高一三角函数知识点总结

1 / 105 高一三角函数知识点总结 1 2 高一三角函数知识 一任意角和弧度制 ?正角：逆时针方向旋转 ? 1.任意角 ?负角：顺时针防线旋转 ?零角 ? 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 与 ?终边相同的角的集合： ?|?k?360?,k?Z 终边在 x 轴上的角的集合： ?|?k?180?,k?Z 终边在 y 轴上2 / 105 的角的集合： ?|?k?180?90?,k?Z 终边在坐标轴上的角的集合： ?|?k?90?,k?Z 终边在 y=x轴上的角的集合： ? ? ? ? ?|?k?180 ? ? ?45?,k?Z ? 终边在 y?x轴上的角的集合： ?|?k?180?45?,k?Z 3 / 105 若角 ?与角 ?的终边关于 x 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360k?， k?Z 若角 ?与角 ?的终边关于 y轴对称，则 ?与角 ?的关系： ?360?k?180?， k?Z 若角 ?与角 ?的终边在一条直线上，则 ?与角 ?的关系： ?180k?， k?Z 角 ?与角 ?的终边互相垂直，则 ?与角 ?的关系： ?180k?90， k?Z 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度 =2 弧度。若圆心角所对 的弧长为 l，则其弧度数的绝对值 |? ? ? ? ? ? l 4 / 105 ,其中 r是圆的半径。 r 180 5. 弧度与角度互换公式： 1rad 1 ? ? 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 6. 第一象限的角： ?|2k? ? ? ? ?2k?,k?Z? 2? 锐角： ?|0? 5 / 105 ? ? ? ?o ? ； 小于 90的角： ?|? 2?2? 2 7. 弧长公式： l?|?|R 扇形面积公式： S?lR?|?|R 任意角的三角函数 1. 任意角的三角函数的定义：设 ?是任意一个角， P(x,y)是 ?的终边上 的任意一点 6 / 105 ，它与原点的距离是 r? ?0，那么 yxy sin?,cos?， tan?,?x?0? rrx 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 2. 三角函数线 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： 3.三角函数在各象限的符号： ? cos? tan? 4. 同角三角函数的基本关系式： 7 / 105 平方关系： sin?cos?1,1?tan?商数关 系： tan? 2 2 2 1 cos2? sin? cos? 平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意 “1” 的代换 三角函数的诱导公式 k? 8 / 105 1.诱导公式 2 ?sin(?x)?sinx?sin(2k?x)?sinx?sin(?x)?sinx? ） ?cos(2k?x)?cosx ） ?cos(?x)?cosx ） ?cos(?x)?cosx ?tan(?x)?tanx?tan(2k?x)?tanx?tan(?x)?tanx? ?sin(?x)?sinxsin(?)?cos?)?cos?2?2 ） ?cos(?x)?cosx ） ? ） ? ?tan(?x)?tanx?)?sin?)?sin?2?2? 三角函数的图像与性质 1.周期函数定义：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数 f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T叫做这个函数的周期。 y?sinx 与 y?cosx的周期是 ?. 9 / 105 y?sin(?x?)或 y?cos(?x?)的周期 T?2? . y?Atan(?x?) 的周期为 T? ? ? y?tan x? ?T?2?，如图） 的周期为 2?几个物理量： A 振幅； f? 1 10 / 105 频率； ?x? 相位； ? 初相； T 函数 y?Asin(?x?)表达式的确定： A 期确定； ?由图象上的特殊点 确 f(x)?Asin(?x?)(A?0,?0， |?|? ? 2 )15? ； f(x) _ 23 函数 y?Asin(?x?)图象的画法： “ 五点法 ” 设 X?x?，令 X 0， 11 / 105 ? 2 ,?, 3? ,2?求出相应的 x 值，计算得出五 2 点的坐标，描点后得出图象； 图象变换法：这是作函数简图常用方法。 函数 y?Asin(?x?)?k 的图象与 y?sinx图象间的关系： 函数 y?sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左或向右平移 |?|个单位得 y?sin?x?的图象； 函数 y?sin?x?图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ，得到函数 ? 12 / 105 y?sin?x?的图象； 函数 y?sin?x?图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数 y?Asin(?x?)的图象； 函数 y?Asin(?x?)