容斥原理讲解.doc

容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是： 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 例、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？结论：（公式一） 如果被计数的事物有A、B两类，那么：（A类和B类）事物个数 A个数 B个数既是A类又是B类的事物个数。AB=A+BAB 例题1、某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？例题2、一个班有45名学生，订阅小学生数学报的有15人，订阅今日少年报的有10人，两种报纸都订阅的有6人。（1）订阅报纸的总人数是多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？ 例题3、在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？ 例、某校5（1）班，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，三项都参加的有8人，这个班有多少人？那么根据题意，我们有以下七条等式：(1)A+D+E+G =25； (2) B+D+F+G =34； (3) C+E+F+G = 22； (4) D+G =18；(5) E+G =12； (6) F+G =14； (7) G = 8。 现在我们要求的是A+B+C+D+E+F+G=？ 把头三条等式加起来，我们得到：A+B+C+2D+2E+2F+3G = 81结果包含了多余的D、E、F和G，必须设法把多余的部分减去。由于等式(4) (5) (6)各有一个D、E和F，减去这三条等式，便可以把多余的D、E和 F减去，得A+B+C+D+E+F = 37。可是这么一来， 本来重复重现的G却变被完全减去了，所以最后还得把等式(7)加上去，得最终结果为A+B+C+D+E+F+G = 45，即该班共有45名学生。 结论（公式二） 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类事物个数= A类事物个数+ B类事物个数+C类事物个数既是A类又是B类的事物个数既是A类又是C类的事物个数既是B类又是C类的事物个数+既是A类又是B类而且是C类的事物个数。 ABC=A+B+CABACBC A BC 例题4、设某班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？例题5、在一个炎热的夏日，几个小朋友去 冷饮店，每人至少要了一样冷饮， 其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，