四、《数学物理方法与计算机仿真》习题解答.pdf

第四篇 计算机仿真 第四篇 计算机仿真部分 第四篇 计算机仿真部分 第 21 章 计算机仿真在复变函数中的应用 第 21 章 计算机仿真在复变函数中的应用 21.121.1 利用计算机仿真求解下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1） 54 12i i+ ； （2） 3i i 4i 12i e ； （3） i (3i)(12i) 2i+3 e + ； （4） i -ii iiie+ 解：matla 仿真求解的程序 C21.1.m: a=(5+4i)/(1-2i) 4i*exp(3i)-1/i-i/(1-2i) (3*exp(i)+i)*(1-2i)/(2i+3) ii-ii+i*exp(-i) Real=real(a) Imag=imag(a) Conj=conj(a) Abs=abs(a) Angle=angle(a) 运行结果： a = -0.6000 + 2.8000i -0.1645 - 3.1600i 2.0442 - 1.2686i 0.8415 + 0.5403i Real = -0.6000 -0.1645 2.0442 0.8415 Imag = 2.8000 -3.1600 -1.2686 0.5403 Conj = -0.6000 - 2.8000i -0.1645 + 3.1600i 2.0442 + 1.2686i 0.8415 - 0.5403i Abs = 2.8636 3.1642 2.4058 1.0000 Angle = 1.7819 -1.6228 -0.5554 0.5708 21.2 求复变函数的极限 21.2 求复变函数的极限 1 2 n 3+4i (1) lim() ; (2)lim(i) 62 n n n n n + 解：matla 仿真求解的程序 C21.2.m: clear syms n f1=(3+4*i)/6)n; 第四篇 计算机仿真 f2=(n+n2*i/2)(1/n); f1=limit(f1,n,-inf) f2=limit(f2,n,inf) 仿真结果为: f1 = limit(1/2+2/3*i)n,n = inf) f2 = 1 21.3 21.3 解方程组 12 12 21 i 3i23i zz zz += + += 解：解：用 matlab 求解： A=1 2;3 i; B=1+i 2-3i; Z=AB 仿真结果为: Z = 0.3514 + 0.8919i 0.3243 - 0.9459i 21.421.4 利用计算机仿真的方法分别绘出函数cos ,sinh ,tanzzz的图形。 解：用 matlab 绘出函数cos ,sinh ,tanzzz的图形的程序 C21.4.m: z=5*cplxgrid(30); cplxmap(z,cos(z); colorbar(vert); title(cos(z) z=5*cplxgrid(30); figure; cplxmap(z,sinh(z); colorbar(vert); title(sinh(z) z=5*cplxgrid(30); figure; cplxmap(z,tan(z); colorbar(vert); title(tan(z) 第四篇 计算机仿真 21.5 21.5 利用计算机仿真的方法分别绘出函数 1 3 3 2 ,Ln(1), x x zz+的图形。 用 matlab 绘出函数 1 3 3 2 ,Ln(1), x x zz+的图 形的程序 C21.4.m: x=cplxgrid(30); cplxmap(x, 2.x); colorbar(vert); title(2x); figure; x=cplxgrid(20); w=log(1+x); for k=0:3 w=w+i*2*pi; surf(real(x),imag(x),imag(w),real(w ); colorbar(vert); hold on; title(Ln(1+x); end; view(-75,30); z=cplxgrid(30); figure; cplxmap(z, z.3); colorbar(vert); title(z3); z=cplxgrid(30); figure; cplxmap(z, z.(1/3); colorbar(vert); title(z1/3); 第四篇 计算机仿真 21.6 21.6 计算复变函数的积分 ii - 2 10 1tan (1) d ; (2) (i)d cos z z zzez z + . 解： . 解：用 matlab 求解的程序 C21.6.m: syms z; x1=int(1+tan(z)/cos(z)2,z,1,i); x1=simple(x1) x2=int(z-i)*exp(-z),z,0,i) 仿真结果： x1 = i*sinh(1)/cosh(1)+1/2/cosh(1)2-sin(1)/cos(1)-1/2/cos(1)2 x2 = -exp(-i)+1-i 21.7 21.7 求下列级数的收敛半径 ln =10 (1) ; (2)cos( i) nnn nn nzn z = 解： 解：用 matlab 求解的程序 C21.7.m: clear syms n C1=nlog(n); C2=cos(n*i); R1=abs(limit(C1(-1/n),n,inf) R2=abs(limit(C2(-1/n),n,inf) 仿真结果： R1 = 第四篇 计算机仿真 1 R2 = exp(-1) 21.8 21.8 试求函数 4 sin ( ) zz f z z + =在0z =点的留数 解: 解: 分析原函数易知：0z =为 4 重奇点，用下面的语句易求出该点的留数 syms z; f=(sin(z)+z)/z4; R=limit(diff(f*z4,z,3)/prod(1:3),z,0) 仿真结果： R = -1/6 21.9 21.9 计算积分 32 4 1d 1 C zz z z + ? 