图象的横坐标不变，纵坐标向上或向下，得到 y?Asin?x?k 的图象。 要特别注意，若由 y?sin?x?得到 y?sin?x?的图象，则向左或向右平移应平移 | ? |个单位 ? 例：以 y?sinx变换到 y?4sin(3x?)为例 13 / 105 3 ? y?sinx?个单位 y?sinx向左平移 ? 3? ? 横坐标变为原来的 1? 倍 y?sin?3x? 3? ? 纵坐标变为原来的 4 倍 y?4sin?3x? 3? 14 / 105 1 y?sinx 横坐标变为原来的倍 y?sin?3x? 向左平移 ? 个单位 y?sin3?x?sin?3x? 9?3? ? 纵坐标变为原来的 4 倍 y?4sin?3x? 3? 注意：在变换中改变的始终是 x。 函数性质：求对称中心、对称轴、单调区间的方法 15 / 105 9.正余弦 “ 三兄妹 sinx?cosx、 sinxcosx” 的内存联系 “ 知一求二 ” 高中数学第四章 -三角函数知识点汇总 1. 与 ?终边相同的角的集合： ?|?k?360?,k?Z? 终边在 x轴上的角的集合： ?|?k?180,k?Z? ? 终边在 y 轴上的角的集合： ?|?k?180?90?,k?Z? 终边在坐标轴上的角的集合： ?|?k?90?,k?Z? 终边在 y=x轴上的角的集合： ?|?k?180?45?,k?Z? 终边在 y ?x SINCOS三角函数值大小关系图 轴上的角的集合： ?|?k?180?45?,k?Z? 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 16 / 105 若角 ?与角 ?的终边关于 x 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k? 若角 ?与角 ?的终边关于 y 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?180? 若角 ?与角 ?的终边在一条直线上，则角 ?与角 ?的关系： ?180?k? 角 ?与角 ?的终边互相垂直，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?90? 2. 角度与弧度的互换关系： 360=2? 180 =? 1= 1=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧 度数 为零 . 、 弧度 与角度互 换公 式： 1rad 180=5718 1 ? ?180 3、弧长公式： l?|?|?r. 扇形面积公式： s扇形 ? 12 lr? 17 / 105 12 |?|?r ?yr 2 4、三角函数：设 ?是一个任意角，在 ?的终边上任取一点 PP与原点的距离为 r，则 sin? cos? xr ； ； tan? ? 18 / 105 yx ； cot? ? xy ； sec? ? rx ； . csc? ? ry . 19 / 105 5、三角函数在各象限的符号： 正弦、余割 余弦、正割 正切、余切 6、三角函数线 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 16. 几个重要结论 :(3) 若 o 2 8、同角三角函数的基本关系式： sin? cos?cos? 20 / 105 ?tan? sin? ?cot? tan?cot?1 csc?sin?1 sec?cos?1 sin2 ?cos2 ?1 sec2 ?tan2 ?1 csc2 ?cot2 ?1 21 / 105 9、诱导公式：把 k?的三角函数化为 ?的三角函数，概括为： “ 奇变偶不变，符号看象限， ?当成锐角看！ ” 基本关系 公式组一公式组二 公式组三 sinxcscx=1tanx= sinxn2(k?x)?sinxsin?(x)?sinx cosx sin2 x+cos2 x=1si cos x sec x =1 x cos2(k?x)?cosxcos?(x)?cosx= cos x 1+tan 2 x =sec 2 22 / 105 x tan2(k?x)?tanx sinx tan?(x)?tanx tanxcotx=1 1+cot2 x=csc2 x cot2(k?x)?cotx cot?(x)?cotx 公式组四 公式组五 公式组六 23 / 105 sin(?x)?sinxsin2(?x)?sinx sin?(?x)?sinx cos(?x)?cosx cos2(?x)?cosxtan(?x)?tanx cos?(?x)?cosxtan2(?x)?tanxtan?(?x)?tanx cot(?x)?cotx cot2(?x)?cotx cot?(?x)?cotx 角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos(?)?cos?cos?sin?sin? sin2?2sin ?cos? cos(?)?cos?cos?sin?sin? cos2?cos2?sin2?2cos2?1?1?2sin2 24 / 105 ? sin(?)?sin?cos?cos?sin? tan2? 2tan?1?tan2 ? sin(?)?sin?cos?cos?sin? si? 1?cos? 2 ? 2 tan(?)?tan?tan?1?tan?tan? co? 25 / 105 cos? 2 ? 1?2 tan(?)?tan?tan?sin?1?cos?1?tan?tan? tan ?cos?2 ? 1?1?cos? ?1?cos? ? 