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同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 1 / 7 第四第四章章 机械振动机械振动 一、选择题 1. 下列 4 中运动(忽略阻力)中哪一种是简谐振动? (A)小球在地面上作完全弹性的上下跳动 (B)细线悬挂一小球在竖直平面上作大角度的来回摆动 (C)浮在水里的一均匀矩形木块,将它部分按入水中,然后松开,使木块上下浮动 (D)浮在水里的一均匀球形木块,将它部分按入水中,然后松开,使木块上下浮动 答案:答案:C 分析:分析:作简谐振动的物体受到的合外力满足Fkx(k为大于零的常数,x为偏离平衡点 的位移)的形式。A)小球受到的合外力为Fmg,错误。B)设摆线逆时针摆起角,则小 球受到的沿着切向方向(即位移方向)的力为sinsin/Fmgmgs l ;显然只有 当很小的时候(此时sin/s l,/Fmg l s )才作简谐振动,故 B 错误。C) 以平衡点(木块所受合外力为零)为坐标原点建立竖直方向的坐标轴,可得均匀矩形木块所 受的合外力为FgS x ,其中为水的密度,S为矩形木块的截面积,是一个常数, 故 C 正确。D)球形木块在竖直方向位移dx时受到的合外力的增量为( )dFgS x dx ,其 中( )S x为此时球形木块与水面相交的截面积,即/( )dF dxgS x ,故F与x不是线性 (正比)关系,由简谐振动需满足的条件可知,球形木块不会做简谐振动,D 错误。 2. ()如图 1 所示,以向右为正方向,用向左的力压缩一弹簧,然后松手任其振动。若 以松手时开始计时,则该弹簧振子的初相应为 (A)0 (B)/2 (C)/2 (D) 答案:答案:D 分析:分析:如图可知一开始质点位于负的位移最大处,故初相位 。旋转矢量图见右图。 (具体画图过程:具体画图过程:画出振动方 向 Ox,O 为平衡位置,即振子所受合外力为零的点;以振幅 A 为半径以 O 为圆心画圆;给出旋转方向,逆时针,旋转角 速度即简谐振动的圆频率;在 Ox 轴上画出 t 时刻振子所在的坐标;做一条垂直于振 动轴 Ox 的虚线,该虚线和圆相交于两点或一点;若振子速度为负,则从 O 点作一条指向 上半圆交点的矢量,若振子速度为正,则从 O 点作一条指向下半圆交点的矢量,若振子速 度为零,则只有一个交点,直接从 O 点作一条指向交点的矢量,此即 t 时刻的旋转矢量; Ox 沿着逆时针方向旋转,转至 t 时刻的旋转矢量所转过的角度即为 t 时刻振子的相位,若 t=0,该相位即为初相位。 ) 3. 一质量为 m 的物体挂在劲度系数为 k 的轻弹簧下面,其振动周期为 T。若将此弹簧分割 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 2 / 7 成 3 等份,将一质量为 2m 的物体挂在分割后的一根轻弹簧上,则此弹簧振子的周期应为 (A)3 /6T (B)6/3T (C)2T (D)6T 答案:答案:B 分析:分析:由题可知原弹簧的周期为2/Tm k;由弹簧串联公式1/1/ i i kk可得弹簧 分割 3 等份后每份弹簧的劲度系数为3kk ,故新弹簧振子的周期为 26 22 33 mm TT kk 4. 两相同的轻弹簧各系一物体(质量分别为 m1、m2)作简谐振动(振幅分别为 A1、A2) , 问下列哪一种情况两振动的周期不同? (A)m1=m2,A1=A2,一个在光滑水平面上振动,另一个在竖直方向上振动 (B)m1=2m2,A1=A2,两个都在光滑的平面上作水平振动 (C)m1=m2,A1=2A2,两个都在光滑的平面上作水平振动 (D)m1=m2,A1=A2,一个在地球上作竖直振动,另一个在月球上作竖直振动 答案:答案:B 分析:分析:由弹簧振子周期公式2/Tm k可知弹簧振子的周期只与弹簧的劲度系数以及振 子质量有关,与所处环境、振幅、振动方向等无关。故只有 B 两者振动周期不同。 5. 一个质点作简谐振动,已知质点由平衡位置运动到二分之一最大位移处所需要的最短时 间为 t0,则该质点的振动周期 T 应为 (A)4t0 (B)12t0 (C)6t0 (D)8t0 答案:答案:B 分析:分析:从平衡位置出发,第一次到达二分之一最大位移处所需 的时间最短,如旋转矢量图所示(矢量从 A 处匀角速逆时针旋 转至 B 处的时间为 t0) ,可得 0 0 /62 12Tt t 6. ()已知月球上的重力加速度是地球的 1/6,若一个单摆(只考虑小角度摆动)在地球 上的振动周期为 T,将该单摆拿到月球上去,其振动周期应为 (A)6T (B)/6T (C)6T (D)/6T 答案:答案:C 分析:分析:由单摆的周期公式(推导过程见选择题 1)可得 226 /6 ll TTT gg 7. 