太阳影子定位数学建模.pdf

1 太阳影子定位 摘要 本文通过研究太阳影子的定位问题，根据经纬度、时角、以及太阳高度角、赤纬角 等参数并在权威网站和期刊论文中查找一些相关的资料和具体计算公式， 然后建立数学 模型。再根据不同地点的经纬度不同，建立不同的影子模型，并运用 matlab 等软件进 行求解，得到相关的问题的结果。 针对问题一，我们先找出影子变化的轨迹线形成的图像，然后结合图像分析影长与 地理纬度、直杆长度、赤纬角、时角之间的内在联系，建立相应的初等函数模型，然后 通过控制变量，分别得出影长与各个参数之间的规律。运用 matlab 软件，根据已建好 的模型，带入相关数据可以得到 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 天安门广场 3 米高的直杆的太阳影子的变化曲线图。 针对问题二，我们根据附件一中给出的影子的具体坐标数据，计算出各个时间点的 影长，然后通过拟合图像，建立模型求出最短影长所对应的北京时间，算出两地间的时 差来确定其经度。然后通过查阅相关资料得到太阳高度角，太阳方位角，赤纬角和影长 的关系，结合具体公式（2）（6）求得该地点的大致纬度。最后可以在 google 地球软 件找出可能的地点为湖北省恩施市、十堰市、渭南市。 针对问题三， 通过分析附件数据， 我们同样可以在问题二的基础上可先算出其经度。 因为该地点的实际纬度是不会随别的因素影响发生变化， 因此我们可以用假设分析的方 法，在当地假设一个具体的杆长，可以通过的数据算出假设杆的影长。我们把得出的各 个组的影长同按附件中数据算出的当地的实际影长做比，通过改变纬度，然后求出影子 比例方差最小值时的纬度，既可以认为是当地的纬度。通过 google 地球软件查询得到 两个可能的地点为印度孟买和内蒙古鄂尔多斯。根据经纬度反解得到具体的日期。 针对问题四，我们首先对视频采用等距采样法，把视频每个一分钟进行截图，运用 画图软件测出了每幅图中杆的影长。然后根据问题二中的模型，求出了视频拍摄地的经 度。大约为东经 9 度。对于纬度，先运用控制变量法，选定一个时间点，由视频中给出 的条件进行求解转换，最终可以建立一个纬度与影长的一元函数模型，之后运用逐步扫 描法，在 MATLAB 软件中代入 0 至 90 的维度值，解出了一系列对应影长的值，与真实影 长进行对比，得出了纬度值为 60 度，最后利用 google 地球软件找出了视频的拍摄地是 在挪威。 关键词：初等函数模型 MATLAB拟合逐步分析法 2 一、问题重述 想要知道一个视频的拍摄地点和日期， 可以通过对视频中数据的分析然后运用太阳 影子定位技术，根据视频中物体影子的变化来确定。由此可以来解决下列问题。 1、分析物体影子长度和其他变量的关系，建立模型。并应用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2、根据固定直杆在太阳下的影子的具体数据，建立数学模型，分析附件一中数据 确定其大概所处位置。 3、根据固定直杆在太阳下的影子的具体数据，建立数学模型，分析附件二三中数 据确定其大概所处位置和日期。 4、已知杆的长度，根据视频中杆的影子变化，建立数学模型，找出若干个可能的 拍摄地点。 二、问题分析 问题一 由题意可知若要建立影子长度变化的模型， 我们先做出物体在太阳下影子的轨迹线 形成图，有图像分析出影子长度的变化规律与太阳高度角的大小相关，然后我们通过查 阅相关资料得出太阳高度角的计算公式，可以发现该角度与当地纬度、赤纬度，和时角 有关。建立了影子长度与各变量之间的函数关系模型，然后运用控制变量法找出影子长 度关于各个参数的变化规律，绘制了相关图像并进行了分析。然后运用建立的模型求出 天安门广场 3 米高直杆的太阳影子长度的变化曲线。 问题二 根据题意和附件中的数据我们若要找出附件一中直杆在太阳照射下影子数据的采 样地点，首先就要想到确定其大概的经纬度。若要算出经度，我们根据附件一中给出的 数据运用勾股定理可计算出给出的各个时间点的影子的长度， 然后我们运用拟合找到影 子最短的时间点，该时间点就是当地时间相当于北京中午 12：00 的实际时间。