系统闭环传递函数总结

1 / 35 系统闭环传递函数总结 多回路闭环系统传递函数的求解方法及应用 摘要 :本文在分析闭环系统传递函数求解方法的基础上归纳得出三个计算式并分析应用 ,利用这三个计算式可以巧妙、快速求解出闭环系统的传递函数 ,省去了通过化简系统方块图逐步求解传递函数的复杂过程 ,学生容易掌握。 关键词 :闭环回路 传递函数 方块图 信号流程图 在机械工程控制基础课程中 ,为了分析动态系统的性能往往需要建立系统的微分方程 ,画出系统方块图、化简方块图等步骤 ,最后求解系统的传递函数 ,为系统的响应及性能分析提供必要的依据。通常传递函数的求解有以下三种方法 :一是通过分析系统建立系统 的微分方程取拉氏变换求得 ;二是利用系统方块图或信号流图进行等效的逐步化简求得 ;三是利用梅逊公式求得。通过微分方程的拉氏变换适用于系统比较简单、容易建立微分方程的场合 ;利用方块图或信号流图逐步化简过程繁琐 ,而且容易出错。本文在上述三种方法的基础上归纳得出三个个计算式 ,利用这三个计算式可以巧2 / 35 妙、快速求解出闭环系统的传递函数 ,省去了通过化简系统方块图逐步求解传递函数的复杂过程 ,学生容易掌握。 1 闭 环系统的传递函数及其求解方法 传递函数、方块图与梅逊公式 传递函数是经典控制论中对线性系统进行分析、研究与综合的重要数学模型形式 ,它通过输入与输出之间信息的传递关系来描述系统 本身的动态特性。传递函数的定义 1:线性定常系统的传递函数是初始条件为零时 ,系统输出的拉氏变换比输入的拉氏变换 ,即 :, 用方块图表示如图 1 所示。 一个系统的传递函数可以看成是由一些典型环节组合而成的 ,而方块图就是系统中各个环节的功能和信号流向的图解表示方法。当线性系统的方块图比较简 单时通过对方块图进行等效的化简可以得出系统的总传递函数 ;当系统的方块图复杂时可以采用信号流图梅逊公式求得。所以由系统的方块图或信号流图都可以求解出系统的传递函数。 3 / 35 闭环系统传递函数的求解方法 一条前向通道传递函数的求解 在只有一个输入和输出的线性定常系统中 ,当闭环系统只有一条前向通道的时候其传递函数可按下面两种情况进行求解。 (1)回路中无互不接触回路。 当前向通道只有一条 ,而且回路中有公共节点 (即无互不接触回路 ),则闭环系统的传递函数可按下式进 行求解 : 求解多回路闭环系统传递函数的步骤 求解多回路闭环系统传递函数的一般步骤如下。 (1)找前向通道 :找出方块图中或信号流图中所有的前向通道 ,并计算各个前向通道各环节传递函数的乘积。 (2)找回路 :找出方块图中或信号流图中各个反馈回路 ,并计算各个回路传递函数的乘积。 4 / 35 (3)找互不接触回路 ,从每两个互不接触回路开始找起 ,找到最后每 m 个互不接 触回路 ,并计算每两个至每 m 个互不接触回路传递函数的乘积。 (4)判断根据上述三个计算式进行计算 ,求出该系统总传递函数的表达式。 2 应用举例 单前向通道无互不接触回路 闭环系统传递函数的求解 已知系统方块图如图 2 所示 ,按照多回路闭环系统传递函数的求解步骤如下。 (1)找前向通道 :由图 2 可知前向通道只有 1 条 ,故其传递函数各环节传递函数的乘积 :。 3 结语 实践证明利用上述三个计算式求解闭环系统的传递函数不仅无需对复杂的方块图进行逐步化简 ,省去繁琐的化简过程 ,5 / 35 而且简单、快捷 ,学生容易掌握 ,不易出错。 参考文献 1陈康宁 .机械工程控制基础 M.西安交通大学出版社 ,1999. 2陆宁 .化简方块图的新公式 J.东华大学学报 (自然科学版 ),2001,2(27):35 37. 一取 TD=0,T1=,KP=1 5,则 PID 控制器的传递函数为： Gc=1 5(TD=0,T1=,KP=1 5) 求系统的闭环传递函数的 MATLAB程序如下： 【 1】 Gc=1 n1=1;d1= 1;s1=tf(n1,d1); n2=1;d2= 0;s2=tf(n2,d2); 6 / 35 sys1=feedback(s1*s2,1) Transfer function: 1 - s + s + 1 n3=0 44;d3= 1;s3=tf(n3,d3); n4=1;d4=;s4=tf(n4,d4); sys=feedback(sys1*s3,s4) Transfer function: - 7 / 35 s + s + s + =/ + + num1=0 0 ; den1= ; step(num1,den1,) Step Response 250 200 150 100 Amplitude500 -50 8 / 35 -100 -150 - Time (sec) 【 2】 Gc=2 n1=1;d1= 