的值，其中C是正向圆周，2=z 解：解：先求被积函数的留数 R,P,K= residue (1,1,1,1,0,0,0,-1) 结果为： R = -0.2500 0.7500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000i P = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i K = 可见在圆周2=z内有四个极点，所以积分值等于2isum(R)S = S=2*pi*i*sum(R) 结果： S = 0 故积分 32 4 1d 2i sum(R)=0 1 C zz z z + = ? 21.10 21.10 求下列函数在指定点的 taylor 展开式 第四篇 计算机仿真 （1） 1 1z+ ，点 0 0z =； （2）sin( ) z，点 0 4 z = 解：用 matlab 求解的程序 C21.10.m: syms z f1=taylor(1/(1+z),0) f2=taylor(sin(z),pi/4); f2=simple(f2) 仿真结果： f1 = 1-z+z2-z3+z4-z5 f2 = 1/2*2(1/2)+1/2*2(1/2)*(z-1/4*pi)-1/4*2(1/2)*(z-1/4*pi)2-1/12*2(1/2)*(z- 1/4*pi)3+1/48*2(1/2)*(z-1/4*pi)4+1/240*2(1/2)*(z-1/4*pi)5 21.11 21.11 求 3 1 ( )f x x =的 Fourier 变换 解：用 matlab 求解的程序 C21.11.m: syms x v F=fourier(1/x3) 仿真结果： F = -1/2*i*pi*w2*(Heaviside(-w)-Heaviside(w) 21.12 21.12 求 2 2 ( ) 2 F s s = + 的 Laplace 逆变换 解：用 matlab 求解的程序 C21.12.m: syms s t w f=ilaplace(2/(s2+2) 仿真结果： f = 2(1/2)*sin(2(1/2)*t) 第 22 章本章计算机仿真习题 第 22 章本章计算机仿真习题 22 1 22 1 在矩形区域：01; 11xy ，用 MATLAB 工具箱仿真求解波动方程 1 tt uu =， 定解条件中的边界条件是齐次类型 （0u =） 给出解的图形 （随时间的分布） 。 【解】 （1） 输入 pdetool （2） 选定区域（矩形区域） 第四篇 计算机仿真 （3） 选取边界 （4） 设定方程类型 选定双曲型（波动方程）类型，并设定初始参数，a,c,d,f,如下图所示 （5） 网格初始化；并进一步网络细化 第四篇 计算机仿真 （6） 解偏微分方程并显示图形解 （7） 显示三维图形解 第四篇 计算机仿真 （8） 等值线图和三维图 第四篇 计算机仿真 222222 用 MATLAB 求解下列定解问题并动态显示解的分布 222 222 010020 ()0 |0,0 ( , ,0)atancos(3 ),( , ,0)5sin(2 xxyy t uuu txy uu uu yy u x yxu x y = += = = ) expcos( )xy 解： 解： g=squareg; % 定义单位方形区域 b=squareb1; %定义零边界条件 c=1;a=0;f=0;d=1; p,e,t=initmesh(squareg); x=p(1,:); % 注意坐标向量都是列向量 y=p(2,:); u0=atan(cos(3*pi*x); ut0=5*sin(2*pi*x).*exp(cos(pi*y); n=31; tlist=linspace(0,5,n); % 在 05 之间产生 n 个均匀的时间点 u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d); delta=-1:0.1:1; uxy, tn, a2, a3=tri2grid(p, t, u1(:, 1), delta, delta); gp=tn; a2; a3; newplot; % 建立新的坐标系 newplot; M=moviein(n); umax=max(max(u1); umin=min(min(u1); for i=1: n, . % 注意符号不可省略 if rem(i,10) = 0, . 当 n 是 10 的整数倍时， 在命令窗口打印出相应的数字 fprintf(%d , i); . end, . pdeplot(p, e, t, xydata, u1(:, i),zdata, u1(:,i), zstyle, continuous, mesh, on, xygrid,on, gridparam, gp, colorbar, off); . axis(-1, 1, -1, 1 umin umax); caxis(umin umax); . M(:, i)=getframe; . if i =n, . fprintf(donen ); . 