26 / 105 sin? 公式组三 公式组四 公式组五 2tan ? sin?cos? 12?sin?sin?cos(1sin? 2 12?)?sin?1?tan 2 ? 27 / 105 cos?sin?2?sin?sin? ?2 sin(1?)?cos?cos?cos? 12 ?cos? ?cos? ? 21?tan 2 ? ?tan( 28 / 105 1cos? 2 sin?sin? 1?cos? 2 ?)?cot? 1?tan 2 ? 2 ?cos?2 29 / 105 sin?sin?2sin ? ? cos( 12 cos 2 2 ?)?sin? ） 30 / 105 2tan tan? 1?tan ? 2 2 sin?sin?2cos ? 2? sincos ? 31 / 105 2?2? ? tan(sin( ? 1212 3 ?)?cot?)?cos? 2 ? cos?cos?2cos cos?cos?2sin 32 / 105 2 2? sin15 ? ?cos75 ? ? ?4 , ,tan15? ?cot75?2? ? 33 / 105 3 ,. 2 sin tan75?cot15?2? 2 sin75 ? ?cos15 ? ? 34 / 105 6?4 2 y?sinxy?sinxy?cos 在 a,b上递增，则 y?f(x)在 a,b上递减 . y? sinx x y ?cos xy?f(x) 与 y ?cosx 35 / 105 的周期是 ?. ?cos(?x?) ?y?sin(?x?) 或 y y?tan x2 的周期 T? 2? . 的周期为 2?. ? 2 36 / 105 y?sin(?x?) 的对称轴方程是 x，对称中心，对称中心； y?(soc?x?) 的对称轴方程是 x ?k? ? 12 ； y?(nat?,0） ?x?)的对称中心 . y?cos2x?y?cos(?2x)?cos2x tan? 当 tan? ?1,?k? 37 / 105 ? 2 (k?Z) tan?； tan? ?1,?k? ? 2 (k?Z) . y ?cosx 38 / 105 ?与 y?sin?2k?是同一函数 ,而 y?(?x?)是偶 函数，则 ?x? ? 2 ? y?(?x?)?sin(?x?k? 12 ?)?cos(?x). 函数 y?tanx在 R 上为增函数 . 只能在某个单调区间单调递增 . 若在整个定义域， y?tanx为增函数，同样也是错误的 . 定义域关于原点对称是 f(x)具有奇偶性的必要不充分条件，二是满足奇偶性条件，偶函数： 39 / 105 f(?x)?f(x)，奇函数： f(?x)?f(x)） 奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如： y?tanx 是奇函数，y?tan(x?1?)是非奇非偶 . 3 奇函数特有性质：若 0?x 的定义域，则 f(x)一定有 y ?sin f(0)?0. ； x 不是周期函数； y?sinx 为周期函数是周期函数； y?cosx为周期函数，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y=|cos2x+1/2|图象 y?f(x)?5?f(x?k),k?R. 40 / 105 y ?acos?bsin?a?b 22 sin(?)?cos? ba 有 a2?b2?y. 11、三角函数图象的作法： ）几何法： ）描点法及其特例 五点作图法，三点二线作图法 . ）利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 y Asin 的振幅 |A|，周期 T ?2?|?| 41 / 105 ，频率 f ? 1T ? |?|2? ，相位 ?x?;初相 ?， 由 y sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短到原来的 |A|倍，得到 y Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 由 y sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长或缩短到原来的 | 得到 y sin x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换 (用 x 替换 x) 42 / 105 由 y sinx的图象上所有的点向左或向右平行移动 个单位，得 到 y sin 的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移 (用 x 替换 x) 由 y sinx 的图象上所有的点向上或向下平行移动 b个单位，得到 y sinx b 的图象叫做沿 y轴方向的平移 由 y sinx的图象利用图象变换作函数 y Asin的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后 顺序不同时，原图象延 x轴量伸缩量的区别。 II. 竞赛知识要点 一、反三角函数 . 1. 反三角函数： ?反正弦函数 y?arcsinx 是奇函数，故arcsin(?x)?arcsinx， x?1,1?注： sin(arcsinx)?x ，x?1,1?， arcsinx?,?. ? ? 43 / 105 2 2? 1 ? |倍， ?反余弦函数 y?arccosx 非奇非偶，但有arccos(?x)?arccos(x)?2k? ， x?1,1?. 