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文档简介

1,二.相似矩阵的定义及性质,定义:,设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得,则称矩阵是矩阵的相似矩阵，,对进行运算称为对进行相似变换，,可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。,或称矩阵与矩阵相似，记作,注：矩阵相似是一种等价关系,（1）反身性：,（2）对称性：若则,（3）传递性：若则,2,推论：若矩阵与对角阵相似，,则是的个特征值。,3,其它的有关相似矩阵的性质：,(5),4,（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。,三.矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）,5,（2）可逆矩阵由的个线性无关的特征向量作列向量构成。,6,例1:判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解:,得,7,得基础解系,当时，齐次线性方程组为,当时，齐次线性方程组为,8,得基础解系,线性无关,即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。,9,得基础解系,所以不能化为对角矩阵.,当时，齐次线性方程组为,10,解：,11,得基础解系,当时，齐次线性方程组为,当时，齐次线性方程组为,12,得基础解系,线性无关，,可以对角化。,令,则有,13,注意：若令,即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,则有,14,把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。,可对角化的矩阵主要有以下几种应用：,1.由特征值、特征向量反求矩阵,例3：已知方阵的特征值是,相应的特征向量是,15,解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。,因为有3个不同的特征值，所以可以对角化。,即存在可逆矩阵,使得,其中,求得,16,17,2.求方阵的幂,例4：设求,解：,可以对角化。,系数矩阵,令得基础解系:,18,系数矩阵,令得基础解系:,令,求得,即存在可逆矩阵,使得,19,20,3.求行列式,解：,方法1求的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。,设,的特征值是,21,方法2：已知有个不同的特征值，所以可以对角化，,即存在可逆矩阵,使得,22,4.判断矩阵是否相似,的特征值为,令,3阶矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化。,23,即存在可逆矩阵,使得,方法2：因为矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化，,所以矩阵能与对角阵相似。,24,例7：设阶方阵有个互异的特征值，,阶方阵与有相同的特征值。,证：设的n个互异的
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