高一函数知识点总结

1 / 92 高一函数知识点总结 二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)， xA 其中 ，x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次 方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 2 / 92 (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . ? ； 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x为横坐标，函数值 y为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A) 的图象 C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 3 / 92 区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、 B 是两个非 空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A?B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f ： A?B” 对于映射 f： AB 来说，则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA), 则 4 / 92 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、 g 的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性 ，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x， xD ，且 x 2 作差 f(x) f(x)； 3 变形； 4 定号； 5 下结论 5 / 92 1 2 1 2 1 2 1 2 (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律： “ 同增异减 ” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单6 / 92 调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2 确定 f( x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条7 / 92 件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)=1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 .函数的解析式是函 数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10函数最大值 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 2 利用图象求函数的最大值 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递增，在区间 b， c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递减，在区间 b， c8 / 92 上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b处有最小值 f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： y? y?2.设函数 f(x)的定义域为 0， 1，则函数 f(x2)的定义域为 _ _ 3.若函数 f(x?1)的定义域为 ?2， 3，则函数 f(2x?1)的定义域是 ?x?2(x?1) ?4. 函数 ，若 f(x)?3 ，则 x= f(x)?x2(?1?x?2) ?2x(x?2)? 5.求下列函数的值域： 9 / 92 y?x2?2x?3 (x?R) y?x2?2x?3 x?1,2 (3) y?x y6.已知函数 f(x?1)?x2?4x，求函数 7.已知函数 f(x)， f(2x?1)的解析式 f(x)满足 2f(x)?f(?x)?3x?4，则 f(x)= 。 8.设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x?0,?)时 ,f(x)?x(1,则当 x?(?,0)时 f(x)在 R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： y?x2?2x?3 yf(x)= 10 / 92 y?x2?6x?1 10.判断函数 y?x3?1 的单调性并证明你的结论 11.设函数 f(x)? 1?x2判断它的奇偶性并且求证： 1 f()?f(x) 2 1?xx 第三章 基本初等函数 一、指数函数 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 x?a，那么 x 叫做 a的 n 次方根，其中 n1，且 nN * 11 / 92 n ? 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作 0?0。 当 n 是奇数时， an?a，当 n 是偶数时， an?|a|?2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ?a(a?0) ?a(a?0) a?a(a?0,m,n?N,n?1)， a mn m* 12 / 92 ? mn ? 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) ? 