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2019/11/27,1,第五章刚体力学基础动量矩,研究对象：,刚体,有大小、形状而无形变的物体,实际研究对象的简化理想模型,研究内容：,刚体运动学和动力学规律,刚体运动类型：,第五章刚体力学基础动量矩,平动,转动（定轴、定点）,一般运动,2019/11/27,2,5-1刚体和刚体的基本运动,5-2力矩刚体绕定轴转动微分方程,5-3绕定轴转动刚体的动能动能定理,5-4动量矩和动量矩守恒定律,*5-5进动,第五章刚体力学基础动量矩,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,3,5-1刚体和刚体的基本运动,在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行,(1)刚体中各质点的运动情况相同,一、刚体平动,平动的特点：,(2)刚体的平动可归结为质点运动,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,4,二、刚体定轴转动,刚体上各质点都绕同一固定转轴作圆周运动,不同点转动半径不同,转动平面垂直于转动轴,所有质点在转动平面内的角速度相同,三、描述刚体定轴转动的角量,z,M,I,II,P,S,a,定轴转动的特点：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,5,例：一质点M绕z轴逆时针转动，每分60转，某时刻M点的位矢,解：,则M点速度？,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,6,例,杆AB绕O点在铅直平面内自由转动。当杆与水平方向夹角为时，杆的转动角加速度,已知t=0时，,积分法（为变量）,解:,由定义：,则,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,7,5-2力矩刚体绕定轴转动微分方程,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,力F对o点的力矩：,质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,一、力矩,力F对z轴的力矩：,O点到力的作用点的矢径,方向：右手螺旋法则,单位:,牛米(Nm),Z轴与转动平面交点到力的作用点的矢径,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,8,h,A,(2)在刚体的定轴转动中，,讨论,(1)若不在转动平面内，可将分解：,平行于z轴,不产生对z轴的力矩,在转动平面内,产生对z轴的力矩,(3)力对任意点的力矩，在通,力矩只有两个指向,过该点的任一轴上的投影，,等于该力对该轴的力矩,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,9,讨论,(4)如果有多个力作用于刚体，则刚体所受合力,矩等于各分力对同一转轴产生的力矩之矢量和。,重力矩等于全部质量集中在重心时的重力矩,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,10,讨论,(5)滑轮加速转动时，二张力不同。,取逆时针为正，则合力矩,当滑轮加速时，,(6)一对内力对同一转轴的力矩之和为零。,h,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,11,求摩擦力的力矩,例1,一小物体m在水平面上滑动，摩擦系数为，,解,受力,例2,一圆环(R,m)在水平面上绕圆心o点作圆周运动,解,在圆环上取一小段圆弧ds,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,12,例3,一细杆(l,m）在水平面上绕一端o作圆运动,解,求摩擦力的力矩,沿杆建立如图坐标，,在杆上x处取一小段元dx,与方向垂直,杆上任一小段元所受力矩方向一致,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,13,例4,一圆盘(R,m）在水平面上绕定轴转动,解,求摩擦力的力矩,在圆盘上半径r处取dr宽的圆环,则圆环质量：,由例2，,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,14,二、刚体定轴转动的微分方程,O,取一质量元,切线方向,对整个刚体,合内力矩=0,合外力矩M,两边同乘,（刚体对z轴的转动惯量）,刚体定轴转动定律,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,15,刚体在总外力矩Mz的作用下，获得的角加速度与总外力矩的大小成正比，与J成反比。,讨论,刚体定轴转动动力学中的基本方程，是力矩的瞬时作用规律,(2)M、J、必须对同一转轴定义,(5)与牛顿定律比较：,(3)M正比于，力矩越大，刚体的越大,(4)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同,转动惯量J反映了刚体转动时惯性的大小。,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,16,三、转动惯量,定义式,质量不连续分布,质量连续分布,三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置,(1)J与刚体的总质量有关,例两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,17,(2)J与质量分布有关,例圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,18,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,四.平行轴定理及垂直轴定理,z,L,C,M,z,z,(3)J与转轴的位置有关,1.平行轴定理,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心的轴,:两轴间垂直距离,2019/11/27,19,例均匀细棒的转动惯量,2.(薄板)垂直轴定理,M,L,例求对圆盘的一条直径的转动惯量,已知,x,y轴在薄板内；z轴垂直薄板。,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,20,五、转动定律的应用,解题思路：,确定研究对象,分析运动状态,隔离分析受力,由牛顿定律列方程,求解方程,隔离分析力矩,由转动定律列方程,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,21,例,求它由此下摆角时的,O,l,m,C,x,解,取一质元,重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩,dm,一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,22,例,解,若F2N，mg2N，相同的轮子，二轮的相同吗？