平面与平面垂直的性质课时提升训练（有答案）

1 / 12 平面与平面垂直的性质课时提升训练（有答案） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址课时提升作业 (十一 ) 平面与平面垂直的性质 一、选择题 (每小题 3 分，共 18 分 ) 1.(XX沈阳高二检测 )若 l 为一条直线， ， ， 为三个互不重合的平面，给出下面三个语句： ， ； ， ； l ， l. 其中正确的有 ( ) 个个个个 【解析】选 c.如图 (1)，在正方体中，对角面 和侧面 都与平面 垂直，但 与 不垂直，故 不正确 . 如图 (2)所示， ， ，且 =m ，在 内作直线 lm ，则由 知 l ，过直线 l 作平面 ，=n. 则由 知 ln ，所以 n ，又 n ，所以 ，故 正确 . 如图 (3)所示， l ， l ，与证明 成立类似 .可证 lm ，2 / 12 则 m ， . 故 正确 . 2.(XX广东高考 )设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A.若 ， m ， n ，则 mn B.若 ， m ， n ，则 mn c.若 mn ， m ， n ，则 D.若 m ， mn ， n ，则 【解题指南】本题考查空间推理论证能力，应熟练运用平行与垂直的判定定理与性质 . 【解析】选 D.对于选项 A，分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能，但未必垂直；对于选项 B，分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能；对于选项 c，两个平面分别经过两垂直直线中的一条，不能保证两个平面垂直；对于选项 D， m ， mn ，则 n ；又因为n ，则 内存在与 n平行的直线 l，因为 n ，则 l ，由于 l ， l ，所以 . 3.(XX龙岩 高一检测 )如图 ABcD 中， ABBD ，沿 BD将 ABD 折起，使面 ABD 面 BcD，连接 Ac，则在四面体 ABcD的四个面中，互相垂直的平面有 ( ) 对对对对 3 / 12 【解析】选 c.由面面垂直的判定和性质可知平面 ABD 平面BcD，平面 ABD 平面 AcD，平面 ADc 平面 BcD. 4.以等腰直角三角形 ABc 的斜边 AB 的中线 cD 为棱将 ABc折叠，使平面 AcD 平面 BcD.则 Ac和 Bc的夹角为 ( ) 【解析】选 c.如图，令 cD=AD=BD=1， 则 Ac=Bc=，又 ADBD ， 所以 AB=， 所以 ABc 为正三角形， 所以 AcB=60 5.(XX蚌埠高一检测 )若三棱锥三个侧面两两垂直，过顶点作底面的垂线，则垂足是底面三角形的 ( ) A.内心 B.外心 c.重心 D.垂心 【解析】选 D.如图，由三棱锥三个侧面两两垂直得 SB 平面 SAc，所以 SBAc. 又 SoAc ，所以 Ac 平面 SBo，所以BoAc. 同理证 AoBc ， coAB. 所以 o 为垂心 . 6.(XX芜湖高二检测 )在空间四边形 ABcD 中平面ABD 平面 BcD，且 DA 平面 ABc，则 A Bc的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 4 / 12 c.钝角三角形 D.无法确定 【解析】选 B.作 AEBD ，交 BD 于 E.因为平面 ABD 平面BcD， 所以 AE 平面 BcD. Bc平面 BcD，所以 AEBc ，而 DA 平面 ABc， Bc平面 ABc，所以 DABc ，又 AEAD=A ， 所以 Bc 面 ABD， AB平面 ABD. 所以 BcAB ，即 ABc 为直角三角形 . 二、填空题 (每小题 4 分，共 12 分 ) 7.如图，已知平面 平面 ， =l ， Al ， Bl ，Ac ， BD ， Acl ， BDl ，且 AB=4， Ac=3， BD=12，则cD=_. 【解析】连接 Bc，因为 Acl ， Ac=3， AB=4， 所以 Bc=5. 因为 BDl ， l= ， ， BD ，所以 BD. 又 Bc ，所以 BDBc. 在 RtBDc 中， cD=13. 答案： 13 8.四面体 P-ABc 中， PA=PB=，平面 PAB 平面 ABc，ABc=90 ， Ac=8， Bc=6，则 Pc=_. 【解析】取 AB 的中点 E，连接 PE.