多视角破解高考数学压轴题(数列与不等式).pdf

书书书 ? ? 目 ?录? 目?录 第 ?讲?求 数 列 的 通 项 公 式 例 ? ? ? ?年 广 东 文 科 数 学 第? ?题 ? 例 ? ? ? ?年 广 东 理 科 数 学 第? ?题 ? 例 ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? 提 升 题 精 选 ? ? 第 ?讲?等 差 数 列 与 等 比 数 列 例 ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? 第 ?讲?线 性 递 推 式 与 分 式 递 推 式 例 ? ? ? ?年 陕 西 文 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ?年 广 东 文 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ?年 全 国 大 纲 卷 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 广 东 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? 第 ?讲?数 列 的 单 调 性 例 ? ? ? ? ?年 陕 西 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 全 国?卷 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 安 徽 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? 第 ?讲?数 列 的 周 期 性 例 ? ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 北 京 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 北 京 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 多 视 角 破 解 高 考 数 学 压 轴 题?数 列 与 不 等 式? 提 升 题 精 选 ? ? ? 第 ?讲?数 列 的 有 界 性 例 ? ? ? ? ?年 重 庆 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 浙 江 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 重 庆 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 ?华 约?自 主 招 生 数 学 第 ?题 ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? 第 ?讲?数 列 求 和 例 ? ? ? ? ?年 山 东 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 温 州 十 校 联 考 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 全 国 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 陕 西 文 科 数 学 第? ?题 ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? 第 ?讲?数 列 不 等 式 证 明 例 ? ? ? ? ?年 广 东 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 浙 江 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 安 徽 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 江 西 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 陕 西 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? 第 ?讲?点 列 例 ? ? ? ? ?年 上 海 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 上 海 春 季 招 生 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 浙 江 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 广 东 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? 第 ? ?讲?有 序 数 组 例 ? ? ? ? ?年 北 京 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 北 京 东 城 区 高 考 模 拟 卷 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 例 ? ? ? ? ?年 北 京 理 科 数 学 第? ?题 ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? ? 第 ? ?讲?数 集 例 ? ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? ? ? ? 目 ?录? 例 ? ? ? ? ?年 上 海 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? ? ? 第 ? ?讲?数 阵 或 数 表 例 ? ? ? ? ?年 北 京 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 上 海 春 季 招 生 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 全 国?卷 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 北 京 西 城 区 高 考 模 拟 卷 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? ? ? 第 ? ?讲?简 单 数 论 与 数 列 知 识 的 融 汇 例 ? ? ? ? ?年 上 海 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 江 西 文 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 江 西 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? ? ? 第 ? ?讲?与 函 数 知 识 的 交 汇 例 ? ? ? ? ?年 陕 西 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 福 建 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 广 东 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 浙 江 宁 波 北 仑 区 第?次 月 考 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? ? ? 第 ? ?讲?与? ? ?和? ? ?相 关 的 问 题 例 ? ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 全 国 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 辽 宁 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? ? ? 第 ? ?讲?最 值 问 题 例 ? ? ? ? ?年 四 川 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 四 川 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? ? ? 第 ? ?讲?求 变 量 的 范 围 例 ? ? ? ? ?年 安 徽 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? ? 多 视 角 破 解 高 考 数 学 压 轴 题?数 列 与 不 等 式? 例 ? ? ? ? ?年 重 庆 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 浙 江 富 阳 中 学 高 考 模 拟 卷 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 浙 江 海 门 中 学 高 考 模 拟 卷 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 提 升 题 精 选 ? ? ? ? ? 第 ? ?讲?存 在 性 问 题 例 ? ? ? ? ?年 江 苏 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? ? ?年 重 庆 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? 例 ? ? ? 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所 以 ? ? ? ? ? ? ?从 而 当 ?时 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 下 同 证 法 ? 