算出时 间差，进而求出当地的经度。 针对纬度的求解，我们选择了建立初等函数模型1，由问题一得出的函数关系式 易判断关系式中多了一个未知变量杆高，在已知条件的前提下，无法求出其纬度值，所 以不能引用问题一中建立的函数模型。 由附件一中的数据可知不同的时刻对应不同的影 长在横纵方向的分量， 易求出其太阳方位角， 而太阳方位角的公式中不含多余未知变量， 运用 matlab 进行编程，然后把已知条件（也就是杆影在不同时刻的一组数据）代入这 两个公式联立求解得出纬度的一系列数据，求其纬度的平均值作为该采样地点的纬度 值，进而分析出准确的地点。 问题三 我们通过分析附件的数据可看出， 可以运用和问题二求经度相同的方法通过二次拟 合其影长可以得到最短影子的时间，然后通过与北京时间的差，得到该地的实际经度。 我们通过具体的分析带入计算，发现赤纬角对纬度的影响较少，我们忽略其影响。我们 3 先把纬度平均划分为多个区间，我们假设一个杆长 30 米，然后通过测算出其在不同纬 度下和附件相同的时间段的各组影长。 然后把测的的影长分别和按附件中计算得到的影 长做比，计算出方差最少的，因为在同一经纬度不同物体的影长是成比例的，因此可以 大致得到纬度。 问题四 若要由题中给出的视频来确定视频的拍摄地点，并建立相应的数学模型。首先要对 视频中所包含的信息进行提取，也就是记录下不同时刻杆的影长。对于提取视频中的数 据，可以采用等距采样，也就是每隔一分钟截取一幅图，总共采取 40 组数据，然后利 用画图软件求出具体的影长数据，之后进行拟合，得出杆的影子最短时的时间点，运用 相关转换公式可以算出视频拍摄地的经度。对于纬度，由问题一得出的纬度与影长的变 化曲线可以看出，在其它量一定的情况下，只改变一个变量纬度，对应的影长都有相应 的变化，而问题四中给出的视频中，许多条件都是已知的，若选定一个时间点，其时角 也就随之确定了，能求影长的条件也就都具备了，大致可以转化为一个一元函数，但由 于中间过程较为复杂， 且得出的结果没有对比， 缺乏可信度， 所以在此采用另一种方法， 逐步扫描法，利用 MATLAB 软件编程后代入 0 至 90 的纬度值，解出了一系列对应影长的 值，与真实影长进行对比，最接近真实影长的便为其对应的纬度值，且得出的结果具有 较高的可信度。 三、模型假设 （1）假设杆所立的地面是标准的平面。 （2）在进行轨迹形成图分析时假设地球不动，太阳自东向西围绕地球转。 （3）假设太阳围绕地球转动时的轨道平面与地球赤道平面平行。 （4）假设地球是规则的圆球形。 （5）假设大气对太阳光的折射可以忽略。 四、符号说明 太阳高度角 a当地纬度 b赤纬度(delta(deg) t时角 Pi 圆周率 N为日数从一月一日起开始计算 A太阳方位角 Jdc 经度差 T1为问题三中杆所在地的 12 点时的北京时间 五、模型的建立及其求解 模型一 为了能够直观的分析出物体在太阳下的影子长度的变化规律， 我们希望画出物体在 太阳下影子变化的轨迹线形成图像2如下图 1， 这样可以结合图像具体分析出影子的长 度变化规律，并可得到影子长度变化的数学模型。由图像结合数学中的三角形分析方法 可以得到影子的长度（1） tan/HL 可得知影子的变化与杆的高度和太阳的高度角有 4 关 。 然 后 通 过 查 询 资 料 可 得 到 太 阳 高 度 角 的 公 式 为 （ 2 ） tbabacos*cos*cossin*sinsin 3，从该公式可得到影响杆影子的具体 参数为当地纬度、赤纬角、杆的高度和时角四个变量有关。 2cos*cos*cossin*sinsin 1tan/ tbabaa HL 联立可得 然后我们运用控制变量找出影子长度和各个参数的变化规律。我们控制三个不变, 通过改变其中一个变量通过 matlab 做散点图分别得出其和影子长度之间的关系。有实 际情况可知不论在任何时间地点影子的长度是随着杆的长度的增加而增加的。 我们控制某个杆在一个位置不变，取固定的时间，每天都在十二点时。影子的长度 在一年时间内随天数的变化的图像，也就是影长随赤纬角的变化图像。 