帕雷托优化方法.doc

采用多目标一致性遗传多样性算法（MUGA）的五自由度车辆振动模型的帕雷托优化摘 要对于五自由度车辆振动模型的帕雷托优化问题，本文提出了一种新的多目标一致性遗传多样性算法，它具有用来保持多样性的-消除算法，并且同时考虑了五个相互矛盾的目标函数。这五个目标函数分别是座椅加速度，前轮速度，后轮速度，悬挂质量和前轮的相对位移和悬挂质量与后轮的相对位移。其次，在两目标优化过程中，选取了不同分组的成对目标函数。通过将本文所得结果与文献中的优化结果进行比较，证实了本文所述方法的优越性。研究表明，五目标的优化结果涵盖了两目标的优化结果，因此，给车辆振动模型的最优设计提供了更多的方法选择。关键词：车辆振动模型，帕雷托，遗传算法，多目标优化多样性，MUGA1. 绪论在过去的几十年中，如何控制发动机工作产生的机器振动问题，得到了广泛的研究。特别是，发动机和路面激励带来的不好的振动结果，会影响车辆的运动，进而影响驾驶舒适性。Griffin等（1982），Rakheja（1985），和Barak（1991）已经表明，车辆内部振动会显著影响车辆的舒适性和抓地能力。为减少这种振动，汽车厂商在道路激励和车身之间设计并安装了悬架系统。Bouazara（1997）研究了悬架系统参数对车辆模型振动的影响。同年，Hrovat（1991）采用了三维振动模型，而不是两维模型，从而获得了更精确的结果。为了改善车辆性能，Crolla（1992）应用了半主动悬架模型。Bouazara和Richard（1996）在三维空间中展示了他们的振动模型，证明该模型具有很好的车辆行为预估能力。对一个八自由度的振动模型，Bouazara和理查德（2001）还研究了三种类型的悬架系统（主动，半主动和被动）。在他的研究中，Bouazara综合所有的性能标准作为单目标优化过程中的目标函数。在单目标优化设计的过程中，为了得到目标函数，他用重量系数调整舒适性和抓地力。Gundogdu（2007年）提出了一个四自由度四分之一汽车座椅和悬架系统的优化方法，他采用遗传算法确定一组参数，得到最佳性能的驾驶员座椅。目标函数设置为求多目标函数的最小值，该多目标函数由悬架位移、轮胎偏转，以及头部加速度和波峰因数（CF）组成，这是设计师们以前未做过的。Al Khatib等人（2004）应用遗传算法（GA）来解决一个线性单自由度（1-DOF）隔振装置的优化问题，并且该方法被沿用到一个线性四分之一汽车悬架模型的优化上。最佳的解决方案是通过利用GA和成本函数力求最大限度地减少绝对加速度均方根值由于相对位移均方根值的变化产生的变化。事实上，在工程设计优化一直是很重要，受重视的，特别是在解决复杂的现实设计问题上。在多目标优化问题上，一般有几个目标或成本函数（目标矢量）需要同时进行优化（最小化或最大化）。这些目标往往互相冲突，当一个目标函数得到改进时，另一个就会劣化。因此，不存在能够使所有目标函数得到达到最优的单一最佳解决方案。然而，有一组最佳的解决方案，就是众所周知的Pareto最优解（SRINIVAS and Deb，1994，Fonseca and Fleming，1993，Coello Coello and Christiansen，2000;Coello Coello et al，2002），他们显著地区分了单目标和多目标优化问题的本质。V. Pareto（1848-1923）是法国人，意大利的经济学家，是他第一次提出经济学多目标优化的概念Pareto(1896)。在多目标优化问题中（MOPS），目标函数空间里的一个概念：帕累托前沿，它代表一套解决方案，其包含的各个方案互不支配，但均优于搜索空间里的其余答案。