注：cos(arccosx)?x ， x?1,1?， arccosx?0,?. y?cosx 是偶函数， y?arccosx 非奇非偶， 而 y?sinx 和y?arcsinx 为奇函数 . ?反正切函数： y?arctanx，定义域(?,?)，值域， y?natcrax 是奇函数， ?(?,?).注： tan(arctanx)?x， x?(?,?). 44 / 105 ? 2,2 ?反余切函数： y?arccotx，定义域 (?,?)，值域，y?cratocx 是非奇非偶 . arccot(?x)?arccot(x)?2k? ， x?(?,?). 注：cot(arccotx)?x ， x?(?,?). y?arctanx arccos(?x)?arccosx?2k?,x?1,1arccotx?arccot(?x)? 同理为奇而 y ?2k?,x?1,1. a ?arccosx 45 / 105 与 y?arccotx 非奇非偶但满足 ? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： a 的取值范 围 解集 sin a 的取值范围 解集 x?a 的解集 cosx?a 的解集 ? 1 46 / 105 ?arcsian,k?Z? k a 1 ? a =1 ?x|x?2k? 1 a =1 ?x|x?2k?arccosa,k?Z? a ?x|x?k?1? 47 / 105 arcsian,k?Z ?arctana,k?Z? ? a 1 ?x|x?k?arccos ?a a,k?Z? tan x?a的解集： ?x|x?k? cotx 的解集： ?x|x?k?arccota,k?Z? 48 / 105 3 二、三角恒等式 . 组一 组二 n cos?cos2?cos4?.cos2? n sin22 n?1 n?1 ?sin3?3sin?4sin?cos3?4cos?3cos? 49 / 105 3 sin 2 ?sin 2 2 ?sin?sin? 2 sin? ?cos?cos? ?cos 50 / 105 k?1 ?2 k ?cos ?2 cos ?4 cos ?8 ?cos ?2 51 / 105 n ? sin?2sin n ?2 n n ?cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)?cos(x?nd)? k?0n sin(n?1)d)cos(x?nd) sind 52 / 105 ? k?0 sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)?sin(x?nd)? sin(n?1)d)sin(x?nd) sind tan(?)? tan?tan?tan?tan?tan?tan?1?tan?tan?tan?tan?tan?tan? 组三 三角函数不等式 sinx x tan 53 / 105 ? x,x?(0, ? 2 ) f(x)? sinxx 在 (0,?)上是减函数 若 A?B?C，则 x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC 三角函数 三角函数知识框架图 54 / 105 知识要点 : 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角 l 叫做一弧度。 360 度 =2 弧度。若圆心角的弧长为 l，则其弧度数的绝对值 |=, 其中 r 是圆的半径。 r 定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x轴的非负半轴重合，在角 y 55 / 105 的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为，到原点的距离为 r,则正弦函数 sin=, r xy 余弦函数 cos=, 正切函数 tan=, rx ?正角 :按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角 :按顺时针方向旋转形成的角 ?零角 :不作任何旋转形成的角 ? 2、角 ?的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 ?为第几象 ? 56 / 105 限 角 第 一 象 限 角 的 集 合为 ?k?360?k?360?90?,k?=?2k?2k?,k? 2? ? ? 第 二 象 限 角 的 集 合为 ?k?360?90?k?360?180?,k?=?2k?2k?,k? 2? ? - 1 - ? 57 / 105 第 四 象 限 角 的 集 合为 ?k?360?270?k?360?360,k?=_ 终边在 x轴上的角的集合为 ?k?180,k?=_ 终边在 y 轴上的角的集合为 ?k?180?90,k?=_ 终边在坐标轴上的角的集合为 ?k?90,k?=_ 3 、与角 ? 终边相 同 的 角 的 集 合为 ?k?360?,k?=_ ? ? ? ? ? ? 58 / 105 ? 第 三 象 限 角 的 集 合为 ?k?360?180?k?360?270?,k?=_ 4、已知 ?是第几象限角，确定 ? n?所在象限的方 法：先把各象限均分 n 等份，再从 x轴的正半 ?n * 轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 ?原来是第几象限对应的标号即为在的区域 ? 终边所落 n ?180? 59 / 105 5 、弧 度制与角 度制的 换算公 式： 2?360?