高中数学函数总结

1 / 76 高中数学函数总结 函数性质 1. .函数的单调性 (1)设 x1?x2?a,b?,x1?x2 那么 f(x1)?f(x2) ?0?f(x)在 ?a,b?上是增函数； x1?x2 f(x1)?f(x2) (x1?x2)?f(x1)?f(x2)?0?0?f(x)在 ?a,b?上是减函数 . x1?x2 (2)设函数 y?f(x)在某个区间内可导，如果 f?(x)?0，则 f(x)为增函数；如果 f?(x)?0，则 f(x)为减函数 . 2 / 76 注：如果函数 f(x)和 g(x)都是减函数 ,则在公共定义域内 ,和函数 f(x)?g(x)也是减函数 ;如果函数 y?f(u)和 u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数 ,则复合函数 y?fg(x)是增函数 . (x1?x2)?f(x1)?f(x2)?0? 2. 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y轴对称，那么这个函数是偶函数 注：若函数 y?f(x)是偶函数，则 f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则 f(x?a)?f(?x?a). 注：对于函数 y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立 ,则函数f(x)的对称轴是函数 x? a?ba?b 3 / 76 ;两个函数 y?f(x?a)与 y?f(b?x) 的图象关于直线 x?对称 . 22 a 注：若 f(x)?f(?x?a),则函数 y?f(x)的图象关于点 (,0)对称 ;若 2 f(x)?f(x?a),则函数 y?f(x)为周期为 2a的周期函数 . 3. 多项式函数 P(x)?anx?an?1x n n?1 ?a0 的奇偶性 多项式函数 P(x)是奇函数 ?P(x)的偶次项 (即奇数项 )的系数全为零 . 多项式函数 P(x)是偶函数 ?P(x)的奇次项 (即偶数4 / 76 项 )的系数全为零 . 23.函数 y?f(x)的图象的对称性 (1)函数 y?f(x)的图象关于直线 x?a对称 ?f(a?x)?f(a?x) ?f(2a?x)?f(x). (2)函数 y?f(x)的图象关于直线 x? a?b 对称 ?f(a?mx)?f(b?mx) 2 ?f(a?b?mx)?f(mx). 4. 两个函数图象的对称性 (1)函数 y?f(x)与函数 y?f(?x)的图象关于直线 x?0(即 y轴 )对称 . (2)函数 y?f(mx?a)与函数 y?f(b?mx)的图象关于直线x?(3)函数 y?f(x)和 y?f ?1 5 / 76 a?b 对称 . 2m (x)的图象关于直线 y=x对称 . 25.若将函数 y?f(x)的图象右移 a、上移 b 个单位，得到函数 y?f(x?a)?b的图 象；若将曲线 f(x,y)?0的图象右移 a、上移 b个单位，得到曲线 f(x?a,y?b)?0 的图象 . 5. 互为反函数的两个函数的关系 f(a)?b?f?1(b)?a. 27.若函数 y?f(kx?b)存在反函数 ,则其反函数为 y? 1?1 f(x)?b,并不是 k 6 / 76 y?f ?1 (kx?b),而函数 y?f ?1 (kx?b)是 y? 1 f(x)?b的反函数 . k 6. 几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c. (2)指数函数 f(x)?a,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0. (3) 对 数 函 数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1). (4)幂函数 f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(1)?. 7 / 76 (5) 余弦函数 f(x)?cosx, 正 弦 函 数 g(x)?sinx ，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)， ? x f(0)?1,lim x?0 g(x) ?1. x 7. 几个函数方程的周期 (约定 a0) f(x)?f(x?a)，则 f(x)的周期 T=a； f(x)?f(x?a)?0， 1 8 / 76 (f(x)?0)， f(x)1 或 f(x?a)?(f(x)?0), f(x) 1 或 ?f(x?a),(f(x)?0,1?),则 f(x)的周期 T=2a； 2 1 (3)f(x)?1?(f(x)?0)，则 f(x)的周期 T=3a； f(x?a) f(x1)?f(x2) (4)f(x1?x2)?且 f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则 1?f(x1)f(x2) f(x)的周期 T=4a； 9 / 76 (5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a) ?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则 f(x)的周期 T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则 f(x)的周期 T=6a. 或 f(x?a)? 8. 分数指数幂 (1)a(2)a mn ? ? mn ? 10 / 76 1 mn . . ? ? 当 n?a； ?a,a?0 当 n 11 / 76 ?|a|?. ?a,a?0? 10. 有理指数幂的运算性质 (1)a?a?a rsrr s r?s (a?0,r,s?Q). (2)(a)?a(a?0,r,s?Q). (3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q). p 注：若 a 0， p是一个无理数，则 a 表示一个确定的实数上12 / 76 述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 . 