显然，由于在这样的Pareto最优解，它包括这些解决方案不会互相支配，所以改变设计变量的矢量，并不能使所有目标同时改进。因此，这样的变化会导致至少一个目标变差成为劣解。因此，帕累托集中的每个解决方案至少有一个目标劣于在这个帕累托集中的另一个解决方案，即使它们都优于搜索空间的其余解决方案。进化算法内部的对应关系使其能够解决多目标优化问题。最早对进化搜索的使用进行报道的是Rosenberg在20世纪60年代进行的。自那时以来，研究人员越来越有兴趣于通过制定不同的进化算法来解决多目标优化问题。在这些方法中， Schaffer (1985)提出的矢量评估遗传算法（VEGA），Fonseca and Fleming（1993年）提出的Fonseca and Flemings遗传算法（FFGA），Srinivas、Deb (1994)提出的非支配排序遗传算法（NSGA）和Zitzler、Thiele(1998)提出的强度帕累托进化算法（SPEA）和Knowles、Corne(1999)提出的帕累托归档进化策略（PAES）都是最重要的。对于这些方法的优劣，Coello Coello,1999和Khare等人(2003)，给出了一个很好的和全面的调查报告。Coello Coello在http:/www.lania.mx/ ccoello/ EMOO/上基于互联网展示了许多相关论文集合，这些文献资源使这些方法更为容易理解。大体上，基于帕累托方法的NSGA和FFGA都使用了由Gold-berg (1989)最早提出的进化非支配排序策略。在这样的进化多目标优化方法中，有两个重要的问题需要考虑：不断向帕雷托最优系列或其前端进行搜索；避免过早收敛或在种群之中保持基因的多样性Toffolo和Benini（2003）。主导方法的缺失推动了非支配排序算法的改善Goldberg(1989)，其中使用了直接精英原理取代原来的共享原理，来提高种群多样性。这种改良的算法体现了多目标优化问题的最高水准Coello Coello and Becerra(2003)。通过一些问题的研究和测试，比较SPEA和其他进化算法，会发现SPEA明显优于其他多目标进化算法（Zitzler等人，2000）。一些发表文献（Toffolo and Benini，2003）的深入研究却证实，NSGA（NSGA-II）的精英变种与SPEA的性能相等。在本文中，对于五自由度的车辆模型多目标优化问题，采用了一种新的多目标一致遗传多样性算法（MUGA），该算法中包含了所谓多样性保护机制的-消除消除算法。需要进行最小化的目标函数是座椅加速度(Zc)，前轮速度(Z1)，后轮速度(Z2)，悬挂质量和前轮的相对位移（d1）和悬挂质量与后轮的相对位移（d2）。振动优化中所使用的设计变量是座椅阻尼系数（Css），悬架阻尼系数（Cs1和Cs2），座椅刚度系数（Kss），悬架刚度系数（Ks1和Ks2），以及座椅相对于质心的位置。文中使用了成对的两个目标优化过程和五个目标优化过程。五个目标的优化是借由帕雷托前沿的叠加图，而使用不同的两个目标优化过程实现的。显然，通过多目标优化过程得到的帕雷托前沿叠加图可以证实平衡情况下的最有设计。与文献中的其他方法相比，此方法中这些设计点的时域振动特性表现更好。2. 帕雷托多目标优化多目标优化，这也叫多标准优化或向量的优化，它的定义：满足约束的条件下，寻找一个决定性变量的向量，使其对于所有的目标函数，都能给出合理的值(Coello Coello and Christiansen,2000;Jamali et al,2010)。在一般情况下，它可以数学定义为找到一个矢量去优化 （1）使其满足m个不等式约束条件 （2）以及p个等式约束条件 （3）其中，是决定或设计变量的矢量，是要么最大要么最小的目标函数的矢量。