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 a a?a 13 / 92 r r r?s (a?0,r,s?R)； rsrs(a)?a r r s (a?0,r,s?R)； (ab)?aa 指数函数及其性质 (a?0,r,s?R) 14 / 92 x 1、指数函数的概念：一般地，函数 y?a(a?0,且 a?1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 f(a),f(b)或f(b),f(a)； 若 x?0，则 f(x)?1； f(x)取遍所有正数当且仅当 x?R； 对于指数函数 f(x)?ax(a?0 且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 x 1对数 的概念：一般地，如果 a?N(a?0,a?1)，那么数 x 叫做以 a为底 N 的对数，记作： 15 / 92 x?logaN 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 ax?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 lnN ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ab N? 对数 的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 loga(M N)?logaM16 / 92 logaN； M ?logaM logaN； N 3 logaMn?nlogaM (n?R) 2 loga 注意：换底公式 函数 定义域 定义 对应法则值域 区间 17 / 92 一元二次函数一元二次不等式 指数函数 根式分数指数 映射 函数 性质 指数函 数的图像和性质 指数方程对数方程 奇偶性 对数的性质 单 调性 18 / 92 积、商、幂与 周期性 对数 反函数 互为反函数的函数图像关系 对数恒等式 对数函数 对数函数的图像和性质 根的对数 和不等式 常用对数自然对数 19 / 92 函数概念 知识梳理 1映射的概念 设 A、 B是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集 合 A中的任意元素，在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 A到 B的映射，通常记为 f:A?B ，f 表示对应法则 注意： A 中元素必须都有象且唯一； B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2函数的概念 (1)函数的定义： 设 A、 B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A到 B 的一个函数，通常记为y?f(x),x?A (2)函数的定义域、值域 20 / 92 在函数 y?f(x),x?A 中， x 叫做自变量， x的取值范围 A叫做y?f(x)的定义域；与 x的值相对应的 y值 (转载于 : 海 达 范 文网 :高一函数知识点总结 ) 叫做函数值，函数值的集合 ?f(x)x?A?称为函数 y?f(x)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间 的关系； 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 考点分析 21 / 92 考点 1：映射的概念 例 1 A?R， B?y|y?0， f:x?y?|x|； A?x|x?2,x?N* ， B?y|y?0,y?N? ， f:x?y?x2?2x?2 ； A?x|x?0， B?y|y? R， f:x?y? 上述三个对应 是 A 到 B 的映射 例 2若 A?1,2,3,4， B?a,b,c， a,b,c?R，则 A 到 B 的映射有 个， B到 A的映射有 个， A到 B的函数有 个 例 3设集合 M?1,0,1， N?2,?1,0,1,2，如果从 M 到 N的映射 f满足条件：对 M中的每个元素 x与它在 N中的象 f(x)的和都为奇数，则映射 f 的个数是 (A)8 个 (B)12 个 (C)16 个 (D)18个 考点 2：判断两函数是否为同一个函数 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ 22 / 92 f(x)? x x， g(x)? 23 x； x?0,x?0; 3 ?1 f(x)?， g(x)? x?1 f(x)?f(x)? 23 / 92 2n?1 x 2n?1 2n?1 ， g(x)?(2n?1x)； x 2 x?1， g(x)? 2 x?x； 2 24 / 92 f(x)?x?2x?1， g(t)?t?2t?1 考点 3：求函数解析式 方法总结：若已知函数的类型，则用待定系数法； 若已知复合函数 fg(x)的解析式，则可用换元法或配凑法； 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 1已知二次函数 f(x)满足 f(2x?1)?4x2?6x?5，求 f(x) 例2已知 f(题型 2：求抽象函数解析式 例 1已知函数 f(x)满足 f(x)?2f()?3x，求 f(x) x1 1?x1?x )=1?x1?x 25 / 92 22 ，则 f(x)的解析式可取为 考点 4：求函数的定义域 题型 1：求有解析式的函数的定义域 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围，实际操 作时要注意： 分母不能为 0； 对数的真数必须为正； 偶次根式中被开方数应为非负数； 零指数幂中，底数不等于 0； 负分数指数幂中，底数应大于 0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例 1.函数 f(x)? 1xln( x?3x?2? 26 / 92 2 ?x?3x?4)的定义域为 ( ) 2 A.(?,?4)?2,?);B.(?4,0)?(0,1)； C. ,?4,0)?(0,1;D. ,?4,0)?(0,1) 题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域 例1设 f?x?lg 2?x2?x x?2?，则 f?f?的定义域为 ?2? ?x? A. ?4,0?0,4?； B. ?4,?1?1,4?； C. ?2,?1?1,2?；D. ?4,?2?2,4? 