一简谐振动的旋转矢量图如图 2 所示,图中圆的半径为 R,则该简谐振动的振动方程为 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 3 / 7 (A)cos/4xRt (B)sin/4xRt (C)cos/4xRt (D)cos/2/4xRt 答案:答案:A 分析:分析:由旋转矢量图可知振幅AR,t 时刻相位(即 Ox 轴逆时针旋转 至 t 时刻旋转矢量所经历的角度)为( )/ 4tt,故质点的简谐 运动方程为cos( )cos/4xAtRt。 8. ()已知某简谐振动的振动曲线如图 3 所示,位移的单位为米,时间单位为秒,则此 简谐振动的振动方程为 (A)10cos 11/242 /3xt(SI) (B)10cos 7/247/6xt(SI) (C)10cos 7/242 /3xt(SI) (D)10cos 11/242 /3xt(SI) 答案:答案:C 分析:分析:由振动曲线可以看出10Am,由旋转矢量图(见右图)可 得初相2/3 ,振动圆频率(即旋转矢量旋转角速度)为 7/67 424 故振动方程为10cos 7/242 /3xt(SI) 。 9. 某弹簧振子的振动曲线如图 4 所示,则由图可确定 t=2s 时,振子的速度为 (A)3m/s (B)3 m/s (C)3 m/s (D)3 m/s 答案:答案:A 分析:分析: 由曲线可知振子振幅为 6m, 周期为 T=4s (2 /2T) 。 t=2s 时振子位于平衡位置,速度达到极大值3 v AA(即速度 振幅) ,由曲线还可看出 t=2s 时振子速度为正(t=2s 处斜率为正) ,故 A 选项正确。 10. ()一质量为 m 的物体与一个劲度系数为 k 的轻弹簧组成弹簧振子,当其振幅为 A 时,该弹簧振子的总能量为 E。若将其弹簧分割成 2 等份,将两根弹簧并联组成新的弹簧振 子,则新弹簧振子的振幅为多少时,其总能量与原先弹簧振子的总能量 E 相等。 (A)/2A (B)/4A (C)/2A (D)A 答案:答案:A 分析:分析: 弹簧均分为 2 等份后两根弹簧的劲度系数为 2k (参考选择题 3) , 由并联公式 i i kk 可得这两根弹簧并联后劲度系数为 4k。由弹簧振子机械能守恒( 2 / 2EkA)可知 222 111 4 2222 A k Ak AkAA 11. ()两同方向同频率的简谐振动的振动方程为 1 6cos 5/2xt(SI) , 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 4 / 7 2 2cos(5xt/ 2)(SI) ,则它们的合振动的振动方程为 (A)4cos5xt(SI) (B)8cos(5)xt(SI) (C)4cos(10/ 2)xt(SI) (D)4cos(5/ 2)xt(SI) 答案:答案:D 分析:分析: 两个同方向同频率的简谐振动合成得到的合振动也是简 谐振动,圆频率不变,合振动的振幅和初相合振动的初始旋转 矢量(为两个简谐振动的初始旋转矢量的矢量和)获得。如图 所示,画出振动 x1和 x2的初旋转矢量,矢量合成可得合振动 初旋转矢量 x1+x2,故合振动的振幅4A,初相/ 2, 振动方程为4cos(5/ 2)xt。 12. 已知两同方向同频率的简谐振动的振动方程分别为 11cos( /3)xAt(SI) , 22cos( /6)xAt(SI) ,则它们的合振幅应为 (A) 12 AA (B) 12 AA (C) 22 12 AA (D) 22 12 AA 答案:答案:C 分析:分析:方法同选择题 11,旋转矢量图见右图。 二、填空题 1. 若简谐振动 0 cosxAt的周期为 T,则简谐振动 0 cosxBn t 的周 期为 。 答案:答案:T/n 分析:分析:由圆频率与周期的关系可知 221 2T T nnn 2. 已知质点作简谐振动,周期为 T,振幅为 A,则该质点运动到正的二分之一振幅处的速度 的大小为 。 答案:答案: 3 A T 分析:分析:质点运动到正二分之一振幅处的相位为/3,速度相位超前位移相位/2,速度 振幅为A,故速度为 33 23 cos 2322 A vAAAv TT 或者,由机械能守恒可得 2 2 22 111333 222242 AkAA mvkkAvA mT 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 5 / 7 3. 