因为 PA=PB， 所以 PEAB. 又平面 PAB 平面 ABc，所以 PE 平面 ABc，5 / 12 连接 cE.ABc=90 ， Ac=8， Bc=6， 所以 AB=2， PE=， cE=， Pc=7. 答案： 7 9.(XX潍坊高一检测 )在正方体 ABcD-A1B1c1D1 中，截面 A1BD 与底面 ABcD 所成的二面角 A1-BD-A 的正切值为_. 【解题指南】先找二面角 A1-BD-A 的平面角 .结合已知条件在直角三角形中求解 . 【解析】连接 Ac，交 BD于点 o，连接 A1o1， 如图所示，因为 oA1BD ， AcBD ，所以 A1oA 为二面角A1-BD-A 的平面角 . 在 RtA1oA 中，设 AA1=a， Ao=a，所以二面角 A1-BD-A 的正切值为 . 答案： 三、解答题 (每小题 10分，共 20分 ) 10.(XX成都高一检测 )如图，三棱锥 P-ABc 中，已知ABc 是等腰直角三角形， ABc=90 ， PAc 是直角三角形， PAc=90 ， AcP=30 ，平面 PAc 平面 ABc.求证：平面 PAB 平面 PBc. 【证明】因为平面 PAc 平面 ABc，平面 PAc 平面 ABc=Ac，PAAc ， 6 / 12 所以 PA 平面 ABc. 又 Bc平面 ABc， 所以 PABc. 又因为 ABBc ， ABPA=A ， AB平面 PAB， PA平面 PAB， 所以 Bc 平面 PAB.又 Bc平面 PBc， 所以平面 PAB 平面 PBc. 11.如图，四棱锥 S-ABcD的底面是直角梯形， ABc= BcD=90 ， AB=Bc=SB=Sc=2cD=2，侧面 SBc 底面 ABcD. (1)由 SA的中点 E 作底面的垂线 EH，试确定垂足 H 的位置 . (2)求二面角 E-Bc-A 正切值的大小 . 【解析】 (1)作 SoBc 于 o，连接 Ao，则 So平面 SBc， 又平面 SBc 底面 ABcD， 平面 SBc 底面 ABcD=Bc， 所以 So 底面 ABcD， 又 So平面 SAo，所以平面 SAo 底面 ABcD， 作 EHAo ，所以 EH 底面 ABcD， 即 H 为垂足，由 知， EHSo ， 又 E 为 SA的中点，所以 H 是 Ao 的中点 . (2)过 H 作 HFBc 于 F，连接 EF， 由 (1)知 EH 底面 ABcD，所以 EHBc ， 又 EHHF=H ，所以 Bc 平面 EFH，所以 BcEF ， 7 / 12 所以 HFE 为平面 EBc和底面 ABcD 所成二面角的平面角 . 在等边三角形 SBc 中，因为 SoBc ， 所以 o 为 Bc中点，又 Bc=2. 所以 So=， EH=So=， 又 HF=AB=1， 所以在 RtEHF 中， tanHFE=. 一、选择题 (每小题 4 分，共 16 分 ) 1.(XX杭州模拟 )设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( ) A.若 l ， l ，则 B. 若 l ， l ，则 c.若 ， l ，则 lD. 若 ， l ，则 l 【解题指南】根据线面平行、垂直及面面平行、垂直的判定与性质进行判断 . 【解析】选 B.对于选项 A，两平面可能平行也可能相交 .对于 选项 c，直线 l 可能在 内也可能平行于 ，对于选项D.直线 l 可能在 内可能平行于 也可能与 相交 . 2.线段 AB 的两端在直二面角 -l- 的两个面内，并与这两个面都成 30 角，则异面直线 AB与 l 所成的角是 ( ) 【解析】选 B.过 B 作 l 的平行线，过 A 作 l 的垂线，两线交于点 c，连接 Ac，则 ABc 即为异面直线 AB 与 l 所成的角 .8 / 12 由题意知， ABA=BAB=30 ， 所以 AA=AB ， BB=Ac=AB ， AB=AB. 所以 AB=Bc=AB ， Ac=AB，由勾股定理知 AcB=9 0 ，则ABc=45. 3.(XX南昌高一检测 )如图，在斜三棱柱 ABc-A1B1c1中， BAc=90 ， Bc1Ac ，则点 c1 在平面 ABc 上的射影 H必在 ( ) A.直线 AB上 B.直线 Bc上 c.直线 Ac上 D.ABc 的内部 【解题指南】结合面面垂直的性质及射影的概念求解 . 【解析】选 A.连接 Ac1.因为 Bc1Ac ， ABAc. Bc1AB=B ，所以 Ac 平面 ABc1. 又 Ac平面 ABc，所以平面 ABc 平面 ABc1. 