,(1)分析受力,mg,T,T,(2)分析受力,F,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,23,例,已知:定滑轮,解:受力图,轻绳不伸长无相对滑动,求：1）物体加速度a,2）绳子的张力T,3)滑轮转动的角加速度,得解,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,24,例,如图，轮轴绕o轴转动。轮（R，J2），轴（r，J1），通过绳分别挂着m1，m2，求转动时轮轴的角加速度,解,规定正方向（顺时针为正）,转动部分（轮轴）,平动部分（m1、m2）,角量与线量的关系,五式联立，可解T1，T2，a1，a2，,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,25,力的瞬时作用规律,力矩的瞬时作用规律,静止匀速直线,静止匀角速转动,m平动时惯性大小的量度,J转动时惯性大小的量度,总结,力的持续作用规律：,空间：,时间：,力矩的持续作用规律：,空间：,时间：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,26,5-3绕定轴转动刚体的动能动能定理,一.转动动能,z,O,设系统包括有N个质量元,其动能为,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论,取,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,27,二.力矩的功,O,由功的定义,力矩作功的微分形式,若刚体在外力F作用下，角坐标从12,若M=C,P,力矩作功的积分形式,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,28,讨论,(3)合力矩的功,(1)力矩对刚体的功就是力对刚体的功,(2)一对内力矩对刚体作功之和为零,（平动中，一对内力作功之和一般不为零）,(4)力矩的瞬时功率,力的瞬时功率,(5)功的正负,M与同向，A0,M与反向，A0,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,29,三.定轴转动的动能定理,对于整个运动过程,在任一过程中作用在绕定轴转动刚体上所有外力矩所作功的总和，等于在该过程中刚体动能的增量。绕定轴转动刚体的动能定理,力矩的持续作用规律,设刚体在外力矩M作用下，角坐标由12，角速度12，,由刚体转动定理：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,30,四.刚体的重力势能,刚体的机械能,质心的势能,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,结论：刚体的重力势能即刚体的全部质量集中在质心上相对于势能零点具有的势能。,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,31,一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，棒在水平位置由静止释放，,解二：,动能定理,例,求细棒下摆至时的,合外力矩,+,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,32,+,解三：,功能原理,研究对象：,细棒轴地球,系统机械能E守恒,取O点所在位置为重力势能零点,状态1：状态2：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,33,解二：,动能定理,研究对象：Mm（转动平动）,（并非匀速）,均质圆盘（M，R）系一质量为m的物体，在重力矩作用下加速运动。开始时系统处于静止。求物体下降距离为s时，滑轮的和。,例,+,Mg,T,mg,T,T1,第五章刚体力学基础动量矩,m,2019/11/27,34,解三：,功能原理,+,Mg,T,mg,T,T1,研究对象：Mm地球,系统机械能守恒,取m下落s处为重力势能零点,s,EP0,状态1：状态2：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,35,图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m的重物。重物下落时，由绳带动被测物体A绕Z轴转动。今测得重物由静止下落一段距离h，所用时间为t，,例,解,分析（机械能）：,求物体A对Z轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,36,机械能守恒,解,分析（机械能）：,两边对t求导：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,37,5-4动量矩和动量矩守恒定律,质点力学：,刚体力学：能否也用动量来描述刚体转动时的运动状态？,例,静止时，,转动时，,结论：无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态，必须引入新的物理量角动量（动量矩）,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,38,一.质点的角动量（动量矩）,其大小,特例：质点绕O点作圆周运动,O,S,1.定点：,2.定轴：,质点对z轴的角动量，就是质点对z轴与转动平面的交点O点的角动量,z,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,39,质点对圆心的角动量。,例,质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态,行星在椭圆轨道上的角动量。,直线运动的物体对O点的角动量。,抛出物体对O点的角动量。,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,40,当时，,(质点角动量定理的积分形式),二.质点的角动量定理和角动量守恒定律,(质点角动量定理的微分形式),质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量,角动量守恒定律,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,41,(3)对有心力：,例如由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律,角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观低速领域，也适用于微观高速领域。,讨论,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,质点对力心的角动量守恒,(2)角动量守恒的条件：合外力矩为零。,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,42,(3)对有心力：,角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观低速领域，也适用于微观高速领域。