已知简谐振动 0 cos()xAt的周期为T, 在t=T/2时质点的速度为 , 加速度为 。 答案:答案: 0 2 sinA T ; 2 0 2 4 cosA T 分析:分析:由速度和加速度以及周期的定义可得 000 222 sinsin()sin 2 dxT vAtAtvA dtTTT 22 00 22 424 cos( )cos 2 dvT aAtaA dtTTT 本题也可通过旋转矢量法直接得到。 4. 已知一弹簧振子由 3kg 的物体与劲度系数 k=12N/m 的弹簧组成, 其振幅为 2m, 沿 x 轴运 动,并从物体处于最大位移处开始计时,则其圆频率为 ,初相为 ,其振动方程 为 ,/8ts 时,作用于该物体的力的大小为 ,方向为 。 答案:答案:2 rad/s;0;2cos2xt(SI) ;122N;沿 x 轴负方向。 分析:分析:由弹簧振子圆频率公式可得/2k mrad/s;由旋转矢量法可得初相0;故 其振动方程为2cos2xt(SI) ; 由胡克定律可得( )24cos( /4)12 2Fkx tN, 式中负号表示力的方向沿 x 轴的负方向。 5. ()一简谐振动的振动曲线如图 5 所示,则由图可得其振幅 为 ,其初相为 ,其周期为 ,其振动方程为 。 答案:答案:0.1m;2 /3;4.8s;0.1cos(5/122/3)xt(SI) 分析:分析:该题的具体求解过程与选择题 8 相同。由图形可直接得到振 动振幅 A=10cm=0.1m,由 t=0 和 t=2 时振子的位置及速度方向可画 出旋转矢量图,故初相2/3,振动圆频率为 5/65 212t 故周期2 /24/54.8T s,振动方程为0.1cos(5/122/3)xt(SI) 。 6. 已知一简谐振动的振动方程为2cos(/ 2)xt,请在图 6 中分别画出位移、速度、加 速度曲线。 答案:答案:如图所示。 分析:分析:由圆频率可得振动周期2T,由初相可知振子初始 时刻位于0 x处, 且速度为负; 速度相位超前位移相位/2, 振幅为2A;加速度与位移反相,振幅为 2 2A。 7. 如图 7 所示, 初始时两质量均为 m 的无粘合的物体 A、 B 向左压缩劲度系数为 k 的弹簧, 然后放手, 则物体 A 第一次到达正最大位移处所用的时间为_。 若初始时弹簧被压缩 x0, 则物体 A 第一次到达正最大位移处时 B 物体的速度为_。 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 6 / 7 答案:答案: 21 2 m k ; 0 2 k x m 分析:分析:在物体 A、B 达到平衡位置前,物体 A、B 具有相同的加 速度;过平衡位置后,弹簧对 A 产生向左的力,物体 A 开始减 速,物体 B 不再受到力的作用,故此后 B 做匀速运动。因此物体 A 到达正最大位移处所需 的时间为 12 1 21 2221 4422 mmm t kkk 此时物体 B 的速度为 22 00 11 (2 ) 222 k m vkxvx m 8. 质量为 m 的物体与劲度系数为 k 的弹簧组成弹簧振子的振动动能的变化频率为_,其 势能的变化频率为_。 答案:答案: 1k m ; 1k m 分析:分析: 由机械能守恒可知振动动能的变化频率与势能的变化频率相同, 势能与时间的关系为 2222 1 cos 22111 cos 2222 t VkxkAtkA 即势能的变化频率为 121 22 k f Tm 本题也可以通过更简单的作图方法求解。 9. ()已知弹簧振子的弹簧劲度系数为 k,其振动振幅为 A,则当振子移动到正的 1/2 最 大位移处时的动能为_。 答案:答案: 2 3/8kA 分析:分析:由机械能守恒可得 2 2222 11113 222228 A mvkkAmvkA 10. 已知一物体同时参与两个同方向同频率的简谐振动, 这两个简谐振 动的振动曲线如图 8 所示, 其中 A1A2, 则该物体振动的初相为_。 答案:答案: 分析:分析:分析方法同选择题 11。 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 7 / 7 三、计算题 1. 如图 9 所示,质量为 m 的滑块与竖直悬挂的弹簧相连,已知劲度系数为 k。若一开始弹 簧处于原长状态,求滑块 m 的运动方程(以平衡位置为坐标原点,竖直向下为正方向) 。 解解:如图所示,设平衡位置 O(即所受合外力为零的点)位于振子原位置下方x,则 mg k xmgxA k 式中Ax可

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