1;s1=tf(n1,d1); n2=1;d2= 0;s2=tf(n2,d2); sys1=feedback(s1*s2,1) Transfer function: 1 - 9 / 35 s + s + 1 n3=0 88;d3= 1;s3=tf(n3,d3); n4=1;d4=;s4=tf(n4,d4); sys=feedback(sys1*s3,s4) Transfer function: - s + s + s + =/ + + num2=0 0 ; den2= ; step(num2,den2,) Step Response 10 / 35 4 2 Amplitude-2 -4 -6 - Time (sec) 【 3】 Gc=3 n1=1;d1= 1;s1=tf(n1,d1); n2=1;d2= 0;s2=tf(n2,d2); sys1=feedback(s1*s2,1) 11 / 35 Transfer function: 1 - s + s + 1 n3=0 132;d3= 1;s3=tf(n3,d3); n4=1;d4=;s4=tf(n4,d4); sys=feedback(sys1*s3,s4) Transfer function: - s + s + s + =/ + + num3=0 0 ; 12 / 35 den3= ; step(num3,den3,) Step Response 35 30 25 20 15 Amplitude10 5 -5 -10 13 / 35 - Time (sec) 【 4】 Gc=4 n1=1;d1= 1;s1=tf(n1,d1); n2=1;d2= 0;s2=tf(n2,d2); sys1=feedback(s1*s2,1) Transfer function: 1 - s + s + 1 14 / 35 n3=0 176;d3= 1;s3=tf(n3,d3); n4=1;d4=;s4=tf(n4,d4); sys=feedback(sys1*s3,s4) Transfer function: - s + s + s + =/ + + num4=0 0 ; den4= ; step(num4,den4,) Step Response 60 40 20 15 / 35 -20 Amplitude-40 -60 -80 -100 -120 - Time (sec) 【 5】 Gc=5 n1=1;d1= 1;s1=tf(n1,d1); n2=1;d2= 0;s2=tf(n2,d2); 16 / 35 sys1=feedback(s1*s2,1) Transfer function:0 1 - s + s + 1 n3=0 220;d3= 1;s3=tf(n3,d3); n4=1;d4=;s4=tf(n4,d4); sys=feedback(sys1*s3,s4) Transfer function: - 17 / 35 s + s + s + =/ + + num5=0 0 ; den5= ; step(num5,den5,) Step Response 250 200 150 100 Amplitude500 -50 -100 -150 18 / 35 - Time (sec) 调速系统在不同 KP 作用下的阶跃响应曲线 求解过程 n1=1;d1= 1;s1=tf(n1,d1); n2=1;d2= 0;s2=tf(n2,d2); sys1=feedback(s1*s2,1) 控制系统的传递函数 ? 考虑扰动的闭环控制系统 Xi(s)到 Xo(s)的信号传递通路称为前向通道； Xo(s)到 B(s)的信号传递通路称为反馈通道； 1.闭环系统的开环传递函数 将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即 19 / 35 H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为该 闭环控制系统的开环传递函数。记为 GK(s)。 闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信号 B(s)和偏差信号 ? (s)之间的传递函数，即： 2.xi(t)作用下系统的闭环传递函数 令 n(t)=0，此时在输入 xi(t)作用下系统的闭环传递函数为： ?i(s)?X01(s)Xi(s)?G1(s)G2(s)1?G1(s)G2(s)H(s) ? 输入作用下系统的偏差传递函数 令 n(t)=0，此时系统输入 Xi(s)与偏差 ? (s)之间的传递函数称为输入作 用下的偏差传递函数。用 ?i(s)表示。 ?i( 20 / 35 s) ?i( s)Xi(s)?11?G1 (s)G2 (s)H(s) (t)作用下系统的闭环传递函数 令 xi(t)=0，此时在扰动 n(t)作用下系统的闭环传递函数为： X(s)G2(s)?N(s)?02? N(s)1?G1(s)G2(s)H(s) 扰动作用下系统的偏差传递函数，令 xi(t)=0，此时系统在扰动作用下的偏差传递函数。 21 / 35 ?(s)?G2(s)H(s)?N(s)?N? N(s)1?G1(s)G2(s)H(s) Hefei University 自动控制课程综述 开环与闭环系统 BACHELOR DISSERTATION 论 文 题 目 ： _ 开 环 与 闭 环 系 统_ 学 科 专 业 ： _ 自 动 化 1 班_ 学 生 姓 名 ：_ 姚辉 _ 导 师 姓 名 ： _ 李 秀 娟_ 摘要： 22 / 35 所谓开环与闭环系统主要是对开环和闭环传递函数的研究。 所谓传递函数，只是反馈信号的数学公式 /模型。传递函数零初始条件 下线性系统响应量的拉普拉斯变换与激励量的拉普拉斯变换之比。记作 G Y U，其中 Y、 U，而开环没有这一环节。 另外，还有半闭环控制系统，之所以叫半闭环是因为反馈回到给定输入信号的反馈量不是直接取自被控量，而是间接取到的。 关键字 :自动控制原理、开环系统、闭环系统、传递函数、区别、联系 发展与前景： 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以开环与闭环理论为基础的自动调节原理，主要用于工业控制，二战期间为了设计和制造飞机及船用自动驾驶仪，火炮定 位系统，雷达跟踪系统以及其他基于反馈原理的军用设备，进一步促进并完善了自动控制理论的发展。到战后，以形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数23 / 35 为基础的经典控制理论，它主要研究单输入 -单输出，线形定常数系统的分析和设计问题。 20 世纪 60 年代初期，随着现代应用数学新成果的推出和电子计算机的应用，为适应宇航技术的发展，自动控制理论跨入了一个新阶段 现代控制理论。他主要研究具有高性能，高精度的多变 量变参数的最优控制问题，主要采用的方法是以状态为基础的状态空间法。目前，自动控制理论还在继续发展，正向以控制论，信息论，仿生学为基础的智能控制理论深入。 为了实现各种复杂的控制任务，首先要将被控制对象和控制装置按照一定的方式连接起来，组成一个有机的总体，这就是自动控制系统。 在自动控制系统中，被控对象的输出量即被控量是要求严格加以控制的物理量，它可以要求保持为某一恒定值，例如温度，压力或飞行航迹等；而控制装置则是对被控对象施加控制作用的机构的总体，它可以采用不同的原理和方式对被控对象进行控制，但最基本的一种是基于闭环控制的闭环反馈控制系统。 开环与闭环系统的应用 (以 数控机床为例 )： 24 / 35 开环控制指调节系统不接受反馈的控制，只控制输出，不计后果的控制。又称为无反馈控制系统。 例如在数控机床中由步进电动机和步进电动机驱动线路组成。数控装置根据输入 指令，经过运算发出脉冲指令给步进电动机驱动线路，从而驱动工作台移动一定距离。这种系统比较简单，工作稳定，容易掌握使用，但精度和速度的提高受到限制。所以一般仅用于可以不考虑外界影响，或惯性小，或精度要求不高的一些经济型数控机床。 闭环控制则是由信号正向通路和反馈通路构成闭合回路的自动控制系统，又称反馈控制系统。 例如在数控机床中由伺服电动机、比较线路、伺服放大线路、速度检测器和安装在工作台上的位置检测器组成。这种系统对工作台实际位移量进行自动检测并与指令值进行比较，用差值进行控制。这种系统定位精度高，但系统复杂，调试和维修困难，价格较贵，主要用于高精度和大型数控机床。 正文： 开环与闭环关系 : 25 / 35 经典控制理论中，分析线性定常系统的性能，使用分析工具和公式时，开环传递函数和闭环传递函数交织一起，使人疑惑。 首先，明确系统结构的基本概念：前向通路 G,反馈 H，开环为 GH,闭环 P=G/(1+GH)。 性能指标主要是稳、快、准，三个方面。 1.稳 判稳本来可以通过直接求 “ 闭环传递函数的极点，检验极点是否都是负实部来实现。 但是，解高次方程太麻烦，所以出现了许多便宜的替代方法。 1)劳斯判据就是用 “ 闭环传函 ” 分母多项式系数来列表实现的。 2)频率特性判稳 奈奎撕特图 26 / 35 依据幅角原理，本来是对闭环传函分母 1+GH(s)，用 jw代替s，当 w 从 0 到无穷变化时，考查 1+GH(jw)曲线包围原点 0的情况。但觉得画出 GH(jw)还要平移 1，麻烦！干脆偷懒不平移，只考查 GH(jw)曲线包围 -1 的情况，由此推导出奈氏判据。