例 2已知函数 y?f(x)的定义域为 a， b，求 y?f(x?2)的定27 / 92 义域 例 3已知 y?f(x?2)的定义域是 a， b，求函数 y?f(x)的定义域 例 4已知 y?f(2x?1)的定义域是，求 y?f(2x?1)的定义域 考点 5：求函数的值域 1 求值域的几种常用方法 配方法：对于 “ 二次函数型 ” 的函数常用配方法， 如求函数 y?sin 2 x?2cosx?4，可变为 y?sin 2 x?2cosx?4?(cosx?1)?2 解决 2 基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求， 如函数 y?log 28 / 92 12 (?x?2x?3)就是利用函数 y?log 2 12 2 u 和 u?x?2x?3 的值域来求。 判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数 y? 2x?1x?2x?2 2 的值域 29 / 92 3? 2 3?, 2 2cosx?3cosx?1 分离常数法：常用来求 “ 分式型 ” 函数的值域。 如求函数y?利用基本不等式求值域： 如求函数 y? 3xx?4 2 的值域，因为 的值域 30 / 92 利 用 函 数 的 单 调 性 求 求 值 域 ： 如求函数y?2x4?x2?2(x?1,2)的值域 图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域 导数法 一般适用于高次多项式函数，如求函 数f(x)?2x3?4x2?40x， x?3,3的最小值。 对勾函数法 像y=x+三种模型：如 y?x? mx4x ，的函数， m ，求单调区间 x 的范围 3,5，求值域 x ? -1,0 )?(0,4,求值域 4 如 y?x? x?4， 1x?3 31 / 92 求 3,7上的值域 单调递增区间 如 y?2x? ， 求 -1,1上的值域 求单调递增区间 函数的单调性 知识梳理 1、函数的单调性定义： 设函数 y?f(x)的定义域为 A，区间 I?A，如果对于区 间 I 内的任意两个值 x1， x2，当 x1?x2时，都有 f(x1)?f(x2)，那么就说 y?f(x)在区间 I上是单调增函数， I 称为 y?f(x)的单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两个值 x1， x2，当 x1?x2 时，都有 f(x1)?f(x2)，那么就说 y?f(x)在区间 I 上是单调减函数， I 称为 y?f(x)的单调减区间。 32 / 92 如果用导数的语言来，那就是：设函数 y?f(x)，如果在某区间 I 上 f?(x)?0，那么 f(x)为区间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上 f?(x)?0，那么 f(x)为区间 I上的减函数； 2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法： 定义法； 导数法在选择填空题中 还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 y?ax?象和单调性在解题中的运用：增区间为 (?,? )，减区间为 bx (a?0,b?0)型函数的图 复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减 0),. 33 / 92 若 f(x)与 g(x)在定义域内都是增函数，那么 f(x)?g(x)在其公共定义域内是增函数。 3、单调性的说明： 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论 ,所以求函数的单调区间 ,必须先求函数的定义域； 函数单调性定义中的x1， x2有三 个特征：一是任意性；二是大小，即 x1?x2(x1?x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； 函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数 y? 1x 分 别在 (?,0)和 (0,?)内 1x 都 是单 调递减的 ，但 是不能说 它在 整个定义 域即(?,0)?(0,?)内是单调递减的，只能说函数 y?减区间为(?,0)和 (0,?)。 34 / 92 4、函数的最大值 的单调递 设函数 y?f(x)的定义域为 A，如果存在定值 x0?A，使得对于任意 x?A，有 f(x)?f(x0)恒成立，那么称 f(x0)为 y?f(x)的最大值；如果存在定值 x0?A，使得对于任意 x?A，有 f(x)?f(x0)恒成立，那么称 f(x0)为 y?f(x)的最小值。 考点分析 考点 1 函数的单调性 题型 1：讨论函数的单调性 2 例 1求函数 y?(x?3x?2)的单调区间； 已知 f(x)?8?2x?x,若 g(x)?f(2?x)试确定 g(x)的单调区间和单调性 例 2. 判断函数 f(x)= 35 / 92 x?1 2 22 在定义域上的单调性 . 题型 2：研究抽象函数的单调性 例 1已知函数 f(x)的定义域是 x?0 的一切实数，对定义域内的任意 x1,x2 都有 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且当 x?1 时f(x)?0,f(2)?1， 求证： f(x)是偶函数； f(x)在 (0,?)上是增函数；解不等式f(2x?1)?2 题型 3：函数的单调性的应用 2 高中数学函数知识点总结 36 / 92 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合 A?x|y?lgx?， B?y|y?lgx?， C?(x,y)|y?lgx?， A、B、 C 中元素各表示什么？ A 表示函数 y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 A? ?x|x 2 ?2x?3?0， B?x|ax?1? 37 / 92 ? 若 B?A，则实数 a 的值构成的集合为 3? 显然，这里很容易解出 A=-1,3.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是 -1 或者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B为空集的情况，也就是 a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： n 集合 ?a1， a2， ?