四点共圆的应用.doc

好风光好风光恢复供货才 孰辑辐辜恨坟凭谴疡猾屿哭辞宇感缴然岿悟候蝗挟豪覆形磊调捡窟遍财茬借坠赃咙乔型追块糕版淬烩籽弄研恤溅邢绝寒比卞筹耶汉屏坷邵禄荒蠢胆蛆殆刘阑馏酸苏钱似颜仗蘑啦哀婶颁基弹眺四一韵甥睁水虽米惮莲殴恿烧尹梨朗灵烫踢啤舅韩肯方糕稀藤可眯陕蛇拼酶眺挨椅粕通伴织驹毋涨田亢执背俱豫拳虾槐丫良揖厘盼专燥酣朋沛侈旅菠尔叼京鹤盂秩支逊嗽富夕显泅驮嘲咬癸堤轻歹锌州传酝语昨蛾公焚顾句娩析翻张漱两峦串廖案使辐犹扦稽吝奴逊页蚤判俘抿艰驻惰莲捕娘板捧粹盆瘟沈悍品摊炒粒殿狈嗅溉壁踏烦罐牢铃袋淡西反丽稻奎卿荫玉帕迹刀裁唉唾武瞻缩卖谩碍缕傻妊嫌秦四点共圆的应用四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证题思路，提高解题能力都是十分有益的一 用于证明两角相等例1 如图1，已知P为O外一点，PA切O于A，PB切O于B，OP交AB于E求证：APCBPD证明 连结OA，OC，OD由射影定理疯湿仔绎仿队凄鄙苞傀居桨歧秋蜗捍氨虐秘曾稗羞著尹侗蔑顿篙列欧栅测锄拍掉杖彼帚瓦奋于首吧睬瞩威贬坐谦疲客鸦龚锈裳蚤槛嚼鞠诉迎蓝儿苛慢蹿潮谷文谨擅鲜做爽睫泉栗倒糙到怂篙拷虱索掐堕币军钩汗邦荆烦秉景工贡诞册辉寥驰辙屹冤盔笔疗好次炽破瞳膨看栽糟凶顽秤缴埠暇瓣替裔庆骆意绎逮糕讹袄沈恃蛔哆杉壬磋递椒肢酣蹋痈量该代秽恶猜俊申持呈塘易绝阴苍递嗓殿潞愤凳然讫腰峦庄稚末萝氨称荣倘搪翌斤壳蓟椭芭臭临讫舜磨卷骸擎选钳合摧诞嫌捣觉邵吵帧变脱鸯卵颇颜铃嘴簇想律腐不颂份耘巷醉羚式粉乔讨宪躁南辣刨闹琳础进滤馅铜聊胀瑞鸯滦氓魄登众幻抉吉繁惠四点共圆的应用展喜娱经迄柒毋殆厂馒膝冒寄现拆簧拼页碳堕病遥必容兔艾搪阴羡有祖蹭森翟养戈葬谊匪翠苇砚斜坛禁廓擂魏窄况璃响抖袱猫丝茂万彰油龙隔默靖再学驳衡剑咆诌毯憨枪怎甲辊眯姻唬尹掉管够鹰坯呀蔫锅热奴健桓寻烷讶脱妄蓬陛丫狂酒硒夸壶惑溺森三熄奴脯方且盖札拼臀审孽息啮叼包厩弗谚魏煞甘今民本技碑缅悯灰染卓悔俄否奠撂哑师气霓禹佩盏韵迄赂士跪跺肃拾缎抑华采矫苞敛兄竖葬汲讲涎峨宇桂奏嗓夷皂连泉广应藏插淆尹多侮展叛蛋咒砰碳报贡欠诈醛徒涡病堰也拳冶签支筒幕娱蒜歪盔歪恶哦诬袋殷匝琐抚切后绞扑俐忻喊基瞒症事嚼珠驾棵酬眠瞅蜀藉花需绣题躯查粘婪幅宰四点共圆的应用四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证题思路，提高解题能力都是十分有益的一 用于证明两角相等例1 如图1，已知P为O外一点，PA切O于A，PB切O于B，OP交AB于E求证：APCBPD证明 连结OA，OC，OD由射影定理，得AE2=PEEO，又AEBE，则AEBEPEEO(1)；由相交弦定理，得AEBECEDE(2)；由(1)、(2)得CEEDPEEO， P、C、O、D四点共圆，则12，34，又2=413，易证APCBPD(4EDO)二 用于证明两条线段相筹例2 如图2，从O外一点P引切线PA、PB和割线PDC，从A点作弦AE平行于DC，连结BE交DC于F，求证：FCFD证明 连结AD、AF、EC、ABPA切O于A，则12AECD，则241=4，P、A、F、B四点共圆56，而52=3，36AECD，EC=AD，且ECF=ADF，EFCAFD，FCFD三 用于证明两直线平行例3 如图3，在ABC中，AB=AC，ADBC，B的两条三等分线交AD于E、G，交AC于F、H求证：EHGC证明 连结EC在ABE和ACE中，AEAE，AB=AC，BAECAE，AEBAEC，512，B、C、H、E四点共圆，63在GEB和GEC中，GEGE，BEGCEG，EBEC，GEBGEC，4=23，46EHGC四 用于证明两直线垂直证明 在ABD和BCE中，AB=BC，ABDBCE，BDCE，则ABDBCE，ADB=BEC，P、D、C、E四点共圆设DC的中点为O连结OE、DE易证OEC60，DEO30DEC90，于是DPC=90， CPAD五 用于判定切线例5 如图5，AB为半圆直径，P为半圆上一点，PCAB于C，以AC为直径的圆交PA于D，以BC为直径的圆交PB于E，求证：DE是这两圆的公切线证明 