大学物理同步训练第2版第四章机械振动详解.pdf

同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 1 / 7 第四第四章章 机械振动机械振动 一、选择题 1. 下列 4 中运动（忽略阻力）中哪一种是简谐振动？ （A）小球在地面上作完全弹性的上下跳动 （B）细线悬挂一小球在竖直平面上作大角度的来回摆动 （C）浮在水里的一均匀矩形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 （D）浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 答案：答案：C 分析：分析：作简谐振动的物体受到的合外力满足Fkx（k为大于零的常数，x为偏离平衡点 的位移）的形式。A)小球受到的合外力为Fmg，错误。B)设摆线逆时针摆起角，则小 球受到的沿着切向方向（即位移方向）的力为sinsin/Fmgmgs l ；显然只有 当很小的时候（此时sin/s l，/Fmg l s ）才作简谐振动，故 B 错误。C) 以平衡点（木块所受合外力为零）为坐标原点建立竖直方向的坐标轴，可得均匀矩形木块所 受的合外力为FgS x ，其中为水的密度，S为矩形木块的截面积，是一个常数， 故 C 正确。D)球形木块在竖直方向位移dx时受到的合外力的增量为( )dFgS x dx ，其 中( )S x为此时球形木块与水面相交的截面积，即/( )dF dxgS x ，故F与x不是线性 （正比）关系，由简谐振动需满足的条件可知，球形木块不会做简谐振动，D 错误。 2. （）如图 1 所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若 以松手时开始计时，则该弹簧振子的初相应为 （A）0 （B）/2 （C）/2 （D） 答案：答案：D 分析：分析：如图可知一开始质点位于负的位移最大处，故初相位 。旋转矢量图见右图。 （具体画图过程：具体画图过程：画出振动方 向 Ox，O 为平衡位置，即振子所受合外力为零的点；以振幅 A 为半径以 O 为圆心画圆；给出旋转方向，逆时针，旋转角 速度即简谐振动的圆频率；在 Ox 轴上画出 t 时刻振子所在的坐标；做一条垂直于振 动轴 Ox 的虚线，该虚线和圆相交于两点或一点；若振子速度为负，则从 O 点作一条指向 上半圆交点的矢量，若振子速度为正，则从 O 点作一条指向下半圆交点的矢量，若振子速 度为零，则只有一个交点，直接从 O 点作一条指向交点的矢量，此即 t 时刻的旋转矢量； Ox 沿着逆时针方向旋转，转至 t 时刻的旋转矢量所转过的角度即为 t 时刻振子的相位，若 t=0，该相位即为初相位。 ） 3. 一质量为 m 的物体挂在劲度系数为 k 的轻弹簧下面，其振动周期为 T。若将此弹簧分割 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 2 / 7 成 3 等份，将一质量为 2m 的物体挂在分割后的一根轻弹簧上，则此弹簧振子的周期应为 （A）3 /6T （B）6/3T （C）2T （D）6T 答案：答案：B 分析：分析：由题可知原弹簧的周期为2/Tm k；由弹簧串联公式1/1/ i i kk可得弹簧 分割 3 等份后每份弹簧的劲度系数为3kk ，故新弹簧振子的周期为 26 22 33 mm TT kk 4. 两相同的轻弹簧各系一物体（质量分别为 m1、m2）作简谐振动（振幅分别为 A1、A2） ， 问下列哪一种情况两振动的周期不同？ （A）m1=m2，A1=A2，一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上振动 （B）m1=2m2，A1=A2，两个都在光滑的平面上作水平振动 （C）m1=m2，A1=2A2，两个都在光滑的平面上作水平振动 （D）m1=m2，A1=A2，一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作竖直振动 答案：答案：B 分析：分析：由弹簧振子周期公式2/Tm k可知弹簧振子的周期只与弹簧的劲度系数以及振 子质量有关，与所处环境、振幅、振动方向等无关。故只有 B 两者振动周期不同。 5. 