一般，假设所有的目标函数都要求最小。这种基于帕雷托方法的多目标最小化问题可以使用这些定义来表述。2.1. 帕雷托支配的定义矢量支配矢量（记为），当且仅当 换句话来说就是，当余下的us要么小于或等于相应的vs时，至少存在一个uj比vj小。2.2. 帕雷托最优的定义对于点（在的可行域中，且满足等式（2）和（3）相对于所有的是帕雷托最优点（最小），当且仅当。或者，也可以表述为。换句话来说，根据帕雷托支配的定义，如果没有其他点可以支配，那么就是帕雷托最优点（最小）。2.3. 帕雷托集的定义对于一个给定的多目标优化问题，一个帕雷托集就是包含所有帕雷托最优向量的设计变量的集合。换句话说就是，在中没有一个设计变量的矢量可以支配任意的。对于给定的多目标优化问题，帕雷托前沿是一个目标函数向量的集合，通过帕雷托集合中的设计变量可以得到。即。换句话来说就是，帕雷托前沿是由映射得到的目标函数的集合。由于进化算法自身属性适用于多目标优化问题，所以在这一类问题上被广泛使用。这可能主要是因为它的并行或基于群体的搜索方法。因此，在解决多目标优化问题时，这一经典算法中的许多难点和缺陷都被忽略不计。例如，不必再多次运行来寻找帕雷托前沿，或者用权衡值来决定每个目标的重要性。通过这种方式，原来Goldberg Goldberg(1989)提出的非支配性排序过程就成为了不同版本的优化算法的催化剂(Srinivas and Deb,1994;Fonseca and Fleming,1993)。然而，非常重要的一点是，要充分保证种群中的基因多样性。在多目标遗传算法中，这一点在许多相关文献作品中经常被提及Toffolo and Benini (2003)。如果这种基因多样性能够被很好地保存下来，那么多目标优化问题中的过早收敛就可以及时避免，而最终结果也会依照帕雷托前沿成为定向的。基于帕雷托方法的NSGA-Debet al.(2002)在工程多目标优化问题中得到广泛使用，这主要得益于在帕雷托前沿产生分级时，它具有简单而有效的非支配分级过程。但是，在先进的多目标遗传算法中Coello Coello and Becerra(2003)，这种繁琐的方法就保持多样性方面并不有效，尤其是当问题中有2个以上的目标函数时(Nariman-Zadeh et al., 2005; Jamali et al.,2010)。此篇文章中，提出了一种叫做MUGA的多目标统一遗传多样性算法，它可以适用于具有很多目标函数（尤其是2个目标以上）的多目标优化问题。2.5. 多目标统一遗传多样性算法（MUGA）多目标统一遗传多样性算法（MUGA）使用非支配排序机制以及-消除消除多样性保留算法来更为精确地得到多目标优化问题中的帕雷托最优解。2.5.1. 非支配排序方法非支配解的排序理念起源于Goldberg(1989)，经常被用于不同的进化多目标优化算法，NSGA-Deb et al.(2002)中就有使用。这种算法拿种群中的每个个体与其他的进行比较，从而判定其非支配性。一旦发现第一个前沿，它的所有的非支配个体将会从种群中移出，对于次一级前沿，此过程不断重复，直到所有的种群都得到排序，分到不同的前沿中。组建前沿的排序过程可以通过比较种群中的所有个体而轻易得到，包括前沿中的非支配个体。这一过程的具体步骤如下：1. 得到种群（pop）2. 将第一个个体作为前沿中的，使；3. 将种群中的其他个体与中的做比较；如果，则用代替如果，继续比较；否则，把归入，继续比较；4. 前沿结束。显而易见，中的非支配解的数量一直增加，直到不再发现新的解。在这个过程中，所有发现的非支配个体都从主要种群中被转移出来，然后发现另一个前沿的过程可能被再次完成。这个过程一直重复，直到所有的种群都被分到不同的前沿中。