33.指数式与对数式的互化式 rr rs logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0). 34.对数的换底公式 logmN (a?0,且 a?1,m?0,且 m?1, N?0). logma nn 推论 logamb?logab(a?0,且 a?1,m,n?0,且 m?1,n?1, N?0). 13 / 76 mlogaN? 11. 对数的四则运算法则 若 a 0， a1 ， M 0， N 0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN; M ?logaM?logaN; Nn (3)logaM?nlogaM(n?R). (2)loga 2 注：设函数 f(x)?logm(ax?bx?c)(a?0),记 ?b?4ac.若 f(x)的定义域为 2 R,则 a?0，且 ?0;若 f(x)的值域为 R,则 a?0，且 ?0.对于 a?0的情形 ,需要 14 / 76 单独检验 . 12. 对数换底不等式及其推论 1 ,则函数 y?logax(bx) a11 (1)当 a?b时 ,在 (0,)和 (,?)上 y?logax(bx)为增函数 . aa11 (2)(2)当 a?b时 ,在 (0,)和 (,?)上 y?logax(bx)为减函数 . aa 若 a?0,b?0,x?0,x? 推论 :设 n?m?1， p?0， a?0，且 a?1，则 logm?p(n?p)? logmn. logamlogan?loga 15 / 76 【例 1】求下列各式的值： ； 当 n?|3?|?3. 当 n2 m?n . 2 求该函数的图象恒过的定点坐标；指出该函数的单调性 . 2 时， a2?3x?a0?1. 32 所以，该函数的图象恒过定点 (,1). 3 16 / 76 u?2?3x 是减函数， 当 0?a?1 时， f(x)在 R 上是增函数；当 a?1时， f(x)在 R上是减函数 . 21 【例 3】求下列函数的单调区间： y?ax?2x?3； y?. x ?1 u2 解：设 y?a,u?x?2x?3. 解：当 2?3x?0，即 x? 由 u?x2?2x?3?(x?1)2?4 知， u 在 (?,?1上为减函数，在?1,?)上为增函数 . 根据 y?au的单调性，当 a?1 时， y关于 u 为增函数；当 0?a?1 时， y关于 u为减函数 . 当 a?1时，原函数的增区间为 ?1,?)，减区间为 (?,?1； 当 0?a?117 / 76 时，原函数的增区间为 (?,?1，减区间为 ?1,?). 函数的定义域为 x|x?0. 设 y?而根据 y? 1 ,u? 易知 u?为减函数 . u?1 1 的图象可以得到，在区间 (?,1)与 (1,?)上， y 关于 u 均为减函数 . u?1 在 (?,0)上，原函数为增函数；在 (0,?)上，原函数也为增函数 . x?x2f(x1)?f(x2) 【例 1】若 f(x)?ax(a?0,且 a?1)，则 f(1. )? 22 证 18 / 76 明 ： x1?x2 f(x1)?f(x2)x1?x2ax1?ax22 ?0. ?f()? ?a 222 x?x2f(x1)?fx(2) f(1. )? 19 / 76 22 bx 【例 2】已知函数 f(x)?2(b?0,a?0). ax?1 11 判断 f(x)的奇偶性； 若 f(1)?,log3(4a?b)?log24，求 a，b 的值 . 22?bx 解： f(x)定义域为 R， f(?x)?2?f(x)，故 f(x)是奇函数 . ax?1 b1 20 / 76 由 f(1)?，则 a?2b?1?0.又 log3(4a-b)=1，即 4a-b=3. a?12 a?2b?1?0由得 a=1， b=1. 4a?b?3 ? exa 【例 3】设 a 0， f(x)?是 R上的偶函数 . aex 求 a 的值； 证明 f(x)在 (0,?)上是增函数 exa 解： f(x)? 是 R 上的偶函数， f(x)?f(? x)?0. 21 / 76 aex exae?xa111 ?x?x?0?(?a)ex?(a?)e?x?0?(?a)(ex?e?x)?0. aeaeaaa ex e-x不可能恒为 “0” ， 当 1 a 0 时等式恒成立， a 1 a 在 (0,?)上任取 x1 x2， ex11111 f(x1)?f(x2)?x1?ex2?x2?(ex1?ex2)?(x1)?(ex1?ex2)(1?x1x2) x2 aeee?eee 22 / 76 (ex1?ex2)(ex1ex2?1)x1x2x1x2 e 1， x1 x2， e?e?1 ， ee 1， 0， ex1ex2 f(x1)?f(x2)?0 ， f(x) 是在 (0,?)上的增函数 【例 4】已知 1992 年底世界人口达到亿 . 若人口的平均增长率为 %，写出经过 t 年后的世界人口数 y与 t 的函数解析式； 若人口的平均增长率为 x%，写出 2016 年底世界人口数为 y与 x 的函数解析式 . 如果要使 2016 年的人口数不超过亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？ t* 解：经过 t年后的世界人口数为 y?54.?. 8?(1?)?0N12, 2016年底的世界人口数 y与 x的函数解析式为 y?(1?x?)18. 23 / 76 由 y?(1?x?)18?， 解得 x?100?所以，人口的年平均增长率应控制在 %以内 . 1)? 一、函数的定义 (概念 ) 一、映射 ,一一映射 ,单射和满射 1、单射： 设 f 是由集合 A到集合 B 的映射，如果 x,yA, 且 xy 等价于 f(x)f(y), 则称 f 为由 A 到 B 的单射。可理解成 “ 源不同则像不同 ” 。 2、满射： 值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下： 若函数为满射，则对任意 b，存在 a满足 f(a) = b。 二、函数的三要素 :定义域 ,值域 ,对应关系 2 (XX 广东理 1)已知函数 f(x)? 