一个质点作简谐振动，已知质点由平衡位置运动到二分之一最大位移处所需要的最短时 间为 t0，则该质点的振动周期 T 应为 （A）4t0 （B）12t0 （C）6t0 （D）8t0 答案：答案：B 分析：分析：从平衡位置出发，第一次到达二分之一最大位移处所需 的时间最短，如旋转矢量图所示（矢量从 A 处匀角速逆时针旋 转至 B 处的时间为 t0） ，可得 0 0 /62 12Tt t 6. （）已知月球上的重力加速度是地球的 1/6，若一个单摆（只考虑小角度摆动）在地球 上的振动周期为 T，将该单摆拿到月球上去，其振动周期应为 （A）6T （B）/6T （C）6T （D）/6T 答案：答案：C 分析：分析：由单摆的周期公式（推导过程见选择题 1）可得 226 /6 ll TTT gg 7. 一简谐振动的旋转矢量图如图 2 所示，图中圆的半径为 R，则该简谐振动的振动方程为 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 3 / 7 （A）cos/4xRt （B）sin/4xRt （C）cos/4xRt （D）cos/2/4xRt 答案：答案：A 分析：分析：由旋转矢量图可知振幅AR，t 时刻相位（即 Ox 轴逆时针旋转 至 t 时刻旋转矢量所经历的角度）为( )/ 4tt，故质点的简谐 运动方程为cos( )cos/4xAtRt。 8. （）已知某简谐振动的振动曲线如图 3 所示，位移的单位为米，时间单位为秒，则此 简谐振动的振动方程为 （A）10cos 11/242 /3xt（SI） （B）10cos 7/247/6xt（SI） （C）10cos 7/242 /3xt（SI） （D）10cos 11/242 /3xt（SI） 答案：答案：C 分析：分析：由振动曲线可以看出10Am，由旋转矢量图（见右图）可 得初相2/3 ，振动圆频率（即旋转矢量旋转角速度）为 7/67 424 故振动方程为10cos 7/242 /3xt（SI） 。 9. 某弹簧振子的振动曲线如图 4 所示，则由图可确定 t=2s 时，振子的速度为 （A）3m/s （B）3 m/s （C）3 m/s （D）3 m/s 答案：答案：A 分析：分析： 由曲线可知振子振幅为 6m， 周期为 T=4s （2 /2T） 。 t=2s 时振子位于平衡位置，速度达到极大值3 v AA（即速度 振幅） ，由曲线还可看出 t=2s 时振子速度为正（t=2s 处斜率为正） ，故 A 选项正确。 10. （）一质量为 m 的物体与一个劲度系数为 k 的轻弹簧组成弹簧振子，当其振幅为 A 时，该弹簧振子的总能量为 E。若将其弹簧分割成 2 等份，将两根弹簧并联组成新的弹簧振 子，则新弹簧振子的振幅为多少时，其总能量与原先弹簧振子的总能量 E 相等。 （A）/2A （B）/4A （C）/2A （D）A 答案：答案：A 分析：分析： 弹簧均分为 2 等份后两根弹簧的劲度系数为 2k （参考选择题 3） ， 由并联公式 i i kk 可得这两根弹簧并联后劲度系数为 4k。由弹簧振子机械能守恒（ 2 / 2EkA）可知 222 111 4 2222 A k Ak AkAA 11. （）两同方向同频率的简谐振动的振动方程为 1 6cos 5/2xt（SI） ， 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 4 / 7 2 2cos(5xt/ 2)（SI） ，则它们的合振动的振动方程为 （A）4cos5xt（SI） （B）8cos(5)xt（SI） （C）4cos(10/ 2)xt（SI） （D）4cos(5/ 2)xt（SI） 答案：答案：D 分析：分析： 两个同方向同频率的简谐振动合成得到的合振动也是简 谐振动，圆频率不变，合振动的振幅和初相合振动的初始旋转 矢量（为两个简谐振动的初始旋转矢量的矢量和）获得。如图 所示，画出振动 x1和 x2的初旋转矢量，矢量合成可得合振动 初旋转矢量 x1+x2，故合振动的振幅4A，初相/ 2， 振动方程为4cos(5/ 2)xt。 12. 已知两同方向同频率的简谐振动的振动方程分别为 11cos( /3)xAt（SI） ， 22cos( /6)xAt（SI） ，则它们的合振幅应为 （A） 12 AA （B） 12 AA （C） 22 12 AA （D） 22 12 AA 答案：答案：C 分析：分析：方法同选择题 11，旋转矢量图见右图。 二、填空题 1. 若简谐振动 0 cosxAt的周期为 T，则简谐振动 0 cosxBn t 的周 期为 。 答案：答案：T/n 分析：分析：由圆频率与周期的关系可知 221 2T T nnn 2. 已知质点作简谐振动，周期为 T，振幅为 A，则该质点运动到正的二分之一振幅处的速度 的大小为 。 答案：答案： 3 A T 分析：分析：质点运动到正二分之一振幅处的相位为/3，速度相位超前位移相位/2，速度 振幅为A，故速度为 33 23 cos 2322 A vAAAv TT 或者，由机械能守恒可得 2 2 22 111333 222242 AkAA mvkkAvA mT 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 5 / 7 3. 