明：由伴随矩阵的定义显然有AA*=A*A=|A|En,两边取行列式即得|A|A*|=det(|A|En)|A|n,故当|A|不等于0时，（2）是显然的。而只要我们证明了（1），则（2）对于|A|0的矩阵A也是成立的。下面我们证明（1）。,(反证法）假设则|A*|0，则A*可逆，于是在AA*=|A|En两边右乘(A*)1,有A|A|En(A*)1O（因为|A|0），因此A的伴随矩阵A*应该为O。与假设矛盾！,例设A为n阶方阵满足A2A2EO，证明A和A2E均可逆，求它们的逆矩阵。解:由A2A2EO易得(AE)A=2E,即(AE)A=E.故由逆矩阵的定义可得A可逆，且类似可求得(A2E)(A3E)=4E.即,第19证明:(1)非奇异对称(反对称)矩阵A的逆仍然是对称(反对称)矩阵;(2)奇数阶反对称矩阵必不可逆.,解:(1)因为A是非奇异,并对称矩阵.A可逆,且(A-1)T=（AT)-1=A-1,由定义可知A-1也是对称矩阵.同理可证反对称句阵的情况.(2)设A为反对称矩阵,则AT=-A,AT=-A=(-1)nA=A(行列式性质1),当n为奇数时,-A=A则2A=0,所以A=0,即A不可逆.,第20题设n阶方阵A可逆,将A的第i行与第j行元素交换后得到B.(1)证明B可逆;(2)求AB-1.,解:(1)根据已知条件,有E(i,j)A=B(*)(E(i,j)是初等矩阵).又A可逆,所以A行初等变换E即PsP2P1=A,代入(*)式:E(i,j)PsP2P1=B,即P1-1P2-1Ps-1E(i,j)-1B=E,B行初等变换E所以B可逆.(2)E(i,j)A=B,E(i,j)AB-1=E,AB-1=E(i,j)-1=E(i,j),第22题,为n阶非零实矩阵,若aij=Aij,其中Aij的元素aij的代数余子式(i、j=1，2,.n)，证明AO。证明：用反证法。假设A=O，即,这与A为n阶非零实矩阵矛盾，所以AO。,证明:因为r(A)=r,矩阵A=(aij)mn,则,第23题设A是秩为r的mXn矩阵,证明A必可表示成秩为1的mXn矩阵之和.,即存在m阶的可逆矩阵P1及n阶可逆矩阵Q1,使,所以,其中,由于P,Q均可逆,所以,第24题设实对称矩阵A满足A2=O,证明A=O.,证明:用数学归纳法证明,当n=2时,因为A是实对称矩阵,假设n-1时结论成立,即,所以n=2时结论成立.,n时,所以n时,矩阵A=O.因而结论成立.,第25题设A为二阶矩阵,A2=E,AE,证明,r(A+E)=r(A-E)=1.,证明:A为二阶矩阵,并A2=E所以,A2-E=O,即(A+E)(A-E)=O,又A+EO,A-EO,所以r(A+E)O,r(A-E)O.以下用反证法假设r(A+E)1(或r(A-E)1),只有r(A+E)=2(或r(A-E)=2)(A+E)(A-E)=O(看成矩阵方程AX=O)中A+EO,则(A-E)=O与A+E矛盾.所以r(A+E)=1.同理r(A-E)=1.,第26题设A为mXn矩阵,且mn,证