24 / 76 A x| x 1 1?x 的定义域为 M, g(x)=ln(1+x)的定义域为 N，则 MN = C x| 1 D ? B x| x 26、 5函数 y? 的定义域为 ( ) A (,1) C (1,?) 34 343 D (,1)? (1,+?) 4 25 / 76 B (,?) logsinx3的定义域和值域 f(x?1)?x2?1，求 f(x) 二、函数的单调性 一、定义 二、判断单调性的方法： 定义法： 在给定的区间上任取 x1， x2，且设 x1?x2； 作差； 定号下结论； (2)作商法： 若 f(x)为区间 I 上的单调递增函数， x1、 x2 为区间内两任意值，那么有： f(1)?f(2) 1?2 复合函数的单调性：对于函数 y?f(u)和 u?g(x)，如果函数u?g(x)在区间 (a,b) 26 / 76 上具有单调性，当 x?a,b?时 u?m,n?，且函数 y?f(u)在区间 (m,n)上也具有单调性，则复合函数 y?f(g(x)在区间 ?a,b?具有单调性。同增异减。 由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断： 对于两个单调函数 f(x)和 g(x)，若它们的 定义域分别为 I和 J，且 I?J?： (1)当 f(x)和 g(x)具有相同的增减性时，函数 F1(x)?f(x)?g(x)的增减性与 f(x) (或 g(x)相同， F2(x)?f(x)?g(x)、 F3(x)?f(x)?g(x)、 F4(x)? f(x) (g(x)?0)的增减性 g(x) 不能确定； (2)当 f(x)和 g(x)具有相异的增减性时，我们假设 f(x)为增函数， g(x)为减函数，那么： F3(x)?f(x)?g(x)增函数， 27 / 76 F1(x)?f(x)?g(x)、 F2(x)?f(x)?g(x)， F4(x)? f(x)g(x) (g(x)?0) F5(x)?(f(x)?0) g(x)f(x) 的增减性不能确定； 导数法：对 y=f(x)求导 三、复合函数的定义域 ,值域 ,单调性 四、导数 1、定义 f(x0?x)?f(x0 )f(x0?x)?f(x0) 28 / 76 ?f?(x0),lim ?x?0?x?0?x3?xf(x0?3?x)?f(x0)f(x0?x)?f(x0)f(x0?2?x)?f(x0)lim， lim,lim ?x?0?x?0?x?0?x?x?x 2、几何意义 问 : lim 函数复习主要知识点 一、函数的概念与表示 1、映射 映射：设 A、 B是两个集合，如果按照某种映射法 则 f，对于集合 A中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合 A到集合 B 的映射，记作 f： AB 。 注意点：对映射定义的理解。判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 29 / 76 2、函数 构成函数概念的三要素 定义域 对应法则 值域 两个函数是同一个函数 的条件：三要素有两个相同 例 1、下列各对函数中，相同的是 A、 f(x)?lgx2,g(x)?2lgx B、 f(x)?lgC、 f(u)? 1?u1?u ,g(v)? ?v1?v x?1x?1 ,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1) 2x D、 f=x， f(x)? 30 / 76 例 2、 M?x|0?x?2,N?y|0?y?3给出下列四个图形，其中能表示从集合 M到集合 N的函数关系的有 A、 0个 B、 1个 C、 2 个 D、 3个 二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： 分式的分母不为零； 偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； 对数函数的真数必须大于零； 指数函数和对数函 数的底数必须大于零且不等于 1； 例 .函数 y? 2 求函数定义域的两个难点问题 例 3： 已知 f(x)的定义域是 -2,5,求 f(2x+3)的定义域。 的 )定义域是 -1,3,求 f()x的定义域。 已知 f(2x 1 _ 31 / 76 例 4：设 f(x)?lg2?xx2?x ，则 f()?f(2 2 x )的定义域为 _ 变式练习： f(2?x)?4?x2 ，求 f(x)的定义域。 三、函数的值域 1 求函数值域的方法 直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； 32 / 76 换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 xR 的分式； 分离常数：适合分子分母皆为一次式； 单调性法：利用函数的单调性求值域； 图象法：二次函数必画草图求其值域； 利用对号函数 几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例： 1 y?1x2 ?2x?3 2 33 / 76 f(x)?2? 3 y?x?2x?1 4. y? 3xx2 ?4 5. y?x2 ?1 6. (分离常数法 ) y? xx2 ?1 x?1 y? 34 / 76 3x?12x?1 (?2?x?4) 7. (单调性 )y?x?32x (x?1,3) 8. y? y? 结合分子 /分母有理化的数学方法 ) 9 (图象法 )y?3?2x?x2(?1?x?2) 10 (对号函数 )y?2x? 11. (几何意义 )y?x?2?x?1 35 / 76 8x (x?4) 四函数的奇偶性 1定义 : 设 y=f(x)， xA ，如果对于任意 xA ，都有f(?x)?f(x)，则称 y=f(x)为偶函数。 如果对于任意 xA ，都有 f(?x)?f(x)，则称 y=f(x)为奇函数。 2.性质： y=f(x) 是偶函数 ?y=f(x)的图象关于 y 轴对称 , y=f(x)是奇函数 ?y=f(x)的图象关于原点对称 , 若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0 奇 奇 =奇 偶 偶 =偶 奇 奇 =偶 偶 偶 =偶 奇 偶 =奇 两函数的定义域D1 ， D2， D1D2 要关于原点对称 3奇偶性的判断 看定义域是否关于原点对称 看 f(x)与 f(-x)的关系 ? 