需要注意的是，最终一代的第一级前沿组成了多目标优化问题的帕雷托最优解。2.5.2. -消除消除多样性保持方法-消除消除多样性方法代替了NSGA-Deb et al.(2002)的距离配制方法，在这一方法中，所有的翻版和-相似个体都会被识别并且从种群中剔除。因此，基于的一个值作为消除临界值，一个前沿中的所有个体，符合限制条件的个体都被消除。应该注意的是，这种-相似个体同时存在于目标空间以及与之相关的设计变量空间。这将保证在设计变量中非常不同而在目标空间中有-相似的个体，不会被消除。图1就是-消除方法的伪码。显然，翻版和-相似个图1 -消除算法伪码体都会被任意产生的新的具有相同号码的个体取代。同时，这将有助于更有效地对所给的多目标优化问题空间进行搜索。当前沿而非整个种群缩短为-相似个体时，这种替代将不会发生。2.5.3. MUGA的主要算法MUGA的主要算法使用了非支配排序策略和-消除多样性保持方法（见图2）。图2首先随机产生一个种群。使用基因运算，产生相同大小的种群。基于-消除算法，整个种群通过移出-相似个体而缩减。这一阶段，种群通过随机产生的个体，被再次充实，这将有助于更有效地对所给的多目标优化问题空间进行搜索。然后，整个种群通过非支配排序过程进行排序。得到的前沿被用来组成主要种群。必须注意的是，缩减为与种群大小相符的前沿，也要被-消除过程评估，以辨别-相似个体。这一过程要保证与种群大小误差为+10%，以避免种群大小调节的过度计算差。最后，第一等级前沿的个体数量在一定代数之间变化，否则随机产生的个体就要不时地插入主要种群中（例如，每20代具有不区分第一等级前沿）。图2 MUGA主要算法3. 车辆振动模型的多目标优化图3为参照(Bouazara (1997)的装有被动悬架的五自由度车辆模型。该模型由一个簧载质量和与它连接的三个非簧载质量（即轮胎和座椅）组成。此外，考虑自由度结果、线性运动（簧载和非簧载质量的垂直运动）以及簧载质量转动（俯仰运动），与加速度，速度和运动之间的关系，写出运动方程。参数有，它们分别代表车辆固有参数前轮质量，后轮质量，座椅质量，簧载质量，簧载质量惯性矩，前轮刚度系数，后轮刚度系数，前后轮相对于质心的位置。设计变量有和以及和，它们分别图3 Bouazara (1997)被动悬架五自由度车辆振动模型表示座椅刚度系数、悬架刚度系数、座椅阻尼系数、悬架阻尼系数、座椅相对于质心的位置。此外，下标的1和2代表前后轴。在这一例子中需要关注的是，座椅是由线性弹簧和减震器组成。图4为二次冲击激励产生的动态模型。图4 二次冲击激励（displacement：位移）表1模型固定参数值 3.1. 动态运动微分方程管理根据牛顿欧拉方程，可以列出关于自由度、小角度的线性运动微分方程，如下：其中和分别代表座椅垂直位移、簧载质量重心的垂直位移、簧载质量末端的垂直位移以及转动（俯仰运动）。另外，和代表座椅垂直速度，轮胎垂直速度和簧载质量末端垂直速度。和分别代表座椅垂直加速度，悬挂质量的重心的垂直加速度，轮胎垂直加速度和旋转加速度（俯仰加速度）。最后，和分别表示如图4中所示的来自路面的二次冲击激励。假设车辆以恒定的速度通过二次冲击，且后轮与前轮的轨迹相同，仅存在一个时间延迟。需要输入的固定参数的值见表1 Bouazara (1997)。文中， 是基于座椅加速度、前轮速度、后轮速度、簧载质量与前轮相对位移（d1）、簧载质量与后轮相对位移（d2）这五个不同的目标所给出的七个设计变量。本文建议优化点 参考文献32建议优化点图5 两目标优化中的座椅加速度和前轮速度的帕累托前沿本文建议优化点 参考文献32建议优化点图6两目标优化中的座椅加速度和后轮速度的帕累托前沿本文建议优化点 参考文献32建议优化点图7两目标优化中的簧载质量和前轮之间的相对位移的帕累托前沿本文建议优化点 参考文献32建议优化点图8两目标优化中的簧载质量和后轮之间的相对位移的帕累托前沿3.2. 