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文档简介

特征值、特征向量、二次型,特征值,定义,相似,求法,实对称阵隐含的信息,性质,特征值,定义,特征多项式,特征向量,不同特征值的特征向量线性无关,k重特征值至多有k个线性无关的特征向量,概念,矩阵对角化,应用,显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.,一、特征值与特征向量,4.对角阵,5.属于不同特征值的特征向量是线性无关的,一、矩阵的相似,3、若阶方阵A与对角阵相似，,三、方阵对角化,3、如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似,4、如果A的特征方程有r重根，而没有r个线性无关的特征向量，则矩阵A不能对角化.,5、实对称阵一定能对角化.,一、正交矩阵,定义1,4、A为正交矩阵的充要条件是A的行、列向量组都是两两正交的单位向量,二、向量的内积,定义1,内积,定义2,正交,正交向量组：非零向量组中的向量两两正交。,（1）正交化，取，,三、Schmidt正交化规范化过程,（2）单位化，取,施密特正交化过程,（2）n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量.,四、实对称矩阵隐含的信息,（3）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交.,（4）n阶实对称矩阵有n个两两正交的单位特征向量.,（5）对于n阶实对称矩阵A，一定有正交阵T，对角阵D，使得,其中对角阵D对角线上的元素是T的各列所对应的特征值。,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,二次型与它的矩阵是一一对应的,n元二次型,A与B合同.,二次型XAX可经非退化线性替换化为二次型YBY,定理,正交变换法化二次型为标准形,第一步写出f的矩阵A,第二步求A的特征值,第三步,并将属于i的特征向量正交化,第四步将特征向量单位化,第五步得到正交变换X=TY,定义,正定二次型,正定性的相关结论,1)实二次型正定,3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.,秩n（的正惯性指数）.,规范形为,4）正定二次型的标准形为,等价描述：,实对称矩阵A正定A与单位矩阵E合同.,5）实二次型XAX正定的充分必要条件是实对称阵A的特征值都是正数。,6）正定矩阵A的行列式大于0.,7）,二次型是正定的充分必要条件是实对称矩阵的各阶顺序主子式都大于0。,8）二次型
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