例： 36 / 76 1 已知函数 f(x)是定义在 (?,?)上的偶函数 . 当 x?(?,0)时， f(x)?x?x4，则当 x?(0,?)时， f(x)? 2 已知定义域为 R 的函数 f(x)? ?2?b2 x?1x ?a 是奇函数 。 22 求 a,b 的值；若对任意的 t?R，不等式 f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求 k的取值范围； 3 已知 f(x) 在 上 有 定 义 ， 且 满 足 x,y?(?1,1) 有37 / 76 f(x)?f(y)?f(证明： f(x)在上为奇函数； 4 若奇函数 f(x)(x?R)满足 f(2)?1， f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)?_ x?y1?xy ), 五、函数的单调性 1、函数单调性的定义： 2 设 y?f?g?x?是定义在 M上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 y?f?g?x?在 M上是减函数；若 f(x) 与 g(x)的单调性相同，则 y?f?g?x?在 M上是增函数。 ? 例： 1 判断函数 f(x)?x3(x?R)的单调性。 2 函数 f(x)对任意的 m,n?R，都有 f(m?n)?f(m)?f(n)?1，并且当 x?0 时， f(x)?1， 求证： f(x)在 R上是增函数； 38 / 76 若 f(3)?4，解不等式 f(a2?a?5)?2 3 函数 y?log ?(3a?1)x?4a,x?1 4(高考真题 )已知 f(x)?是 (?,?)上的减函数，那么 a的取值范围是 logax,x?1? (6?x?2x)的单调增区间是 _ 2 (0,1) (0,) ,) 3 73 39 / 76 111 ,1) 7 1 六函数的周期性： 1若 f(x?T)?f(x)(T?0)?f(x)是周期函数， T是它的一个周期。 说明： nT 也是 f(x)的周期。若 f(x?a)?f(x?b)，则 f(x)是周期函数， b?a是它的一个周期 ? 对照记忆： f(x?a)?f(x?a)说明： f(a?x)?f(a?x)说明： 2若 f(x?a)?f(x)； f(x?a)? 40 / 76 1f(x) ； f(x?a)? 1f(x) ；则 f(x)周期是 2a ? 1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x),则 ,f(6)的值为 (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)2 2 定义在 R 上的偶函数 f(x)，满足 f(2?x)?f(2?x，在区间 -2,0上单调递减， 设 41 / 76 a?f(?),b?fc?f(5)，则 a,b,c 的大小顺序为 _ 1?f(x)1?f(x) 3 已知 f (x)是定义在实数集上的函数，且 f(x?2)? ,若 f(1)?2?3,则 f (XX)= . 4 已知 f(x)是 (-?， ?)上的奇函数， f(2?x)?f(x)，当 0?x?1时， f(x)=x，则 f()=_ 5 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足f(2?x)?f(x)，当 x?0,2时 f(x)?2x?x2 求证： f(x)是周期函数； 当 x?2,4时，求 f(x)的解析式； 计算： 七、反函数 1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤 解 (2)换 (3)写定义域。 3、关于反函数的性质 42 / 76 y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称； y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性； 已知 y=f(x)，求 f-1(a)，可利用 f(x)=a，从中求出 x，即是 f-1(a)； f-1f(x)=x; 若点 (a,b)在 y=f(x)的图象上，则 (b,a)在 y=f-1(x)的图象上； -1 y=f(x)的图象与其反函数 y=f(x)的图象的交点一定在直线y=x上 ; 例：设函数 y?f(x)的反函数为 y?f 1 1 ?1 (x)，且 y?f(2x?1)的图像过点 ( 43 / 76 12 ,1)，则 y?f ?1 (x)的图像必过 (,1) (1,) (1,0) (0,1) 2 2 八二次函数 (涉及二次函数问题必画图分析 ) 1二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的图象是一条抛物线，对称轴 x2二次函数与一元二次方程关系 一元二次方程 ax 2 44 / 76 ? ?b2a ，顶点坐标 (? b2a , 4ac?b 4a 2 ) ?bx?c?0(a?0) 的 根 为 二 次 函 数f(x)=ax+bx+c(a0)y?0 的 x的取值。 45 / 76 2 2 一元二次不等式 ax?bx?c?0(?0)的解集 (a0) 二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)， xA 其中，x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； 46 / 76 (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义 域还要保证实际问题有意义 . ? ； 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x为横坐标，函数值 y为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A) 的图象 C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 47 / 76 