5 图 2 影长随赤纬度变化的曲线图 横坐标代表时间天数，纵坐标代表影长。有图像 2 我们可得知随着月份的变化影子 的长度从一年之初开始先变长后变短。在第 180 天左右最短，这个时间段在夏至左右符 合实际。因此影长随赤纬度变化先增加后减少。 控制杆所在位置不变，在某一年的某一天的影子的长度从 7 点到 17 点的的变化图 像如下 图 3 影长随时间变化的图像 6 控制杆所在位置不变，在某一年的某一天的影子的长度从 7 点到 17 点的的变化图 像如下：其中横坐标代表时间点，纵坐标代表影长。由图像我们可知影子的长度在 7 到 12 点逐渐变短从 12 点到 17 点有逐渐变长。在中午时太阳在正上方影子最短。 分别做出 2015 年 3 月 21 和 2015 年 6 月 21 两日的图像， 影子的长度与物体所在纬 度的关系图像如下。 图 43 月 21 日影长随纬度变化的图像 7 图 56 月 21 日影长随纬度变化的图像 有图（4）（5）可以清晰的看出在 3 月 21 日随着纬度的增加影子的长度逐渐变长 然而到了北纬 80 度以后由于太阳照射不到所以出现了影子极速增加。 而分析 6 月 21 日 的图像时我们可以看出物体的影子在北纬 20 多度时其影子（）（）逐渐减少到趋向 0， 因为这时太阳在赤道正上方。然后影子的长度在夏至过后随着纬度的增加而增加，同样 也在北纬 80 度左右时迅速增加。同理在南半球是影子的长度也随纬度的增加而变长。 如要画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒） 3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线， 我们可根据上面 建立的数学模型进行求得。因为给出了 2015 年 10 月 22 日我们可带入计算赤纬度公式 （4）（5）求出其太阳赤纬角，然后将赤纬度转化为弧度。题中也给出了天安门广场的 纬度，也知道了杆的高度，由于题目要求的是画出北京时间 9：00 到 15：00 的图像， 而北京时间我们默认的是在东经120度的时间点,而天安门广场的经度为116度23分29 秒，因此会产生一个时间差。所以求天门广场杆影与时间的图像实际上就是在 8：45 到 14：45 时间段内的图像（由）因此我们可以通过编程运用 matlab 带入上述参数得出杆 的太阳影子长度变化曲线图如下。 公式（4）：公式（4）： )/180(3sin00148. 03cos002697. 02sin000907. 0 2cos006758. 0sin070257. 0cos399912. 0006918. 0(deg) piccc cccdelta 4 公式（5）公式（5） ： 365/ ) 1(*2(deg)Npic 4 8 图 6 杆的太阳影子长度变化曲线图 模型二 如果要求其具体位置，根据分析我们先求出其经纬度。我们运用 matlab 软件计算 出在北京时间 14： 42 到 15： 42 的每隔三分钟分为一个时间点， 共二十组影子的的长度， 然后运用 matlab 对得到的各组影子长度进行二次拟合，5拟合图像如下图图（7）我 们通过得到的参数 Coefficients (with 95% confidence bounds):可以得出，该拟合图 像比较可信。我们在图像中找到最低点就是该地区的正中午的实际时间。 9 图（7） 同样也得到了该拟合图像二次拟合函数的具体参数如下图（） 图（8） 图（8） 同样也得到了该拟合图像二次拟合函数的具体参数 如 图（8） 有参数可知该二次拟合图像拟合程度较很高，是可信的。并且我们也可以得到该二 次函数的具体关系式。 12. 1*03055 . 0 *0003723 . 0 2 xxy 10 有关系式我们可以求导得到该函数的最小值为-41，由此也就可以得到影子最短的 时间比我们进行拟合图像的最初时间早了 123 分钟。 因为影子最短时相当于北京时间的 12：00，因此从 14：42 开始往之前推算即可以得到该地区的实际时间 12：39 相当于北 京时间的 12：00。