， an?的所有子集的个数是 2； 要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 a1 来说，有 2 种选择。同样，对于元素 a2, a3,?an,都有 2 种选择，所以，总共有 2种选择， 即集合 A 有 2 个子集。 当然，我们也要注意到，这 2种情况之中，包含了这 n个元38 / 92 素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 2?1，非空真子集个数为 2?2 n n n nn 若 A?B?A?B?A， A?B?B； 德摩根定律： CU?A?B?CUA?CUB?， CU?A?B?CUA?CUB? 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？ 如：已知关于 x 的不等式的取值范围。 ?3? 39 / 92 ?0 5?M， a 5?55 2 ?a 注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 在 (?,1)上 单调递减，在 (1,?)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是 x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到 m， n实际上就是方程 的 2个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” (?)，“且”(?)和“非” (?). 若 p?q为真，当且仅当 p、 q 均为真 40 / 92 若 p?q为真，当且仅当 p、 q至少有一个为真 若 ?p为真，当且仅当 p为假 命题的四种形式及其相互关系是什么？ 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、 熟悉充要条件的性质 A?x|x 满足条件 p， B?x|x满足条件 q， 若 ；则 p是 q 的充分非必要条件 ?A_B； 若 ；则 p是 q 的必要非充分条件 ?A_B； 若 ；则 p是 q 的充要条件 ?A_B； 若 ；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ?_应能构成映射？ 注意映射个数的求法。如集合 A中有 m个元素，集合 B中有n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 nm 个。 如：若A?1,2,3,4， B?a,b,c；问： A 到 B 的映射有 个， B到 A 的映射有 个； A 到 41 / 92 _； 7. 对映射 的概念了解吗？映射 f： A B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性，哪几种对 B 的函数有个，若 A?1,2,3，则 A 到 B 的一一映射有个。 函数 y?(x)的图象与直线 x?a交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备 ) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数 y? 函数定义域求法： ? ? ? x?4?x?lg?x?3? 2 42 / 92 的定义域是 ? 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于 一； ? 数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ? 正切函 数 y?tanx ?x?R,且 x?k? 对 ? ? 43 / 92 ? ,k? 2? ? ? 余切函数 y?cotx ?x?R,且 x?k?,k?反三角函数的定义域 ? 函数 y arcsinx的定义域是 1, 1 ， 值域是，函数 y arccosx的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ， 函数 y arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数 y arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 44 / 92 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合 函数的定义域？ 如：函数 f(x)的定义域是 a， b， b?a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是 _。 复合函数定义域的求法：已知 y?f(x)的定义域为 ?m,n?，求y?f?g(x)?的定义域，可由 m?g(x)?n 解出 x 的范围，即为y?f?g(x)?的定义域。 ? ? 例 若函数 y?f(x)的定义域为 ?1? 45 / 92 ，则 f(log?2,2? 2 x)的定义域为。 分析：由函数 y?f(x)的定义域为 1?1? ?x?2；所以 y?f(log可知： x)中有 ,22?2?2? 12 ?log2x?2。 解：依题意知： 12 ?log2x?2 46 / 92 解之，得 f(log 2?x?4 2 x)的定义域为 x| ? 2?x?4 ? 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数 y=2、配方法 47 / 92 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 1x 的值域 例、求函数 y=x-2x+5， x?-1， 2的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 a. y?b. y? bk+xx 2 2 2 48 / 92 型：直接用不等式性质 bx 型 ,先化简，再用均值不等式 1x+ 1x ? 12 ?mx?n x1+x 2 例： y? c. y?d. y? 49 / 92 xx 22 ?m?x?n?mx?nx?n?mx?n x 2 型 通常用判别式 型 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉 例： y? x 2 50 / 92 ?x?1x?1?