， 1? ，1? ?180? C?2r?l， 6、若扇形的圆心角为 ?为弧度制 ?，半径为 r，弧长为 l，周长为 C，面积为 S，则 l?r?， ? ? 11 S?lr?r2 22 7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正 (口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 ) ? 60 / 105 8、三角函数线： sin?， cos?， tan?若 x?0,?，则 sinx ?2? 9 、 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关系： ?1?sin2?cos2?1?sin2?1?cos2?,cos2?1?sin2?； ; ?2? sin? ?tan?cos? sin? sin?tan?cos?,cos? tan? k? ?形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 2 61 / 105 10、三角函数的诱导公式：； 1?tan?tan? tan? tan?tan? 1?tan?tan? 12、和差化积 与积化和差公式 : ? ?cos?,sin -sin=2cos?sin?, ?2?2?2?2? cos+cos=2cos?cos?, cos -cos= -2sin?sin?, 62 / 105 2222? 11 sincos=sin(+)+sin( -),cossin=sin(+) -sin( -), 2211 coscos=cos(+)+cos( -),sinsi n= -cos(+) -cos( -). 22 13、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2?2sin?cos? 1?cos2?1?cos2? cos2?cos2?sin2?2cos2?1?1?2sin2? 22 63 / 105 sin+sin=2sin? tan2? 2tan? 1?tan2? (1?cos)?cos?1?cos?sin?1?cos? 14、半角公式 :sin?=?； tan? cos? 22221?cos?1?cos?sin?2?15、辅助角公式 :?sin?cos?，其中 tan?16、万能公式 2tan 64 / 105 sin? ? ? ? ， cos? 1?tan21?tan2 ? ， tan?2 2tan ? 1?tan2 65 / 105 ? 2 1?tan2 ? 2 17、函数 y?sinx的图象上所有点向左平移 ?个单位长度，得到函数 y?sin?x?的图象；再将函数 y?sin?x?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 | 1 ? |倍，得到函 数 y?sin?x?的图象；再将函数 y?sin?x?的图象上所66 / 105 有点的纵坐标伸长到原来的 ?倍，得到函数 y?sin?x?的图象 - 3 - 函数 y?sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 1 ? 倍，得到函数 y?sin?x 的图象；再将函数 y?sin?x 的图象上所有点向左平移 | ? |个单位长度，得到函数 ? 再将函数 y?sin?x?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ?倍 y?sin?x?的图象； 67 / 105 ，得到函数 y?sin?x?的图象 例：以 y?sinx变换到 y?4sin(3x?)为例 3 y?sinx 向左平移 ? 个单位 ? y?sinx? 3? 横坐标变为原来的 1? 68 / 105 倍 y?sin?3x? 33? ?纵坐标变为原来的 4倍 y?4sin?3x? 3? 1 y?sinx 横坐标变为原来的倍 y?sin?3x? 向左平移 ? 个单位 y?sin3?x?sin?3x? 9?3? ?纵坐标变为原来的 4 倍 y?4sin?3x? 3? 注 意 ： 在 变 换 中 改 变 的 始 终是 x 。 函数69 / 105 y?sin?x?0,?0?的性质： 振幅： ?； 周期： ? 2? ? ； 频率： f? 1?； 相位： ?x?； 初相： ? ?2? 函数 y?sin?x?B，当 x?x1 时，取得最小值为 ymin ；当 x?x2 时 ， 取 得 最 大 值 为 ymax ，则 ?ymax?ymin?， ?ymax?ymin?， ?x2?x1?x1?x2? - 4 - 1212?2 三角函数题型分类总结 一 70 / 105 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有： a) 常数代换法：如： 1?sin2?cos2? b) 配角方法： ?(?)?,2?(?)?,? - 5 - ? 2 ? ? 2 ,? ? 71 / 105 2 ? ? 2 三角函数 【知识网络】 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿 x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角 . 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 ?k?360?k?Z? ? 