第四篇 计算机仿真 end, . end nfps=5; movie(M,10,nfps); 运行结果是： 223 计算机仿真求解 223 计算机仿真求解如下的有限长细杆的热传导定解问题，并仿真解的分布 2 0 0 ( , )|( , )|0 3 ( , )|sin txx xx l t ua u u x tu x t u x tx l = = = = = 仿真可取10,5la=，且 0, (2,8) ( ) 1, (28) xx x x = 解：g=squareg; % 定义单位方形区域 b=squareb1; %定义零边界条件 c=52;a=0;f=0;d=1; p,e,t=initmesh(g); u0=zeros(size(p,2),1); %产生零矩阵 u0，size(p,2)返回 p 的列数 ix=find(sin(3*pi*x/10); %ix 是符合 的矩阵 u0(ix)=ones(size(ix); %产生行数与 ix 的行数相同的全 1 方阵 nframes=20; tlist=linspace(0,0.1,nframes); u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d); x=linspace(-1,1,31); y=x; unused,tn,a2,a3=tri2grid(p,t,u0,x,y); newplot; Mv=moviein(nframes); umax=max(max(u1); umin=min(min(u1); for j=1:nframes,. u=tri2grid(p,t,u1(:,j),tn,a2,a3); %用 tri2grid 的第三种形式，以最快速度 插值 i=find(isnan(u); %isnan(is not a number)当不是 数时返回 1，是数时返回 0，find 则是找出非零元素 u(i)=zeros(size(i);. surf(x,y,u); % 画出由（x,y,z）决定的表面 caxis(umin umax); colormap(cool),. 第四篇 计算机仿真 axis(-1 1 -1 1 0 1);. Mv(:,j)=getframe;. end nfps=5; movie (Mv, 10, nfps) 第 23 章计算机仿真编程实践 第 23 章计算机仿真编程实践 23.123.1 计算机仿真绘出勒让德函数P ( ), (0,1,2,3,4,5,6) k xk =的图形. 解：用 matlab 绘出勒让德函数P ( ), (0,1,2,3,4,5,6) k xk =的图形的程序 C23.1.m: y1=legendre(1,x); y2=legendre(2,x); y3=legendre(3,x); y4=legendre(4,x); y5=legendre(5,x); y6=legendre(6,x); plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4(1,:),x,y5(1,:), x,y6(1,:) title(Legendre) -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Legendre 23.223.2 计算机仿真绘出贝塞尔函数J ( ), (0,1,2,3,4,5,6) k xk =的图形. 第四篇 计算机仿真 解：用 matlab 绘出贝塞尔函数J ( ), (0,1,2,3,4,5,6) k xk =的图形的程序 C23.2.m: clear y=besselj(0:6,(0:.2:10); figure(1) plot(0:.2:10),y) 012345678910 -0.5 0 0.5 1 23.323.3 计算机仿真绘出虚宗量贝塞尔函数 01234 I ( ),I ( ),I ( ),I ( ),I ( )xxxxx的图形。 (提示使用语句：besseli) 解：用 matlab 绘出虚宗量贝塞尔函数 01234 I ( ),I ( ),I ( ),I ( ),I ( )xxxxx的图形的程序 C23.3.m: clear I=besseli(0:4,(0.1:0.1:5); plot(0.1:0.1:5),I) 00.511.522.53 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 23.423.4 计算机仿真绘出虚宗量汉克尔函数 01 K ( ),K ( )xx的图形。 (提示使用语句：besselk) 解：用 matlab 绘出虚宗量汉克尔函数 01 K ( ),K ( )xx的图形的程序 C23.4.m: clear k=besselk(0:1,(0.1:0.1:5); plot(0.1:0.1:5),k) 第四篇 计算机仿真 00.511.522.533.544.55 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23.5 23.5 计算机仿真绘出球诺伊曼函数 012345 n ( ), n ( ), n ( ), n ( ), n ( ), n ( )xxxxxx的图形。 (提示使用语句：bessely) 【解】根据公式 （20.5.3）得出)(xnk与)(xNk的关系即可绘出其图形 11 22 1 () n ( )N( )( 1)J( ) 22 l l ll xxx xx + + = 仿真程序如下： x=0.8:0.2:15; y0=sqrt(pi/2./x).*bessely(1/2,x); y1=sqrt(pi/2./x).*bessely(3/2,x); y2=sqrt(pi/2./x).*bessely(5/2,x); y3=sqrt(pi/2./x).*bessely(7/2,x); y4=sqrt(pi/2./x).*bessely(9/2,x); y5=sqrt(pi/2./x).*bessely(11/2,x); plot(x,y0,x,y1,x,y2,x,y3,x,y4,x,y5) axis(1 10 -0.5 0.4) grid on 第四篇 计算机仿真 第四篇 计算机仿真编程综合测试题 第四篇 计算机仿真编程综合测试题 一. 试用计算机仿真求解复数方程 3 270 x +=的根。 二. 试用计算机仿真计算