比北京晚了 39 分钟，所以该地点在北京的西边，39 分钟折算成经度 为 9.75 度。所以该地点也就是其经度为 120-9.75=110.25 度。 求出经度后，然后我们去求该地点所在的纬度。因为该地点的实际纬度是不会发生 变化的。我们运用附件一中的数据，用横纵坐标的比值可分别得出 20 组数据中太阳高 度角的具体数值，他们随时间的变化而发生变化。，由于我们已知具体日期可算出赤 纬度，有第一问的公式（2）我们可以看出里面包含有纬度，我们又查找资料找到了太 阳方位角的具体公式（6）。 （2） tbabacos*cos*cossin*sinsin 3 （6）3 我们可联立这两个公式运用 matlab 编程求解，可以的求出这二十组时间段的各个 纬度，如下表 21 组数据算出的各个纬度， 29.009730.541732.307234.3466 29.250530.818832.625234.7192 29.496631.104232.953535.0988 29.750131.394433.2883 30.007831.692433.6303 30.273831.993533.9836 平均值为 668.2862 除 21=31.8 所以杆的位置为（经度 110.25，纬度 31.8） 可以大致把其估计为该地点的纬度值， 由经纬度可知杆的具体位置在中国湖北省十 堰市房县境内。 从上面的结果可以看出我们在此求出的纬度值范围偏大且最后以求纬度平均值得 出的地点只是个大致的结果，若要估算出其他一些大概的城市地点，我们选择了湖北省 恩施市、十堰市、渭南市几个大概地点， 模型三 11 我们先根据附件二给出的影子的分量用勾股定理求出每个时间段的具体影长， 然后 进行二次拟合求可以得到具体的拟合图像和其参数 附件二拟合图像。附件三拟合图像 Linear model Poly2: f(x) = p1*x2 + p2*x + p3 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =0.0002454(0.0002432, 0.0002475) p2 =-0.02526(-0.02531, -0.02521) p3 =1.272(1.272, 1.273) Goodness of fit: R-square: 1 附件二的拟合函数的具体参数 inear model Poly2: f(x) = p1*x2 + p2*x + p3 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =0.0007411(0.0007317, 0.0007505) p2 =0.01081(0.0106, 0.01102) p3 =3.523(3.522, 3.524) Goodness of fit: SSE: 8.106e-006 R-square: 1 Adjusted R-square: 1 RMSE: 0.0006711 附件三的具体参数 根据得出的具体参数，我们可以看出两次的二次拟合程度达到了 95%，是比较可信 的。因此可以根据参数分别得到二次函数表达式如下 附件二的拟合二次函数 272 . 1 *02526 . 0 *0001454. 0 2 xxy 附件三的拟合二次函数 12 对附件二的二次函数进行求导得出最小值点为 51.466 时影子最短。因为每一点为 三分钟，相当于比按附录二的起时间点大约晚 155 分钟。以因为始时间点为 12：41，所 以可得到当地时间的 15：35 相当于北京时间的正午 12：00。因此可以转化为经度约为 71.5 度。 同理可以求得附件三的最小时间点为-7.29。 同理可以得到为该地点的经度为 109.5 度。 然后我们可根据因为该地点的实际纬度是不会随别的因素影响发生变化， 因此我们 可以用假设分析的方法，在当地假设一个具体的杆长，可以通过的数据算出假设杆的影 长。我们把得出的各个组的影长同按附件中数据算出的当地的实际影长做比，通过改变 纬度，然后求出影子比例方差最小值时的纬度，既可以认为是当地的纬度。