72 / 105 x 轴上角： ?k?180?k?Z? y 轴上角： ?90?k?180 ? ? ?k?Z? 3、第一象限角： ?0?k?360?90?k?360?k?Z? 第二象限角： ?90?k?360?180?k?360?k?Z? 第三象限角： ?180?k?360?270?k?360?k?Z? 第四象限角： ?270?k?360?360?k?360?k?Z? 4、区分第一象限角、锐角以及小于 90的角 第一象限角： ?0?k?360?90?k?360?k?Z? 锐角： ?0?90? 小于 90的角： ?90? ? 73 / 105 ? 5、若 ?为 第二象限角，那么 ? 2 ?2 为第几象限角？ ? 4?k? 5?4 ?2k?2k? ? 2 74 / 105 ? ? k?0, ? 4 ? ? 2 , k?1,? 23?2 ?k? , 75 / 105 所以 在第一、三象限 2 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为 1 弧度的圆心角，记作 1rad. 7、角度与弧度的转化： 1?8、角度与弧度对应表： ? ? 180 ? 1? 180? ? 76 / 105 ?57?18? 9、弧长与面积计算公式 弧长： l?R；面积： S? 二、任意角的三角函数 1、正弦： sin? yr xr yx 12 l?R? 12 2 ?R，注意：这里的 ?均为弧度制 . 77 / 105 ；余弦 cos?；正切 tan? 其中 ?x,y?为角 ?终边上任意点坐标， r? 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 . sin? tan? cos? 第一象 限 ： .x?0,y?0 sin?0,cos?0,tan?0, 第 二 象限： .x?0,y?0 sin?0,cos?0,tan?0, 第三象限： .x?0,y?0 sin?0,cos?0,tan?0, 第 四 象 限 ： .x?0,y?0 sin?0,cos?0,tan?0, 4、三角函数线 设任意角 ?的顶点在原点 O，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与 P(x,y)， 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M；过点 A(1,0)作单位圆的切线，它与角 ?的终边或其反向 延长78 / 105 线交于点 T. 由四个图看出： 当角 ?的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM?x,MP?y，于是有 sin?tan? yryx?y1 ?y?MP， cos?AT xr?x1 ?x?OM ， ?AT OA 79 / 105 我们就分别称有向线段 MP,OM,AT 为正弦线、余弦线、正切线。 OM MP 5、同角三角函数基本关系式 sin?cos?1 2 2 tan? sin?cos? ?tan?cot?1 2 80 / 105 (sin?cos?)?1?2sin?cos? 2 (sin?cos?)?1?2sin?cos? (sin?cos?， sin?cos?， sin?cos?，三式之间可以互相表示 ) 6、诱导公式 n? 口诀：奇变偶不变 ,符号看象限 (所谓奇偶指的是 2 ? 中整数 n 的奇偶性，把 ?看作锐角 ) nn 81 / 105 ?22 n?n?(?1)sin?,n 为偶数 ?(?1)cos?,n 为偶数sin(?)?)?； cos(. n?1n?1 22?22 ?(?1)cos?,n 为奇数 ?(?1)sin?,n 为奇数 . 公式： ?与 ?2k?,?k?Z? sin(?2k?)?sin?； cos(?2k?)?cos?； tan(?2k?)?tan? . 公式： ?与 ? sin?sin?； cos?cos?； tan?tan? . 公式： ?与 ? sin?sin?； cos?cos?； tan?tan? . 公式： ?与 ? 82 / 105 sin?sin?； cos?cos?； tan?tan? . 公式： ?与 ?2 ? ? sin?cos?； cos?sin?； ?2?2? . 公式： ?与 ?2 ? ? sin?cos?； cos?sin?； ?2?2? 83 / 105 . 公式： ?与 3?2 ? ?3?3?sin?cos?； cos?sin?； ?2?2? . 公式： ?与 3?2 ? ?3?3?sin?cos?； cos?sin?； ?2?2? 三、三角函数的图像与性质 84 / 105 1、将函数 y?sinx 的图象上所有的点，向左平移 ?个单位长度，得到函数 y?sin?x?的图象；再将函数 y?sin?x?的图象上所有点的横坐标伸长到 原来的 1 ? 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 A 倍，得到函数y?Asin?x?的图象。 倍，得到函数 y?sin?x?的图象；再将函数 y?sin?x? 2、函数 y?Asin?x?A?0,?0?的性质： 振幅： A； 周期： T? 2? ? 85 / 105 ； 频率： f? 1T ? ?2? ； 相位： ?x?； 初相： ?。 3、周期函数：一般地，对于函数 f?x?，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f?x?T?f?x?，那么函数 f?x?就叫做周期函数， T 叫做该函数的周期 . k? ?4、 y?Asin(?x?) 