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无 穷区间 区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A?B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f ： A?B” 对于映射 f： AB 来说，则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值48 / 76 域的并集 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA), 则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、 g 的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x， xD ，且 x 2 作差 f(x) f(x)； 3 变形； 4 定号； 49 / 76 5 下结论 1 2 1 2 1 2 1 2 (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)50 / 76 的单调性密切相关，其规律： “ 同增异减 ” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2 确定 f( x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f( x) = 51 / 76 f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)=1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 .函数的 解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10函数最大值 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 2 利用图象求函数的最大值 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递增，在区间 b， c52 / 76 上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递减，在区间 b， c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b处有最小值 f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： y? y?2.设函数 f(x)的定义域为 0， 1，则函数 f(x2)的定义域为 _ _ 3.若函数 f(x?1)的定义域为 ?2， 3，则函数 f(2x?1)的定义域是 ?x?2(x?1) ?4. 函数 ，若 f(x)?3 ，则 x= f(x)?x2(?1?x?2) 53 / 76 ?2x(x?2)? 5.求下列函数的值域： y?x2?2x?3 (x?R) y?x2?2x?3 x?1,2 (3) y?x y6.已知函数 f(x?1)?x2?4x，求函数 7.已知函数 f(x)， f(2x?1)的解析式 f(x)满足 2f(x)?f(?x)?3x?4，则 f(x)= 。 8.设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x?0,?)时 ,f(x)?x(1,则当 x?(?,0)时 f(x)在 R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： 54 / 76 y?x2?2x?3 yf(x)= y?x2?6x?1 10.判断函数 y?x3?1 的单调性并证明你的结论 11.设函数 f(x)? 1?x2判断它的奇偶性并且求证： 1 f()?f(x) 2 1?xx 第三章 基本初等函数 一、指数函数 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 x?a，那么 x 叫做 a的 n 次方55 / 76 根，其中 n1，且 nN * n ? 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作 0?0。 当 n 是奇数时， an?a，当 n 是偶数时， an?|a|?2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ?a(a?0) ?a(a?0) a?a(a?0,m,n?N,n?1)， a 56 / 76 mn m* ? mn ? 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) 57 / 76 ? 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 a a?a r r r?s (a?0,r,s?R)； rsrs(a)?a r r s (a?0,r,s?R)； (ab)?aa 指数函数及其性质 58 / 76 (a?0,r,s?R) x 1、指数函数的概念：一般地，函数 y?a(a?0,且 a?1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 f(a),f(b)或f(b),f(a)； 若 x?0，则 f(x)?1； f(x)取遍所有正数当且仅当 x?R； 对于指数函数 f(x)?ax(a?0 且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 x 59 / 76 1对数的概念：一般地，如果 a?N(a?0,a?1)，那么数 x 叫做以 a为底 N 的对数，记作： x?logaN 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 ax?