已知简谐振动 0 cos()xAt的周期为T， 在t=T/2时质点的速度为 ， 加速度为 。 答案：答案： 0 2 sinA T ； 2 0 2 4 cosA T 分析：分析：由速度和加速度以及周期的定义可得 000 222 sinsin()sin 2 dxT vAtAtvA dtTTT 22 00 22 424 cos( )cos 2 dvT aAtaA dtTTT 本题也可通过旋转矢量法直接得到。 4. 已知一弹簧振子由 3kg 的物体与劲度系数 k=12N/m 的弹簧组成， 其振幅为 2m， 沿 x 轴运 动，并从物体处于最大位移处开始计时，则其圆频率为 ，初相为 ，其振动方程 为 ，/8ts 时，作用于该物体的力的大小为 ，方向为 。 答案：答案：2 rad/s；0；2cos2xt（SI） ；122N；沿 x 轴负方向。 分析：分析：由弹簧振子圆频率公式可得/2k mrad/s；由旋转矢量法可得初相0；故 其振动方程为2cos2xt（SI） ； 由胡克定律可得( )24cos( /4)12 2Fkx tN， 式中负号表示力的方向沿 x 轴的负方向。 5. （）一简谐振动的振动曲线如图 5 所示，则由图可得其振幅 为 ，其初相为 ，其周期为 ，其振动方程为 。 答案：答案：0.1m；2 /3；4.8s；0.1cos(5/122/3)xt（SI） 分析：分析：该题的具体求解过程与选择题 8 相同。由图形可直接得到振 动振幅 A=10cm=0.1m，由 t=0 和 t=2 时振子的位置及速度方向可画 出旋转矢量图，故初相2/3，振动圆频率为 5/65 212t 故周期2 /24/54.8T s，振动方程为0.1cos(5/122/3)xt（SI） 。 6. 已知一简谐振动的振动方程为2cos(/ 2)xt，请在图 6 中分别画出位移、速度、加 速度曲线。 答案：答案：如图所示。 分析：分析：由圆频率可得振动周期2T，由初相可知振子初始 时刻位于0 x处， 且速度为负； 速度相位超前位移相位/2， 振幅为2A；加速度与位移反相，振幅为 2 2A。 7. 如图 7 所示， 初始时两质量均为 m 的无粘合的物体 A、 B 向左压缩劲度系数为 k 的弹簧， 然后放手， 则物体 A 第一次到达正最大位移处所用的时间为_。 若初始时弹簧被压缩 x0， 则物体 A 第一次到达正最大位移处时 B 物体的速度为_。 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 6 / 7 答案：答案： 21 2 m k ； 0 2 k x m 分析：分析：在物体 A、B 达到平衡位置前，物体 A、B 具有相同的加 速度；过平衡位置后，弹簧对 A 产生向左的力，物体 A 开始减 速，物体 B 不再受到力的作用，故此后 B 做匀速运动。因此物体 A 到达正最大位移处所需 的时间为 12 1 21 2221 4422 mmm t kkk 此时物体 B 的速度为 22 00 11 (2 ) 222 k m vkxvx m 8. 质量为 m 的物体与劲度系数为 k 的弹簧组成弹簧振子的振动动能的变化频率为_，其 势能的变化频率为_。 答案：答案： 1k m ； 1k m 分析：分析： 由机械能守恒可知振动动能的变化频率与势能的变化频率相同， 势能与时间的关系为 2222 1 cos 22111 cos 2222 t VkxkAtkA 即势能的变化频率为 121 22 k f Tm 本题也可以通过更简单的作图方法求解。 9. （）已知弹簧振子的弹簧劲度系数为 k，其振动振幅为 A，则当振子移动到正的 1/2 最 大位移处时的动能为_。 答案：答案： 2 3/8kA 分析：分析：由机械能守恒可得 2 2222 11113 222228 A mvkkAmvkA 10. 已知一物体同时参与两个同方向同频率的简谐振动， 这两个简谐振 动的振动曲线如图 8 所示， 其中 A1A2， 则该物体振动的初相为_。 答案：答案： 分析：分析：分析方法同选择题 11。 同步训练答案 第四章 机械振动 许照锦 7 / 7 三、计算题 1. 如图 9 所示，质量为 m 的滑块与竖直悬挂的弹簧相连，已知劲度系数为 k。若一开始弹 簧处于原长状态，求滑块 m 的运动方程（以平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向） 。 解解：如图所示，设平衡位置 O（即所受合外力为零的点）位于振子原位置下方x，则 mg k xmgxA k 式中Ax可