对称轴：令 ?x?k? 对称中心： ?x?k?，得 x? k? 86 / 105 ?2 ? ，得 x? ,0)(k?Z)； ? ? ， ( k? ? y?Acos(?x?) 对称轴：令 ?x?k?，得 x? 87 / 105 ? 2 k? k? ?k? ?； ? ,0)(k?Z)； 对称中心： ?x?k? 周期公式 : ，得 x? ? 88 / 105 ， ( ?2? 函数 y?Asin(?x?)及 y?Acos(?x?)的周期 T?0). 函数 y? Atan?x?的周期 T ? (A、 、 ?为常数，且 A ? (A、 、 ?为常数，且 A0). 5、三角函数的图像与性质表格 高中数学第四章 -三角函数 1. 与 ?终边相同的角的集合： ?|?k?360?,k?Z? 89 / 105 ? 终边在 x轴上的角的集合： ?|?k?180?,k?Z 终边在 y轴上的角的集合： ?|?k?180?90,k?Z 终边在坐标轴上的角的集合： ?|?k?90?,k?Z 终边在 y=x 轴上的角的集合： ?|?k?180?45?,k?Z 终边在 y?x 轴上的角的集合： ?|?k?180?45?,k?Z ? ? ? ? ? ? SINCOS1、 2、 3、 4 表示第一、二、三、四象限一半所在区90 / 105 域 ? 若角 ?与角 ?的 终边关于 x 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k? 若角 ?与角 ?的终边关于 y 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?180? 若角 ?与角 ?的终边在一条直线上，则角 ?与角 ?的关系： ?180?k? 角 ?与角 ?的终边互相垂直，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?90? 2. 角度与弧度的互换关系： 360=2? 180=? 1= 1=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 、 弧 度 与 角 度 互 换 公 式 ： 1rad 180=5718 1 ? ? 180 3、弧长公式： l2 91 / 105 ?|?|?r. 扇形面积公式： s扇形 ?lr?|?|?r 1212 4、三角函数：设 ?是一个任意角，在 ?的终边上任取一点 PP与原点的距离为 r，则 sin?yx cos?； tan? xr ； cot?x； sec?r； . csc?y x5、三角函数在各象限的符号： 正弦、余割 余弦、正割 正切、余切 92 / 105 6、三角函数线 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 高三数学总复习 三角函数 (3) 若 o 2 cos? cos? ?cot?sin? 8、同角三角函数的基本关系式： sin?tan? ?cos?1 tan?cot?1 csc?sin?1 sec sin2?cos2?1 sec2?tan2?1 csc2?cot2?1 9、诱导公式： 93 / 105 把 k? ?的三角函数化为 ?的三角函数，概括为： 2 “ 奇变偶不变，符号看象限 ” 三角函数的公式：基本关系 公式组一公式组二 公式组三 sinxsin(2k?x)?sinxsin?(x)?sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosx cos(2k?x)?cosxcos?(x)?cosx cos x 2 x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan(2k?x)?tanxtan?(x)?tanxsinx 94 / 105 cot(2k?x)?cotxcot?(x)?coxt tanxcotx=1 1+cot2x=csc2x 公式组四 公 式 组 五 公 式 组 六 sin(?x)?sinxsin2?(?x)?sinxsin?(?x)?sinxcos(?x)?cosxcos2?(?x)?cosxcos?(?x)?cosx tan(?x)?tanxtan2?(?x)?tanxtan?(?x)?tanxcot(?x)?cotxcot2?(?x)?coxtco?t(?x)?coxt 角与角之间的互换 公式组一 公式组二 2?2sin?co?s cos(?)?cos?cos?sin?sin? sin 2s?co2s?si2n?2co2s?1?1?2sin? cos(?)?cos?cos?sin?sin? co2 sin(?)?sin?cos?cos?sin? tan2? 2tan?1?tan? 95 / 105 2 sin(?)?sin?cos?cos?sin? si?2 ? ?co?s 2 tan(?)? tan?tan?1?cos? cos? 1?tan?tan?22 高三数学总复习 三角函数 tan(?)? 96 / 105 tan?tan? tan ?cos?sin?1?cos? 1?tan?tan?21?cos?1?cos?sin? 公式组三 公式组四 公式组五 11?sin?sin?cos(?)?sin?2tan222 sin?1?cos?sin?sin?sin?11?tan2sin(?)?cos?2221 cos?cos?cos?cos?122?tan(?)?cot?1?tan 122 sin?sin?cos?cos?cos? 211?tan2?cos(?)?sin?2sin?sin?2sincos222 ?