同济大学高等数学第六版作者答案详解1-6.pdf

25 习题 16 极限存在准则 两个重要极限 畅 计算下列极限 ： （） lim x sin x x ； （） lim x tan x x ； （） lim x sin x sin x ；（） lim x xcot x ； （） lim x cos x xsin x ；（） lim n nsinx n（ x 为不等于零的常数） 解 （） 当 时 ， lim x sin x x lim x sin x x lim x sin x x ； 当 时 ， lim x sin x x ， 故不论 为何值 ， 均有lim x sin x x （） lim x tan x x lim x tan x x lim x tan x x （） lim x sin x sin x lim x sin x x x sin x lim x sin x x lim x x sin x （） lim x xcot x lim x x sin x cos x lim x x sin x lim x cos x （） lim x cos x xsin x lim x sin x xsin x lim x sin x x （） lim n nsinx n lim n sin x n x n x x 畅 计算下列极限 ： （） lim x （ x） x ； （） lim x （ x） x ； （） lim x x x x ；（） lim x x kx （k 为正整数） 解 （） lim x （ x） x lim x （ x） （ x）（ ） e （） lim x （ x） x lim x （ x） x e （） lim x x x x lim x x x e 26 （） lim x x kx lim x （ x） （ x）（ k） e k 倡 畅 根据函数极限的定义 ， 证明极限存在的准则 准则 I 如果（） g（ x） f（ x） h（ x） ，x U 。 （ x，r） ， （） lim x x g（ x） A ，lim x x h（ x） A ， 那么lim x x f（ x）存在 ， 且等于 A 证 橙 ，因 lim x x g（ x） A ，故 愁 ，当 x x 时 ，有 g（ x） A ， 即 A g（ x） A ，（） 又因lim x x h（ x） A ，故对上面的 ，愁 ，当 x x 时 ，有 h（ x） A ， 即 A h（ x） A （） 取 min ，r ， 则当 x x 时 ， 假设（）及关系式（） 、 （）同 时成立 ， 从而有 A g（ x） f（ x） h（ x） A ， 即有 f（ x） A 因此lim x x f（ x）存在 ， 且等于 A 注 对于 x 的情形 ， 利用极限lim x f（ x） A 的定义及假设条件 ，可以类 似地证明相应的准则 畅 利用极限存在准则证明 ： （） lim n n ； （） lim n n n n n n ； （） 数列 ， ， ， 的极限存在 ； （） lim x n x ； （） lim x x x 证 （） 因 n n ， 而lim n ，lim n n ， 由夹逼准则 ， 即得证 （） 因 n n n n n n n n n ，而 lim n n n ，lim n n n ， 由夹逼准则 ， 即得证 27 （） xn xn（n N ） ，x 先证数列 xn有界 ： n 时 ，x ； 假定 n k 时 ，xk 当 n k 时 ，xk xk ， 故 xn （n N ） 再证数列 xn单调增加 ： 因 xn xn xn xn xn x n xn xn （ xn ）（ xn ） xn xn ， 由 xn ， 得 xn xn ， 即 xn xn（n N ） 由单调有界准则 ， 即知lim n xn存在 记lim n xn a 由 xn xn， 得 x n xn 上式两端同时取极限 ： lim n x n lim n （ xn） ， 得a a 痴 a a 痴 a ，a （舍去） 即lim n xn 注 本题的求解过程分成两步 ， 第一步是证明数列xn单调有界 ， 从而保证数 列的极限存在 ； 第二步是在递推公式两端同时取极限 ， 得出一个含有极限值 a的方 程 ， 再通过解方程求得极限值 a 注意 ： 只有在证明数列极限存在的前提下 ， 才能采 用第二步的方法求得极限值 否则 ， 直接利用第二步 ， 有时会导出错误的结果 （） 当 x 时 ， n x x ； 当 x 时 ， x n x 而lim x ， limx （ x） 由夹逼准则 ， 即得证 （） 当 x 时 ， x x x 而 lim x （ x） ，lim x 由夹逼准 则 ， 即得证 习题 17 无穷小的比较 畅 当 x 时 ， x x 与 x x 相比 ， 哪一个是高阶无穷小 ？ 解 因为lim x （ x x ） ， lim x （