,讨论,质点对力心的角动量守恒,(2)角动量守恒的条件：合外力矩为零。,盘状星系,螺旋星云,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,43,(3)对有心力：,角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观低速领域，也适用于微观高速领域。,讨论,质点对力心的角动量守恒,(2)角动量守恒的条件：合外力矩为零。,例如用绳系一小物块使之在光滑水平面上作圆周运动。,思考,物块运动如何变化？,若缓慢向下拉绳，使圆半径逐渐减小。,绳中拉力是否做功？为什么？,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,44,三.刚体作定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,刚体各质点对Z轴的角动量方向相同,O,(所有质元的角动量之和),1.刚体定轴转动的角动量,2.刚体定轴转动的角动量定理,（角动量定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量,（角动量定理微分形式）,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,45,3.刚体定轴转动的角动量守恒定律,若定轴转动刚体所受合外力矩为零，则刚体对该轴的角动量守恒。,1）J，均不变,回转仪,2）J，均变，但LJ不变,茹可夫斯基凳,花样滑冰跳水,旋转刚体,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,46,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,47,均质细杆(l,m)，一端悬挂，可在竖直面内自由转动。开始时处于静止，在杆的中心作一冲量I，方向垂直于杆。求冲量作用结束时，杆获得的角速度。（假定冲量作用时间极短，在冲量作用的整个过程中杆不发生位移）,例,解,I,已知：,（杆中心受的冲量）,重力不产生力矩，F对O点产生力矩M，,该段时间内，力矩的冲量矩为：,由刚体角动量定理：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,48,测子弹速度,例,1、子弹击中沙摆，沙摆平动。,已知m，M，l，,（完全非弹性碰撞）,碰撞在原静止处完成，水平方向P守恒,摆上升过程中，E守恒,2、子弹击中木杆，木杆作定轴转动。,已知m，M，l，,碰撞在原静止处完成，M0，L守恒,杆向上摆过程中，E守恒,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,49,相对运动,例,1、一人m静止在船M上，Mm以0向右前进，当m相对于船M以向左运动时，M的速度V？,研究对象：人m船M,水平方向：动量P守恒,惯性参考系中,2、一人m静止在船于圆盘(R,M)边缘，以共同的速度0转动，当人相对于盘以反向作圆运动时，M的？,研究对象：人m盘M,M0，角动量L守恒,惯性参考系中,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,50,圆形平板R，平板与水平桌面间摩擦系数，圆板绕过中心且垂直于板面的固定轴以0旋转，去掉外力后，圆板将旋转多少圈后停止？需用多少时间？,例,解一：,Mfn,设圆盘总质量为m，,总的力矩：,（恒力矩）,转动定理：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,51,解二：,由转动动能定理：,由角动量定理：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,52,5-5进动,陀螺的自旋角动量为,当,时,则,只改变方向，不改变大小（进动）,高速自转的刚体在外力矩作用下自转轴绕另一轴转动的现象称为进动,角动量定理,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,53,进动角速度,而且,所以,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,角动量定理,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,54,刚体力学小结,一、运动学,描写刚体转动的物理量,1、角量：,线量：,微积分关系,2、角量与线量的关系,3、方向：右手螺旋法,4、匀角加速转动公式,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,55,二、动力学,1、基本概念：,力矩：,转动惯量：,转动动能：,转动角动量：,定轴转动：,（定点、定轴）,（定点）,2、基本定理：,转动定律：,（定轴转动中力矩的瞬时作用规律）,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,56,转动动能定理：,角动量定理：,力矩的持续作用规律,功能原理：,守恒定律：,时，守恒,时，守恒,3、解题思路：,平动部分：分析外力,转动部分：分析力矩,平动与转动的联系：角量和线量的关系,（隔离分析方法）,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,57,如图所示,例,解析：,（平动转动）,隔离分析受力（矩）,规定正方向：逆时针,平动：分析受力,转动：分析力矩,线量与角量关系：,六个未知数，六个方程，可求解T1，T2，T3，a，1，2,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,58,4、力矩的瞬时作用规律,力矩的持续作用规律,守恒定律,（分析某一时刻合外力矩与转动状态的关系）,（分析过程特点，选取始末状态）,（判断守恒条件）,例,如此衔接，角动量守恒吗？,转动定律微积分法,动能和角动量定理,角动量守恒定理,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,59,例,如图所示，细杆（l，m）可绕端点O的水平轴转动，从水平位置自由释放，在竖直位置与物体M相碰，物体与地面摩擦系数为，相撞后，物体沿水平地面滑行一段s后停止，,求：碰后杆质心C离地最大高度，并说明杆向左右摆的条件,解,（1）自由下落过程,（E守恒）,（2）杆物相碰,（L守恒）,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,60,（3）碰后物体滑动,（动能定理）,杆向右摆,杆向左摆,（4）碰后杆摆动,（E守恒）,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,61,例,如图所示，细杆（l，m1）可绕端点O转动，与水平桌面摩擦系数为。有一运动的滑块m2，以速度1与静止杆的另一端点垂直相碰，t极短，碰后速度2与1反向，,求：细杆从碰后到停下来经历的时间t,解：,m1与m2相碰，动量不守恒，但角动量守恒,碰后的角速度,细杆在平面内移动时受到阻力（摩擦力）矩：,第五章刚体力学基础动量矩,2019/11/27,62,方法一：,转动定理,（匀角加