对坐标的曲线积分.ppt

一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算,10.2对坐标的曲线积分,三、两类曲线积分之间的联系,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,变力沿曲线所作的功,质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B求变力F(xy)所作的功,提示,把L分成n个小弧段L1L2Ln,求功的过程,变力在Li上所作的功的近似值为,变力在L上所作的功的近似值为,变力在L上所作的功的精确值为,其中是各小弧段长度的最大值,F在Li上所作的功WiF(ii)si,光滑曲线,对坐标的曲线积分,设函数P(xy)、Q(xy)在有向光滑曲线弧L上有界把L分成n个有向小弧段L1L2Ln其中Li是从(xi1yi1)到(xiyi)的小弧段记xixixi1yiyiyi1在小弧段Li上任取一点(i)令为各小弧段长度的最大值,对坐标的曲线积分,在积分中P(xy)、Q(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段,说明,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分,对坐标的曲线积分,说明,设为空间内一条光滑有向曲线弧函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上有定义我们定义,对坐标的曲线积分的简写形式,在应用上经常出现的是,上式可记为,其中F(xy)P(xy)iQ(xy)jdrdxidyj,类似地有,其中AP(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)kdrdxidyjdzk,对坐标的曲线积分的性质,性质1设、为常数则,性质2若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2,性质3设L是有向光滑曲线弧L是L的反向曲线弧则,则,提示,二、对坐标的曲线积分的计算,质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为,另一方面在L上任取一小段有向弧其起点和终点对应的参数分别为t和tdt得功元素,F(t)(t)dr,dr(dxdy)(t)dt(t)dt),dW,设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t)y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和,图形,F(t)(t)(P(t)(t)Q(t)(t),二、对坐标的曲线积分的计算,质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为,另一方面在L上任取一小段有向弧其起点和终点对应的参数分别为t和tdt得功元素,F(t)(t)dr,P(t)(t)(t)dtQ(t)(t)(t)dt,dW,设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t)y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和,于是,二、对坐标的曲线积分的计算,质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为,设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t)y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和,这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算,定理(对坐标的曲线积分的计算公式),应注意的问题下限a对应于L的起点上限对应于L的终点不一定小于,设L由x(t)y(t)给出L以t为起点以t为终点则,设空间曲线由x(t)y(t)z(t)给出以t为起点以t为终点问,讨论,提示,设L由x(t)y(t)给出L以t为起点以t为终点则,解,L分为AO和OB两部分,第一种方法以x为积分变量,上从点A(11)到点B(11)的一段弧,设L由x(t)y(t)给出L以t为起点以t为终点则,解,第二种方法以y为积分变量,在L上xy2y从1变到1因此,上从点A(11)到点B(11)的一段弧,解：,例2计算其中L为圆周(xa)2y2a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).,LL1L2其中,L1xaacostyasintt从0变到,L2xxy0x从0变到2a,因此,(1)Lyx2x从0变到1所以,解,(2)Lxy2y从0变到1所以,(1)抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(00)到B(11)的一段弧(3)从O(00)到A(10)再到B(11)的有向折线OAB,(3)OAy0x从0变到1ABx1y从0变到1,解,011,(1)抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(00)到B(11)的一段弧(3)从O(00)到A(10)再到B(11)的有向折线OAB,解:,例4求其中为有向闭折线ABCA这里的ABC依次为点(100)(010)(001).,ABBCCA其中,ABxxy1xz0x从1变到0,BCx0y1zzzz从0变到1,CAxxy0z1xx从0变到1,故,提示,按逆时针方向移动到点B(0b)F的大小与质点到原点的距离成正比方向恒指向原点求力F所作的功W,解,椭圆的参数方程为xacostybsintt从0变到,质点在点M(xy)处所受到的力为,例,5,一个质点,在力,F,的作用下从点,A,(,a,0),沿椭圆,按逆时针方向移动到点B(0b)F的大小与质点到原点的距离成正比方向恒指向原点求力F所作的功W,解,质点在点M(xy)处所受到的力为,三、两类曲线积分之间的联系,说明指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的切向量,设(coscos)为光滑有向曲线弧L上点(xy)处的单位切向量L的参数方程为x(t)y(t)L的起点和终点所对应的参数分别为a和b则,三、两类曲线积分之间的联系,设(coscos)为光滑有向曲线弧L上点(xy)处的单位切向量L的参数方程为x(t)y(t)L的起点和终点所对应的参数分别为a和b则,三、两类曲线积分之间的联系,设(coscos)为光滑有向曲线弧L上点(xy)处