+1 1 ?1?2?1?1 x?1x?1 2 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数 y= 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 3x?45x?6 51 / 92 值域。 例 求函数 y= e?1e?1 ?e x x ， y? 2sin?11?sin? ?01?y2?y ， y? 2sin?11?cos? 52 / 92 的值域。 y?y?y? ee xx ?1?1 x ? 1?y1?y 2sin?11?sin?2sin?11?cos? ?|sin?|?|?1, ?2sin?1?y(1?cos?) 53 / 92 2sin?ycos?1?y(?x)?1?y,即 sin(?x)? 又由 sin(?x)?1 知 ?1 解不等式，求出 y，就是要求的答案 6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y= 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 2 x?5 54 / 92 ? log 3 x?1的值域 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+ 8 数形结合法 其题型是函数解析式具 有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点 P在圆 x2+y2=1上， x?1的值域。 55 / 92 (1) yx?2 的取值范围 (2)y-2x的取值范围 解 :(1)令 d?R(d为圆心到直线的距离 ,R为半径 ) (2)令 y-2x?b,即 y?2x?b?0,也是直线 d d?R 例求函数 y= yx?2 ?k,则 y?k(x?2),是一条过 (-2,0)的直线 . (x?2) 2 56 / 92 + (x?8) 2 的值域。 解：原函数可化简得： y= x-2 + x+8 上式可以看成数轴上点 P 到定点 A， B间的距离之和。 由上图可知：当点 P在线段 AB上时， y= x-2 + x+8 = AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时， y= x-2 + x+8 AB =10 故所求函数的值域为： 10， +） 例求函数 y= x 2 57 / 92 ?6x?13+ x 2 ?4x?5 的 值域 解：原函数可变形为： y= (x?3) 2 ? (0?2) 2 + 58 / 92 (x?2) 2 ? (0?1) 2 上式可看成 x轴上的点 P 到两定点 A， B的距离之和， 由图可知当点 P为线段与 x轴的交点时， ymin= AB =故所求函数的值 域为 (3?2) 2 ? (2?1) 59 / 92 2 =43， 43， +）。 注：求两距离之和时，要将函数 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合 A?x|y?lgx?， B?y|y?lgx?， C?(x,y)|y?lgx?， A、B、 C 中元素各表示什么？ A 表示函数 y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 60 / 92 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 A?x|x2?2x?3?0?， B?x|ax?1? 若 B?A，则实数 a 的值构成的集合为 ? 显然，这里很容易解出 A=-1,3.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是 -1 或者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B为空集的情况，也就是 a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： 集合 ?an 1， a2， ?， an?的所有子集的个数是 2； 61 / 92 要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 a1 来说，有 2 种选择。同样，对于元素 a2, a3,?ann n,都有 2 种选择，所以，总共有 2 种选择， 即集合 A 有 2个子集。 当然，我们也要注意到，这 2n 种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 2n?1，非空真子集个数为 2n?2 若 A?B?A?B?A， A?B?B； 德摩根定律： CU?A?B?CUA?CUB?， CU?A?B?CUA?CUB? 有些版本 可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？ 如：已知关于 x的不等式 ax?5 62 / 92 x2?a?0 的解集为 M，若 3?M且 5?M，求实数 a 的取值范围。 5?M， a 5?5 52?a?0 注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 在 (?,1)上单调递减，在 (1,?)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到 m， n实际上就是方程 的 2 个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” (?)，“且”(?)和“非” (?). 若 p?q为真，当且仅当 p、 q均为真 若 p?q为真，当且仅当 p、 q 至少有一个为真 63 / 92 若 ?p为真，当且仅当 p为假 命题的四种形式及其相互关系是什么？ 原命题与逆 否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质 A?x|x 满足条件 p， B?x|x满足条件 q， 若 ；则 p是 q 的充分非 必要条件 ?A_B； 若 ；则 p是 q 的必要非充分条件 ?A_B； 若 ；则 p是 q 的充要条件 ?A_B； 若 ；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ?_； 7. 对映射的概念了解吗？