此时 GH(jw)曲线和补偿的 90v 大圆弧合称奈奎撕特曲线。这就是奈奎撕特图借助开环传函来绘制的缘由。 Bode 由于 Bode 图与奈奎撕特图有很好的对应性，且工业界用得更广，所以把奈氏判据推广到借助 Bode图的对数稳定判据。因此， Bode图也借助开环传函来绘制。 其实，工业界也绘制独立元部件如运放的 Bode 图，不是用于判稳，只用于查看该元部件的带宽、 谐振频率等频率特性，也即绘制闭环系统的 Bode图。 2.快 1)时域 27 / 35 “ 快 ” 即动态性能，该指标主要用于研究特定输入下，系统输出的表现，即输出跟随复现输入的能力，这和闭环传 函密切相关，所以教材中的时域公式用 “ 闭 环传函 ” 参数与性能指标联系起来。所以单位阶跃响应动态性能指标都与闭环传函相关。 2)频域 频域性能指标本来是某环节元件的指标，应该依据该环节的传递函数 P(s)转化成频率特性 P(jw)求解。 但是，这个环节可以成为更大闭环系统的前向通路。如果从大系统角度看，如果此时大系统是单位负反馈，该环节恰好表现成大系统的开环传递函数。因而令人疑惑。 3.准 准即稳态误差。本来是求出误差信号的表达式 e(t)，然后求终值。因为可以借助于拉普拉斯变换，有便利的办法。先求误差传递函数 Pe(s)。那么 E(s)=R(s)*Pe(s)。输入信号是时间的幂函数，如阶跃、斜坡、加速度等，则可以用总值定28 / 35 理求解稳态值。还有更便利的，因为 Pe(s)=1/(1+GH)，所以先对 Pe(s)用终值定理分析，令 s-0，使得 Pe(s)化简。 此时发现 Pe的一部分 GH，即开环传递函数，与稳态误差相关。这就是型别和开环增益与稳态误差系数的关系。这当然让人错觉误差与开环传递函数相关。 输入是周期函数时，只能用频率特性了。由于 Pe(jw)不能像时域那样化简，所以可以看到，误差和系统闭环结构是相关的。 总结 : 开环控制系统不能检测误差，也不能校正误差。控制精度和抑制干扰的性能都比较差，而且对系统参数的变动很敏感。合闭环控制系统不管出于什么原因，只要被控制量偏离规定值，就会产生相应的控制作用去消除偏差。控制精度和抑制干扰的性能都比较差，而且对系统参数的变动很敏感。因此，一般仅用于可以不考虑外界影响，或惯性小，或精度要求不高 的一些场合 开环系统没有检测设备，组成简单，但选用的元器件要严格保证质量要求。闭环系统具有抑制干扰的能力，对元件特性29 / 35 变化不敏感，并能改善系统的响应特性。 开环控制系统的稳定性比较容易解决。闭环系统中反馈回路的引入增加了系统的复杂性。 自动控制原理是一门理论性较强的课程，所涉及的数学基础从微积分、复变函数、离散数学到矩阵理论。学习过程中发现很多问题其实是被数学问题难倒，从而产生了畏难情绪，影响学习效果。为此我认为，首先要明确自控原理课的学习目的：让自己建立控制理论的概念，学会控制系统的分析方法，为今后的专业课学习打下良好的基础，而不是仅仅会做题。因此在学习过程中应当 “ 强调概念，淡化计算 ” 。应注重对基本概念、原理和方法的介绍，而不是解题技巧。在教学过程中更应注重对每个定理，公式 的物理意义的解释，学习重点放在对计算结果的分析上，这样有助于今后专业技术课程的学习。另外，在学习中要还可通过分析各种理论方法之间的关联，起到温故而知新的作用。比如，通过对同一开环传递函数绘制根轨迹、伯德图和奈氏图，使我进一步了解根轨迹的用途和稳定判据 的用法。 30 / 35 自动控制原理课现在都采用了多媒体教学。多媒体不应当仅仅是简单地把以往的黑板板书转移到电脑上并用幻灯片显示出来。事实上，通过多媒体可以实现板书教学无法达到的很多功能。比如，在学习 PID控制时，可以在课堂上显示一些实际生产过程应用中的 PID控制器实例，增强学生的兴趣；同时可以通过仿真软件的演示，有力地说明比例、积分、微分控制的作用，并且通过改变控制器参数，表现其对系统响应的影响，加强了对理论推导的验证，强化了学生的印象。这就充 分发挥了多媒体这一工具的有力作用，提高了学生对课程的学习兴趣，加强了对学习内容的理解和掌握。 最后感谢李秀娟老师的无私奉献与指导 ! 系统闭环传递函数标准形式： 取 分别取 0， ,1,3,7进行 matlab分析 Matlab 代码： zeta1=0;num1=4;den1=4 0 4; sys1=tf(num1,den1); %建立31 / 35 =0 时闭环传递函数模型 p1=roots(den1) %计算系统特征根判断系统稳定性 p1 = 0 + 0 - t=0:10; %设定仿真时间为 10s y1=step(sys1,t); %求取=0 时系统的单位阶跃响应 zeta2=;num2=4;den2=1 4; sys2=tf(num2,d