场论典型例题.doc

场论典型例题第一章 矢量分析例题1、（基本矢量计算）已知两个矢量，求（1） （2） （3）（4）（5）若和两矢量夹角为，求。解：（1）=（2）=（3）=10（4）=（5）根据内积的定义有：=，其中，为矢量的模。所以：其中在（2）中已经得到=10，而=，=因此=说明：此题可以用于掌握矢量运算法则。例题2、（矢性函数的极限）设 ，式中，为矢量，分别为，。求下列极限。（1） （2）解：（1）整理。=而 =所以=+（2）=|=说明：对矢性函数的极限，归结为对各坐标分量求极限，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数极限”的内容，特别是一些常用极限的求法。例题3、（求矢性函数的导数）设矢性函数为， ，其中和都是常数，求 、 。解：由复合函数的求导公式有=为数性函数求导，根据微积分中的知识，求得：=另外，因为矢性函数的导数归结为三个数性函数的求导，所以=因此，=1说明：对矢性函数的求导的问题，转换成对各坐标分量求导，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数导数”的内容，一些常用简单函数的导数应熟记。求导法则和复合函数求导法是常用的求解工具，要熟练运用。例题4（求矢性函数的微分）设，求，。解： =说明：矢性函数的微分和求导的方法类似，转换成对各坐标分量求微分，但是微分和求导的几何意义不同，详细区别参见教材矢量分析与场论7、8页。 例题5（求矢性函数的积分）设，求解：=说明：本题是求得矢性函数的定积分，对矢性函数的定积分的问题，转换成对各坐标分量求定积分，需要复习高等数学中微积分中关于“函数积分”的内容，一些简单函数的积分应熟记。常用的积分方法有：“凑”微分法、换元积分、分部积分法等。在求矢性函数的不定积分时，一定不要忘记结果中要加上一个任意常矢量。第二章 场论典型例题分析例题1、（求数量场方向导数）求数量场在点处沿方向的方向导数。解：= ， = ， =在处有 = ， = ， =另外，在处=则的方向余弦分别为：=，=，=所以，方向导数=+=例题2、（求数量场方向导数）求数量场在点处沿曲线朝增大方向的方向导数。解：将所给的曲线方程改写成矢量形式。=其导矢=就是曲线沿大一方的方向的切向矢量。当时，正好过点，将代入得，=其方向余弦为=，=又函数在的偏导数= ， = ， =于是，根据方向导数的定义，所求的方向导数为=+=+=说明：注意和例题1的区别，两题所给的关于方向的条件不同，例题1直接给出了方向，例题2通过给定一曲线间接确定了方向，曲线上点处的切线才是所需要的方向。例题3、（求数量场梯度）数量场在处沿哪个方向的方向导数最大？解：求函数在的偏导数= ， = ， =梯度=根据梯度的定义和几何意义，沿梯度方向变化最快，所以，所求方向为。说明：本题是考查点是“方向导数和梯度的关系”。例题4、求散度。设，求。解：=+=0例题5、（求通量）设矢量场=。为球面，求矢量场从内穿出的通量。解：先求出的散度。=根据通量和散度的关系有：=。为求上面的三重积分，特别设。考察。过点作平面XY平行的平面，与球体截的区域记为，则就是平面上的圆。于是=因为=为圆的面积，所以=类似地，可得=所以=说明：利用散度来求通量，问题变成一个三重积分的问题，请复习微积分中“多变量积分学”。例题6、（求旋度）已知=，求。解：=+=说明：本题的中行列式，并不是线形代数中行列式，而只是一种表示形式而已，但它的运算关系类似线形代数中行列式，请复习关于线形代数中行列式的相关内容。例题7、（求环量）已知矢量场，计算环量，其中是由，所构成的矩形回路。解：=+=说明：这里用到微积分中的曲线积分。例题8、（有势场）设矢量场，问是有势场吗？若是，求出任意势函数。解：因为，所以是有势场。有势场一定存在势函数，不