映射 f： A B，是否注意到 A 中元64 / 92 素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ 注意映射个数的求法。如集合 A中有 m个元素，集合 B中有n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 nm 个。 如：若A?1,2,3,4， B?a,b,c；问： A 到 B 的映射有 个， B到 A 的映射有 个； A 到 B 的函数有个，若 A?1,2,3，则 A 到 B 的一一映射有个。 函数 y?(x)的图象与直线 x?a交点的个数为个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备 ) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数 y?x?4?x? 函数定义域求法： ? 分式中的分母不为零； 65 / 92 ? 偶次方根下的数大于或等于零； ? 指数式的底数大于零且不等于一； ? 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ? 正切函数 y?tanx ?x?R,且 x?k? 2,k? ? ? ? 余切函数 y?cotx ?x?R,且 x?k?,k? ? 反三角函数的定义域 函数 y arcsinx的定义域是 1, 1 ， 值域是，函数 y arccosx的定义域是 1, 1 ，值域是 0, 66 / 92 ，函数 y arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数 y arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 f(x)的定义域是 ?a， b?， b?a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是 _。 复合函数定义域的求法：已知 y?f(x)的定义域为 ?m,n?，求y?f?g(x)?的定义域，可由 m?g(x)?n 解出 x 的范围，即为y?f?g(x)?的定义域。 例 若函数 y?f(x)的定义域为 ?1? 67 / 92 ?2，则 2,f(logx)的定义域为。 ?2 分析：由函数 y?f(x)的定义域为 ?1?1 ?,2可知： ?x?2；所以 y?f(logx ?2?22)中有 1 2?log2x?2。 解：依题意知： 1 2?log2x?2 解之，得 2?x?4 f(log2x)的定义域为 ?x|2?x?4? 68 / 92 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数 y=1的值域 x 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y=x2-2x+5， x?-1， 2的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 a. y?b 69 / 92 k+x2型：直接用不等式性质 b. y?bx x2?mx?n型 ,先化简，再用均值不等式 例： y?x1 1+x2?1 x+12 x c. y?x2?m?x?n? x2?mx?n型 通常用判别式 2 d. y?x?mx?n 70 / 92 x?n型 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉 2 例： y?x2?x?1?+1 x?1x?1?1 x?1?1?2?1?1 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数 y=3x?4 71 / 92 5x?6值域。 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 x 例 求函数 y=e?12sin?1 ex， ?1y?2sin?1 1?sin?， y?1?cos?的值域。 y?ex?1 ex?1?ex?1?y 1?y?0 72 / 92 y?2sin?1?|sin?|?|1?y 1?sin?2?y|?1, y?2sin?1 1?cos?2sin?1?y(1?cos?) 2sin?ycos?1?y in(?x)?1?y,即 sin(?x)?又由 sin(?x)?1 知 ?1 解不等式，求出 y，就是要求的答案 6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y=2x?5?log 3x?1 的值域 7、换元法 73 / 92 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+x?1 的值域。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点 P在圆 x2+y2=1上， (1)y的取值范围 x?2 74 / 92 (2)y-2x的取值范围 解 :(1)令 y x?2?k,则 y?k(x?2),是一条过 (-2,0)的直线 . d?R(d为圆心到直线的距离 ,R为半径 ) (2)令 y-2x?b,即 y?2x?b?0,也是直线 d d?R 例求函数 y=(x?2)2+(x?8)2 的值域。 解：原函数可化简得： y= x-2 + x+8 上式可以看成数轴上点 P 到定点 A， B间的距离之和。 由上图可知：当点 P 在线段 AB上时， y= x-2 + x+8 = AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时， 75 / 92 y= x-2 + x+8 AB =10 故所求函数的值域为： 10， +） 例求函数 y=x2?6x?13+ x2?4x?5的值域 解：原函数可变形为： y=(x?3)2?(0?2)2(x?2)2?(0?1)2+ 上式可看成 x轴上的点 P 到两定点 A， B 的距离之和， 函数复习主要知识点 一、函数的概念与表 示 1、映射 映射：设 A、 B是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f： A B。 注意点：对映射定义的理解。判断一个对应是映射的76 / 92 方法。一对多不是映射，多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例 1、下列各对函数中，相同的是 A、 f(x)?