又平面 ABc 平面 ABc1=直线 AB，所以过点 c1 再作 c1H 平面 ABc，则 HAB ，即点 c1在平面 ABc上的射影 H 在直线 AB上 . 4.直二面角 -AB- ，点 c ，点 D ，当满足cAB=DAB=45 时， 则 cAD 的大小为 ( ) 【解析】选 c.过点 c 在 内作 cEAB ，垂足为 E，过 E 在9 / 12 内作 EFAB ，垂足为 E， EF与 AD或其延长线相交于点 F，连接 cF.因为二面角 -AB- 是直二面角，所以 cE ， 所以 cEEF. 在 RtAcE 中， cAE=45 ，所以 Ac=cE，同理在 RtAEF和 RtcEF 中可求得 AF=cE， cF=cE，所以 AcF 是等边三角形，所以 cAD=60. 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5.(XX 吉 安 高 一 检 测 ) 三棱锥 A-BcD 中，AB=Ac=Bc=cD=AD=a，要使三棱锥 A-BcD的体积最大，则二面角 B-Ac-D 的大小为 _. 【解析】因为 AcD 为边长为 a的正三角形，要使三棱锥 B-AcD的体积最大，则三棱锥 B-AcD 的高最大，因为 ABc 为边长为 a 的正三角形，高为 a，而三棱锥 B-AcD的高小于等于 a，故三棱锥 B-AcD的高的最大值为 a，此时平面 ABc 平 面 AcD， 所以二面角 B-Ac-D 的大小为 . 答案： 6.如图，已知六棱锥 P-ABcDEF 的底面是正六边形， PA 平面 ABc， PA=2AB，则下列结论： PBAE ； 平面 ABc 平面 PBc； 直线 Bc 平面 PAE； PDA=45. 其中正确的有 _(把所有正确的序号都填上 ). 【解析】对于 ，由 PA 平面 ABc， AE平面 ABc，得 PAAE ，10 / 12 又由正六边形的性质得 AEAB ， PAAB=A ，得 AE 平面 PAB，又 PB平面 PAB，所以 AEPB ， 正确； 对于 ，因为平面 PAB 平面 ABc， 所以平面 ABc 平面 PBc不成立， 错； 对于 ，由正六边形的性质得 BcAD ，又 AD 平面 PAD，所以 Bc 平面 PAD， 所以直线 Bc 平面 PAE也不成立， 错； 对于 ，在 RtPAD 中， PA=AD=2AB， 所以 PDA=45 ，所以 正确 . 答案： 三、解答题 (每小题 12分，共 24分 ) 7.(XX泰州高一检测 )如图，四边形 ABcD为矩形，平面 ABcD 平面 ABE， BE=Bc， F 为 cE上的一点，且 BF 平面AcE. (1)求证： AEBE. (2)求证： AE 平面 BFD. 【证明】 (1)因为平面 ABcD 平面 ABE，平面 ABcD 平面ABE=AB， ADAB ， 所以 AD 平面 ABE，所以 ADAE. 因为 ADBc ，则 BcAE ， 又 BF 平面 AcE，则 BFAE. 因为 BcBF=B ， 11 / 12 所以 AE 平面 BcE，所以 AEBE. (2)设 AcBD=G ，连接 FG，易知 G 是 Ac的中点， 因为 BF 平面 AcE， 则 BFcE. 而 Bc=BE， 所以 F 是 Ec中点， 在 AcE 中， FGAE ， 因为 AE平面 BFD， FG平面 BFD， 所以 AE 平面 BFD. 8.(XX安徽高考 )如图，四棱锥 P-ABcD的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2.点 G， E， F， H 分别是棱PB， AB， cD， Pc上共面的四点，平面 GEFH 平面 ABcD， Bc平面 GEFH. (1)证明： GHEF. (2)若 EB=2，求四边形 GEFH的面积 . 【解题指南】 (1)由线面平行得出 Bc平行于 EF， GH. (2)设 Ac交 BD于点 o， BD 交 EF于点 k，则 k 为 oB的中点，由面面垂直得出 GkEF ，再由梯形面积公式 S=Gk计算求解 . 【解析】 (1)因为 Bc 平面 GEFH， Bc 平面 PBc，且平面 PBc平面 GEFH=GH， 12 / 12 所以 GHBc ，同理可证 EFBc ，因此 GHEF. (2)连接 Ac， BD交于点 o， BD 交 EF于点 k，连接 oP， Gk， 因为 PA=Pc， o 是 Ac的中点， 所以 PoAc ，同理可得 PoBD ， 又 BDAc=o ，且 Ac， B