图 形 的 相 似 压轴 题 选.doc

图 形 的 相 似 难 题 选1.（ 2014广东，第25题9分）如图，在ABC中，AB=AC，ADAB于点D，BC=10cm，AD=8cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t0）（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由考点：相似形综合题分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示又EFAD，EF为AD的垂直平分线，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB于点D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形（2）解：如答图2所示，由（1）知EFBC，AEFABC，即，解得：EF=10tSPEF=EFDH=（10t）2t=t2+10t=（t2）2+10当t=2秒时，SPEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若点E为直角顶点，如答图3所示，此时PEAD，PE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；若点F为直角顶点，如答图3所示，此时PEAD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得t=；若点P为直角顶点，如答图3所示过点E作EMBC于点M，过点F作FNBC于点N，则EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得BM=t，PM=BPBM=3tt=t在RtEMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，即，解得CN=t，PN=BCBPCN=103tt=10t在RtFNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+100在RtPEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10t）2=（t2）+（t285t+100）化简得：t235t=0，解得：t=或t=0（舍去）t=综上所述，当t=秒或t=秒时，PEF为直角三角形点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想2.(2014年四川资阳，第23题11分)如图，已知直线l1l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE（1）求证：ABPCBE；（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F如图2当=2时，求证：APBD；当=n（n1）时，设PAD的面积为S1，PCE的面积为S2，求的值考点：相似形综合题分析：（1）求出ABP=CBE，根据SAS推出即可；（2）延长AP交CE于点H，求出APCE，证出CPDBPE，推出DP=PE，求出平行四边形BDCE，推出CEBD即可；分别用S表示出PAD和PCE的面积，代入求出即可解答：（1）证明：BC直线l1，ABP=CBE，在ABP和CBE中ABPCBE（SAS）；（2）证明：延长AP交CE于点H，ABPCBE，PAB=ECB，PAB+AEE=ECB+AEH=90，APCE，=2，即P为BC的中点，直线l1直线l2，CPDBPE，=，DP=PE，四边形BDCE是平行四边形，CEBD，APCE，APBD；解：=NBC=nBP，CP=（n1）BP，CDBE，CPDBPE，=n1，即S2=（n1）S，SPAB=SBCE=nS，PAE=（n+1）S，=n1，S1=（n+1）（n1）S，=n+1点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度3.（2014武汉，第24题10分）如图，RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ与ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQCP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在ABC的一条中位线上考点：相似形综合题分析：（1）分两种情况讨论：当BPQBAC时，=，当BPQBCA时，=，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=84t，根据ACQCMP，得出=，代入计算即可；（3）作PEAC于点E，DFAC于点F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8BM=84t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在ABC的一条中位线上解答：解：（1）当BPQBAC时，=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，=，t=1；当BPQBCA时，=，=，t=，t=1或时，BPQ与ABC相似；（2）如图所示，过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=84t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM且ACQ=PMC=90，ACQCMP，=，=，解得：t=；（3）如图，仍有PMBC于点M，PQ的中点设为D点，再作PEAC于点E，DFAC于点F，ACB=90，DF为梯形PECQ的中位线，DF=，QC=4t，PE=8BM=84t，DF=4，BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，RC=DF=4成立，D在过R的中位线上，PQ的中点在ABC的一条中位线上点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论4（2014四川自贡，第23题12分）阅读理解：如图，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”解决问题：（1）如图，A=B=DEC=45，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系考点：相似形综合题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明ADEBEC，所以问题得解（2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；（3）因为点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解解答：解：（1）A=B=DEC=45，AED+ADE=135，AED+CEB=135ADE=CEB，在ADE和BCE中，ADEBCE，点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点（2）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，（3）点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，AEMBCEECM，BCE=ECM=AEM由折叠可知：ECMDCM，ECM=DCM，CE=CD，BCE=BCD=30，BE=，在RtBCE中，tanBCE=tan30=，点评：本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出CED=90，从而确定作以CD为直径的圆是解题的关键5.（2014扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA求证：OCPPDA；若OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEBP于点E试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值专题：综合题；动点型；探究型分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在RtPCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长（2）由DP=DC=AB=AP及D=90，利用三角函数即可求出DAP的度数，进而求出OAB的度数（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长解答：解：（1）如图1，四边形ABCD是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=BAPO=90APD=90CPO=POCD=C，APD=POCOCPPDAOCP与PDA的面积比为1：4，=PD=2OC，PA=2OP，DA=2CPAD=8，CP=4，BC=8设OP=x，则OB=x，CO=8x在RtPCO中，C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，x2=（8x）2+42解得：x=5AB=AP=2OP=10边AB的长为10（2）如图1，P是CD边的中点，DP=DCDC=AB，AB=AP，DP=APD=90，sinDAP=DAP=30DAB=90，PAO=BAO，DAP=30，OAB=30OAB的度数为30（3）作MQAN，交PB于点Q，如图2AP=AB，MQAN，APB=ABP，ABP=MQPAPB=MQPMP=MQMP=MQ，MEPQ，PE=EQ=PQBN=PM，MP=MQ，BN=QMMQAN，QMF=BNF在MFQ和NFB中，MFQNFBQF=BFQF=QBEF=EQ+QF=PQ+QB=PB由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90PB=4EF=PB=2在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2点评：本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键6.（2014滨州，第25题12分）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q（1）求证：APQCDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒当t为何值时，DPAC？设SAPQ+SDCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值考点：相似形综合题分析：（1）求证相似，证两对角相等即可，因为平行，易找，易证（2）当垂直时，易得三角形相似，故有相似边成比例，由题中已知矩形边长则AP长已知，故t易知因为SAPQ+SDCQ=y，故求SAPQ和SDCQ是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取考虑两高在同一直线上，且相加恰为10，故可由（1）相似结论得，高的比等于对应边长比，设其中一高为h，即可求得，则易表示y=，注意要考虑t的取值讨论何时y最小，y=不是我们学过的函数类型，故无法用最值性质来讨论，回观察题目问法为“探究P点运动到第几秒到第几秒之间时”，1并不是我们常规的在确定时间最小，2时间问的整数秒故可考虑将所有可能的秒全部算出，再观察数据探究函数的变化找结论解答：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，QPA=QDC，QAP=QCD，APQCDQ（2）解：当DPAC时，QCD+QDC=90，ADQ+QCD=90，DCA=ADP，ADC=DAP=90，ADCPAD，=，解得 PA=5，t=5设ADP的边AP上的高h，则QDC的边DC上的高为10hAPQCDQ，=，解得 h=，10h=，SAPQ=，SDCQ=，y=SAPQ+SDCQ=+=（0t20）探究：t=0，y=100；t=1，y95.48；t=2，y91.82；t=3，y88.91；t=4，y86.67；t=5，y=85；t=6，y83.85；t=7，y83.15；t=8，y82.86；t=9，y82.93；t=10，y83.33；t=11，y84.03；t=12，y=85；t=13，y86.21；t=14，y87.65；t=15，y89.29；t=16，y91.11；t=17，y93.11；t=18，y95.26；t=19，y97.56；t=20，y=100；观察数据知：当0t8时，y随t的增大而减小；当9t20时，y随t的增大而增大；故y在第8秒到第9秒之间取得最小值