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 lnN ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ab N? 60 / 76 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 loga(M N)?logaM logaN； M ?logaM logaN； N 3 logaMn?nlogaM (n?R) 2 loga 注意：换底公式 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的 “ 确定性、互异性、无序性 ” 。 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 61 / 76 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 2 如：集合 A?x|x?2x?3?0， B?x|ax?1? ? 若 B?A，则实数 a 的值构成的集合为 3. 注意下列性质： 集合 ?a1， a2， ?， an?的所有子集的个数是 2n； 要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 a1 来说，有 2 种选择。同样，对于元素 a2, a3,?an,都 有 2 种选择，所以，总共有 2种选择， 即集合 A 有 2 个子集。 当然，我们也要注意到，这 2种情况之中，包含了这 n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 2?1，非空真子集个数为 2?2 n 62 / 76 n n n n 若 A?B?A?B?A， A?B?B； 德摩根定律： CU?A?B?CUA?CUB?， CU?A?B?CUA?CUB? 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？ 如：已知关于 x 的不等式 ax?5 63 / 76 ?0的解集为 M，若 3?M且 5?M，求实数 a x2?a 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗？映射 f： AB ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ 注意映射个数的求法。如集合 A中有 m个元素，集合 B中有n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 nm个。 如：若 A?1,2,3,4， B?a,b,c；问： A到 B的映射有 个，B到 A的映射有 个； A到 B的函数有 个，若 A?1,2,3，则 A 到 B 的一一映射 有 个。 函数 y?(x)的图象与直线 x?a交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ 64 / 76 相同函数的判断方法 ： 表达式相同； 定义域一致 (两点必须同时具备 ) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数 y? x4?xlg?x?3? 2 的定义域是 函数定义域求法： ? 分式中的分母不为零； ? 偶次方根下的数大于或等于零； 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 f(x)的定义域是 a， b， b?a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是 _。 例 若函数 y?f(x)的定义域为 ?,2?，则 的定义域65 / 76 为 。 2 11、 函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数 y= ? ?1? 1 的值域 x 2、配方法 66 / 76 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y=x2-2x+5， x?-1， 2的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 b 型：直接用不等式性质 2 k+x bx b. y?2型 ,先化简，再用均值不等式 x?mx?n x11 67 / 76 例： y? 121+x2 x+x x2?m?x?n? c. y?2型 通常用判别式 x?mx?nx2?mx?n d. y?型 x?n 法一：用判别式 a. y? 法二：用换元法，把分母替换掉 2 68 / 76 x2?x?1?+1 1 例： y?1?2?1?1 x?1x?1x?1 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为 简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作69 / 76 用。 例 求函数 y=x+x?1 的值域。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：求函数 y= 倒数法 有时， 直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数 y= 12. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件， 如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误， 与到手的满分失之交臂 如： f 70 / 76 (x?2) 2 + (x?8) 2 的值域。 x?2 的值域 x?3 ? x?1?ex?x，求 f(x). ? 71 / 76 15 . 如何用定义证明函数的单调性？ 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法： 根据定义，设任意得 x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求 f(x1)?f(x2)f(x1) 的正负号或者与 1 的关系 x1?x2f(x2) (2)参照图象： 若函数 f(x)的图象关于点 (a，