通过 MATLAB 进行编程运算可以得到附件二的地点的的纬度为 19 度，同样也可以得附件三的地点的 纬度为 38 度。通过谷歌地球软件查找，可得到附件二中所给数据的大致地点可能为印 度孟买，附件三的地点可能为内蒙古鄂尔多斯。 由于我们已经求出了当地地点的经纬度， 我们可以根据上面所列的具体的公式求出 其的日期，由于计算比较麻烦，在此不再详细缀述，附件二得出的日期为二月十五日， 附件三得出的日期为五月二十日。 模型四 若要由题中给出的视频来确定视频的拍摄地点，并建立相应的数学模型6。首先要对 视频中所包含的信息进行提取，也就是记录下不同时刻杆的影长。视频长度为 40 分钟， 为了使操作尽量简单， 且使收集到的数据兼具普遍性和准确性， 我们利用相关读图软件， 每一分钟采一次样，收集并进行相应转换（由于实际的杆长已知，根据比例关系可以算 出杆影的长度）得到了 40 组直杆影子长度的数据（如下表）： 时间是从 8：54 到 9：34，杆影长与时间点按照时间先后顺序一一对应。然后利用和上 面问题三同样的方法，利用 MATLAB 软件对不同时刻的影子长度进行拟合，找出影长最 短的时刻，利用时间差公式算出视频拍摄地的经度，把上表中的数据在 MATLAB 中进行 编程拟合，得到如下结果： Linear model Poly2: f(x) = p1*x2 + p2*x + p3 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =6.586e-005(-1.752e-005, 0.0001492) p2 =-0.08298(-0.0865, -0.07945) 2.40682.28472.14582.0119 2.40512.25762.12881.9932 2.39662.24752.11531.9831 2.38472.23222.10511.9576 2.36952.2222.08811.9492 2.34412.20512.0781.9339 2.3392.22.05591.9254 2.31192.18142.05081.9169 2.30512.17292.02711.9068 2.28472.15592.01861.8864 13 p3 =14.35(14.32, 14.38) Goodness of fit: SSE: 0.03553 R-square: 0.999 Adjusted R-square: 0.9989 RMSE: 0.03099 由结果可以看出，对时间与影长进行的二次函数拟合，拟合度还是相当高的，因此我们 采用二次拟合来进行杆影长度最小值的预测具有较高的可信度。 上面得出的二次函数公 式为 f(x) = 6.586e-005*x2 + -0.08298*x + 14.35 令 f(x)=0，解得 x=630 因为一个点代表一分钟，也就是在 8：54 分后的 630 分钟时达到当地时间的正中午，也 就是在北京时间的 19：24 达到当地的 12 点，然后根据公式 Jdc=15(T1-12)/60 当地经度=120-jdc (jdc 为经度差，T1 为当地的 12 点时的北京时间) 求得当地经度为 9 度。 问题一中，我们在描述影长与其它量的变化规律中绘制了纬度变化与影长的图形， 图（9）九点时刻影长随纬度的变化图形 也就是在保持其它量不变，只改变纬度时影长的变化图形。由此我们想到利用逐步扫描 法来求出此地的纬度，首先我们选定视频中九点的影长为 2.339m,数据作为对比量，由 14 于杆长、赤纬角已知，我们选择 9 点确定出了时角，我们根据问题一得出的影长与其它 各变量的关系式，运用 MATLAB 软件求出了纬度从 0 度到 90 度的杆的影长，（具体程序 和结果见附件）并与实际值做了对比，最终确定了纬度为 60 度的时候得出的影长与实 际值最为接近，所以视频拍摄地点的位置为（经度 9，纬度 60），通过谷歌地球软件得 知此地为挪威。如下图 从上面的结果我们可以看出求出的视频拍摄地的范围较大， 一方面是由于人为直观 的读图不准确，另一方面是由于运用逐步扫描法的时候纬度值分割的不够细导致的。所 以要想进行更精确的地点，