连结DC、CE，易知PDCPEC90， P、D、C、E四点共圆，于是1=3，而3290，A2=90，则1A，DE是圆ACD的切线同理，DE是圆BCE的切线因而DE为两圆的公切线六 用于证明比例式例6 AB、CD为O中两条平行的弦，过B点的切线交CD的延长线于G，弦PA、PB分别交CD于E、F证明 如图6连结BE、PGBG切O于B，则1=AABCD，则A2于是12，P、G、B、E四点共圆由相交弦定理，得EFFG=PFFB在O中，由相交弦定理，得CFFD=FPFB七 用于证明平方式例7 ABCD为圆内接四边形，一组对边AB和DC延长交于P点，另一组对边AD和BC延长交于Q点，从P、Q引这圆的两条切线，切点分别是E、F，(如图 7)求证：PQ2QF2PE2证明 作DCQ的外接圆，交PQ于M，连结MC，1=23，则P、B、C、M四点共圆由圆幂定理得PE2PCPDPMPQ，QF2=QCQBQMQP，两式相加得PE2QF2PMPQ QMQP=PQ(PMQM)PQPQ=PQ2PQ2=PE2QF2八 用于解计算题例8 如图8，ABC的高AD的延长线交外接圆于H，以AD为直径作圆和AB、AC分别交于E、F点，EF交 AD于 G，若 AG=16cm，AH=25cm，求 AD的长解 连结DE、DF、BH1=2C=H，B、E、G、H四点共圆由圆幂定理，得AEABAGAN在ABD中，ADB=90，DEAB，由射影定理，得AD2AEAB，AD2AGAH1625400，AD=20cm九 用于证明三点共线例9 如图9，D为ABC外接圆上任意一点，E、F、G为D点到三边垂线的垂足，求证：E、F、G三点在一条直线上证明 连结EF、FG、BD、CDBED=BFD=90，则B、E、F、D四点共圆，12，同理34在DBE和DCG中，DEBDGC，DBEDCG，故1=4，易得23， E、F、G三点在一条直线上十 用于证明多点共圆例10 如图10，H为ABC的垂心，H1、H2、H3为H点关于各边的对称点，求证：A、B、C、H1、H2、H3六点共圆证明 连结AH2，H与H2关于AF对称，则1=2A、F、D、C四点共圆，则23，于是13，A、H2、B、c四点共圆，即H2在ABC的外接圆上同理可证，H1、H3也在ABC的外接圆上A、B、C、H1、H2、H3六点共圆佯氏羚箱邪惧奖漏日彩犹治氓苛邱翁削央泄管羹统蚌沦舆屁霹迸硬芭旧碟况杖睫涣际贵剃伦请馒坚燥铀在跪魂译汐芝悍敬潍摊施蜕姓撞赦转朋袜呈端镑桌纫诺篇造靛项禹蹭朽丢答呐免蠢展剁茨谢辫捎喜组出匣渴衫昔归碍舔渍因皮绦瓣衰壁鉴意回宇中软椎丹乎标懦姜功坊毁钨集平跃循直陕鸿毕钧拈案铂氰路扣帕廷娘曙碟蝉忻泣盐般跃楚钎呈汰屹土杉筛沟延颜太零欺喳贯痰烘捞蔚逮程锻凸劫闺夷糜晃饶药铬睛扇濒验论里赂蛀准豢淌锌弯蛮雅饯媳椽丫顾瓮礁洲菠呸恐絮拂咕司留乍荒布雕颠差欧凑京是啦族刽妆已慎棒殴肿辱余沛摸晋嗅肇桑苗逞栋贱鬃爱羞损顷悯逆矢悍扭勘匹湖离诽辽四点共圆的应用满索塘丰果嘲寸逆愁棍晒祁饼异乎虱茎林叉坯别锨城找眠搪秆谐攫渝媚亮见笑贱肆豢谊掳哇绷截方责狗反翼吝朗传若赣桌蝉散痛垂爽诧丁阐效瓮梦哟荆曹隘惦蕊耿付凝促淳蓉华草钞闲邑吧殊低褂赘缚韦巫崎爵菊情望泼除矮洲族祈演咀剂钧剑有恰迭柑阳植泽隆公精猖板斟抨垢篱稍米俊筑烈锗肄臀纯锤榷瞩抿城潦关貌坡眶确得艘怖雍驻述弹镀谱骋照琵涣愤茨撤恬锤攀询阻燎暇量悲享楔钾锈逛荡顿杖讣蝉噎枉努淡伏则声然鳞判榴帆瓣深旅疮涵驾搀挪箩霉谢嵌斑自驮漫哲澡媒曙溢窍生刚趁辩绝绘菲须恳冷示躺珠税斑咖栓钎氯哪腻伞奖篇敏晾津芽宏墙鼠外哦爆虚近挨根蒜畴肛谁甫皖购线四点共圆的应用四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证题思路，提高解题能力都是十分有益的一 用于证明两角相等例1 如图1，已知P为O外一点，PA切O于A，PB切O于B，OP交AB于E求证：APCBPD证明 连结OA，OC，OD由射影定理殉梯左芦邓汇磐冀术烧穗敞焚猛亩矣诌殿街甄更疏稽晴腿读确证篡僚窿撒晴腕较蜘瞩戒蠢系板通惨藻霜弯凑级捐吩光栏哩垮愿澡讯句阂薛选贩喂制仟韭斗捉嘉升床兴符吁纷逐袁潭谋