证 法 ?数 学 归 纳 法 ? ?当?时 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?假 设 当?时 结 论 成 立 ? 即 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ?时 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 当 ?时 ?不 等 式 成 立 ? 综 上?对 一 切 正 整 数 ?都 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 评 注 ?像 第 ? ?小 题 这 样 的 不 等 式 ?右 边 是 一 个 常 数?如 果 用 数 学 归 纳 法 证 明?在 假 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 成 立 的 条 件 下?再 在 左 边 加 一 项 ? ? ? ? ? ? ?要 直 接 证 明 当 ?时 不 等 式 成 立 ?是 很 困 难 的 事 情 ?像 证 法?一 样 ?想 办 法 将 不 等 式 左 边 后 面 ?项 的 和 进 行 变 形 ?使 之 能 用 上 归 纳 假 设?才 能 完 成 数 学 归 纳 法 第 二 步 的 证 明 ? 例 ? ? ? ? ?年 浙 江 理 科 数 学 第? ?题 ? ? ? ? ? ? ? ? ?已 知 数 列? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?记 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求 证 ?当 ? ? ? ?时 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 析?先 求 出 数 列? ? ?的 通 项 ?再 证 明 数 列 的 单 调 性?是 一 个 很 自 然 的 思 路 ?但 题 设 给 出 的 递 推 式 很 难 求 出 通 项?因 此 可 考 虑 用 数 学 归 纳 法 结 合 放 缩 法 来 解 决 第? ?小 题? 证 法 ?数 学 归 纳 法 ? ?当?时 ?因 为 ?是 方 程? ? ?的 正 根 ?所 以 ? ? ? ?假 设 当? ? ? ?时 ? ? ? ? 第 ?讲?数 列 不 等 式 证 明? 因 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ?即 当?时 不 等 式 成 立? 综 上 可 知 ? ?对 任 何? ?都 成 立 ? 分 析 ?考 虑 到 ?要 证 明? ?不 妨 证 明? ? ? ? ? ?而? ? ? ? ? ? ?所 以 只 需 证 明 ? ? ? 证 法 ?当 ?时 ? ?成 立? ? ? ?假 设 当? ? ? ?时 ? ? ? 成 立 ? 因 为 ? ? ?所 以 ? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? 由 条 件 知 ? ?所 以? ?等 价 于? ? 即 当 ?时 不 等 式 成 立? 综 上 可 知 ? ?对 任 何? ? ? ?都 成 立 ? ? ?证 明?由? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得 ? ? ? ? ? ? ? 叠 加 得? ? ? ? ? ? 因 为 ?所 以? ? ? 由 ? ?和? ? ? ? ? ? ?得?所 以? ? ?分 析?这 是 一 个 数 列 求 和 型 不 等 式 的 证 明 ?根 据 条 件?宜 采 用 放 缩 后 再 求 和 的 方 法 ? 证 法 ?由? ? ? ? ? ? ? ? ?得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 于 是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 当 ? ? 时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 因 为 ?所 以? ? 评 注 ?将?放 大 为 一 个 等 比 数 列 求 和 ?这 是 证 明 数 列 不 等 式 的 常 用 策 略 ? 分 析 ?考 虑 到 ? ?必 有? ? ? ? ? ? ? 从 而 想 到 把? ? ? ? ?都 放 大 到 一 个 常 数?再 构 造 一 个 等 比 数 列 来 完 成 不 等 式 的 证 明 ?故 可 尝 试 从 已 知 的 递 推 式 中 求 出?的 范 围 ?来 构 造 一 个 公 比 为 常 数 的 等 比 数 列 ? 证 法 ?由? ? ? ? ? ? ? ? ?得 ? ? ?槡? ? ? 或 ? ? ?槡? ? ? ?舍 去? 则 ? ?槡? ? ? ? ? ? ?故 有 ?槡 ? ? ?因 此? ? ? ?槡? ?槡 ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? 所 以 ?槡 ? ? ? 槡? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? ?槡 ? ? ? ? 多 视 角 破 解 高 考 数 学 压 轴 题?数 列 与 不 等 式? 证 法 ?由 证 法 ?有? ?槡? ? ? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 评 注 ?也 可 由? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故? ? ? ? 通 过 例 ? ?与 例? ?的 分 析 与 证 明 可 以 看 到 ?灵 活 放 缩?适 度 放 缩 有 以 下 几 个 原 则 ?构 造 辅 助 不 等 式 原 则 ?放 缩 过 程 实 质 上 是 巧 妙 构 造 辅 助 不 等 式 的 过 程 ?如 例 ? ?第 ? ?小 题 的 各 种 证 法?具 体 构 造 过 程 应 注 意 以 下 几 点? ? ?优 先 从 复 杂 性 较 高 的 一 边 着 手 放 缩 ? ? ? ?对 一 边 放 缩 时 要 兼 顾 另 一 边 ?向 着 目 标 前 进?两 边 不 同 型 时?要 想 办 法 化 为 同 型? ? ? ? ?充 分 重 视 条 件 和 结 论 给 予 的 启 示?方 向 一 致 性 原 则?在 对 不 等 式 一 边 进 行 放 缩 时?要 保 证 放 缩 方 向 的 一 致 性?从?弱?到?强?采 取 放?从?强?到?弱?采 取 缩?尽 量 避 免 又 放 又 缩?非 要 使 用 时?也 要 把 握 整 体 上 是 放 还 是 缩?如?糖 水?不 等 式? ?才 能 达 到 有 效 放 缩 的 目 的 ?执 果 索 因 原 则?放 或 缩 的 手 段 和 分 寸?既 要 服 从 又 要 服 务 于 所 证 目 标 的 要 求?从 所 证 结 果 的 大 小 和 形 式 上 去 寻 找 放 缩 的 方 向 和 尺 度?放 不 能 超 过?大 量? 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? 依 条 件 易 知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当?时 ?已 知 ? ? ?即 不 等 式 成 立 ? ? ? ?假 设 当? ? ? ? ? ? ?时 ? ? ? ?成 立? 则 当 ?时 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因 为 ? ? ? ?所 以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? ?的 结 论 知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ?得? ? ? ? 所 以 当 ?时 ?不 等 式 成 立 ? ? 多 视 角 破 解 高 考 数 学 压 轴 题?数 列 与 不 等 式? 因 此?对 一 切 正 整 数 ?不 等 式? ? ?成 立 ? 再 证 明 ? ? 因 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以? ? ? 综 上? ? ? ? ? 证 法 ?依 条 件 易 知 ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ?时 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?个 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 且 仅 当 ? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ?时 等 号 成 立 ? 当 ?时 ? ? ? ?这 与 条 件 矛 盾?故 ? ? ? ?所 以 ? ? ? 又 ? ? ?故 对 一 切 正 整 数 ?有? ? ? 综 上 所 述?对 于 一 切 ? ? ? ? ? 下 面 证 明 ? ? 由 ? ? ?得 ? ? ?即 有 ? ? ? ? ? ?所 以 ? ? ? ? ? 因 此 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以? ? 综 上 所 述? ? ? ? ? 证 法 ?构 造 函 数 ? ? ? ? ? ? ?其 中 ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ? ?时? ? ? ? ?当? ? ?时? ? ? ? ?故?在? ? ? ?上 单 调 递 减?在? 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