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文档简介

1,第十二节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容:,一、曲线弧的微分,二、曲率与曲率半经,弧微分与曲率,第二章,2,一、曲线弧的微分,设,在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长,3,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,称为曲线,的弧微分公式。,4,例1,求正弦曲线,解因为,，所以,例2求第一象限内星形线,的弧微分。,所以,的弧微分。,解因为,5,二、曲率与曲率半经,在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为,定义,弧段上的平均曲率,点M处的曲率,注意:直线上任意点处的曲率为0!,对应切线转角为,6,例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.,解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.,7,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,8,说明:,(1)若曲线由参数方程,给出,则,(2)若曲线方程为,则,若曲线,在点M处的曲率K不为零，称,为曲线在点M处的曲率半经。,9,例2求曲线,在点,处的曲率半径。,解方程两边同时对x求导，整理得,两边再对x求导，整理得,将点,代人（1）得,将点,代人（2）得,故曲线在点,处的曲率半径,10,例3.我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,且lR.,其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化,因此铁道的,曲率应连续变化.,11,例3.我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且lR.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,解:,显然,12,内容小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率半径,13,作业,P1661；2；4;5.,14,例4.求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K最大,最小,求驻点:,15,设,从而K取最大值.,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,16,例5设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?,解:设椭圆方程为,由例3可知,椭圆在,处曲率最
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