经济地理学 新.ppt

,第三章多维随机变量及其分布,二维随机变量及其分布,3.1,定义:把n个随机变量的整体()称为n维随机变量,同时投掷两个骰子，观察两个骰子出现的点数。设第一个骰子出现的点数为X，第二个骰子出现的点数为Y，则X可能取值为1，2，3，4，5，6，Y也可能取值为1，2，3，4，5，6，则两个骰子出现的点数(X,Y)就是二维随机变量,引例一,引例二,炮弹命中点的平面位置要由水平距离X和垂直距离Y来确定，则炮弹命中点的平面位置（X,Y)也是二维随机变量,引例三,一炉钢的综合质量至少要由钢的硬度（X），含碳量（Y），含硫量（Z）等多个变量来描述，则一炉钢的综合质量至少要用三维随机变量（X,Y,Z）来表示,对于随机试验E，是其样本空间。X(w)和Y(w)是定义在样本空间上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。,二维随机变量的定义,X(w),Y(w),w.,(x,y),二维分布函数,联合分布函数,设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P(Xx,Yy)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。,复习：一维随机变量分布函数的性质,2.,1.x1x2,F(x1,y)F(x2,y)y1X2).,例8：设(X,Y)在上服从均匀分布，求其分布函数F(x,y).,解：由于区域D的面积为6，所以(X,Y)的分布密度为,(2)当,(1)当,(3)当,(4)当,(5)当,综上所述,F(x,y)=,0 x0,|0,即：,对一切x,y,均有：故X,Y独立,y0,解：,0x1,0y1,由于存在面积不为0的区域，,故X和Y不独立.,例8.设二维随机变量(X,Y)的分布密度为：,求(X,Y)关于X,Y的边缘分布密度,并讨论X与Y的独立性。,(X,Y)N(1,2,12,22,),XN(1,12),YN(2,22),若(X,Y)N(1,2,12,22,),X与Y相互独立,=0,例9.设(X,Y)在区域G=(x,y):0y2x+2,-1xz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1-P(Xz)P(Yz),设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=0,1，,n),用与二维时完全类似的方法，可得,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.,留作课下练习.,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,例7.某元件由两个相互独立的元件A1,A2连接而成，其连接方式分别为：S1:串联;S2:并联。设A1,A2的寿命X,Y服从指数分布。求两种系统S1,S2的寿命的概率密度函数。,二维随机变量的条件分布,3.4,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.,这个分布就是条件分布.,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.,体重X,身高Y,体重X的分布,身高Y的分布,现在若限制1.70,有P(y-0,若,存在,则称此极限为在Y=y下，随机变量X的条件概率分布函数.,为已知Y=y下，X的条件概率密度函数.,为已知X=x下，Y的条件概率密度函数.,对很小的dx和dy，fX|Y(x|y)dx表示已知Y