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复旦大学 20052006 学年第一学期期末考试试卷 复旦大学 20052006 学年第一学期期末考试试卷 课程名称：课程名称： 数学分析III 数学分析III 课程代码： 课程代码： 318.157.3.01 318.157.3.01 开课院系：开课院系： 数学科学学院 数学科学学院 学生姓名： 学生姓名： 学号： 学号： 专业： 专业： 题 目 题 目 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 总 分总 分 得 分 得 分 填充题填充题 1 （每空格（每空格 6 分，共分，共 30 分）分） （1） 333 3xyzxyz+= ，则dz = 。 （2）曲线 222 0 6 xyz 2 xyza + = += 在( , , 2 ) a aa 处的切线方程为 。 （3） 22 rxyz=+ 2 ，则divgradr = 。 （4） 2 sin ( ) x x xt I xdt t = ，则 dI dx = 。 （5） 4 42 00 xx4 x edxx edx + = 。 解答题（每题解答题（每题 10 分，共分，共 70 分）分） 2通过变量代换 yxzwxv y x u=,，变换方程 xy z y z y 2 2 2 2 = + 。 1 3设四边形的边长分别为，利用 Lagrange 乘数法求出当四边 形面积最大时四边形的顶角所满足的条件（不必求出最大面积） 。 a,b,c,d 4计算闭曲面 5 22222 2 () 2 xyzzxy+=所围体积。 2 5在平面上单位质点受力PF作用，力F的方向与OP uuu r 垂直（逆时 针转 90 度为 OP uuu r F的方向） ，大小与OP uuu r 成反比，比例系数为 ，求质点 从点沿位于第一象限的曲线移动到点，力 kP (0,1)A(1,0)BF所作的功。 6计算积分 ，其中是曲面 介于 的部分，积分沿曲面下侧。 dxdyzdzdxydydzx S 333 + S 22 yxz+= 10 z 3 7积分 + + 0 22 x dx 关于在下述范围是否一致收敛? 证明你的断言。 （1）+A00 ;（2）+0。 8将周期为2的函数， 2 )(xxf=
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