车辆振动模型的两目标优化在本节中，在以前的部分，多目标一致遗传多样性算法（MUGA）(Jamali et al.,2010)提出并被用于车辆模型的多目标设计如图4。为此，在不同的2目标优化的过程，对5个目标的10个可能分组要考虑4组不同的组合。这种目标优化分组为和，分别代表座位加速度和前轮速度、后轮速度，簧载质量和前轮之间的相对位移以及簧载质量和后轮之间的相对位移。在这套目标函数中，很明显地可以观察到所有的目标函数的最小化。80个个体的种群，0.9的交叉概率和0.1的变异概率，被用于240代。通过图5-8，可以看出每一对选择的两目标的帕累托前沿。它很清楚的表明，一个目标变得更好的情况下，通常会造成另一个目标变得更糟糕。然而，如果选择的一组设计变量都是基于每个帕累托前沿，就会得到该对目标的最佳组合方式。换句话说，如果选择任何其他组设计变量，目标的对应值将给出一点，改点肯定比相应的帕雷托前沿差。图5-8目标函数中这样的劣质区存在于上顶部/右两处。图5描绘了座椅加速度和前轮速度的帕累托前沿，给出了对于互相矛盾的目标，其不同的非支配最优点。在这张图，点A和B1分别代表最佳座椅加速度和最好前轮速度。应当注意的是，在帕累托前沿中，所有的最优设计点是不占支配地位并且可以由设计者进行选择的。这张图清楚地表明，在这些帕累托前沿中，任何目标函数选择一个更好的值，就会导致另一个目标函数变成更差的值。显然，在帕雷托前沿中，可以容易地观察到，在这些这些目标函数中，有一些重要的优化设计事实。图 5，点C1是一个重要的优化设计事实。本文中得到的优化设计点C1与B1点比较，表现出前轮速度小幅增长（最小前轮速度），而其座椅加速度提高13。事实上，如果不使用本文提出的帕累托最优的方法，就不会得到平衡设计点C1。 图6-8显示了其他目标函数非主导帕累托前沿。设计点A具有最好的座椅加速度，而点B2，B3和B4分别具有最好的和。同理，平衡设计点C2，C3和 C4都是重要的优化设计的事实。图6-8，细致观察可以发现，从点B2到C2，B3到C3以及 B4到C4，座椅加速度的值分别提高约18，9和20，而其他目标函数则少量增加。在这些数据中，D点表示得到的最佳设计Bouazara（1997），它非常显然会显著地被所有帕累托前沿支配。图9-12，在时域中，对这些数据中的平衡点和一个最佳设计点Bouazara（1997）的加速度表现进行了比较。从图中明显可以发现，本文中得到设计点的座椅加速度值比D Bouazara（1997）中给出的最优设计点的值更好。表2还给出了这些最有设计点相应的目标函数和设计变量的值，以及Bouazara（1997）优化后的一点。 本文的帕累托最优的方法揭示了一些有趣和翔实的设计工作，但是如果没有多目标优化，也可能就不会有这种发现。然而，通过所有关于权衡设计点的重要和有价值的信息发现，可以使用5个目标的帕累托优化代替4个（或更多）独立的2目标优化过程。 本文得到的最优设计点的时域响应 文献32 得到的最优设计点的时域响应图9 设计点C1和D的座椅加速度时域响应 本文得到的最优设计点的时域响应 文献32 得到的最优设计点的时域响应图10设计点C2和D的座椅加速度时域响应 本文得到的最优设计点的时域响应 文献32 得到的最优设计点的时域响应图11设计点C3和D的座椅加速度时域响应 本文得到的最优设计点的时域响应 文献32 得到的最优设计点的时域响应图12设计点C4和D的座椅加速度时域响应表2本文中最优点及文献一点的目标函数及相关设计变量值3.3. 车辆振动模型的五目标优化同时包括五个目标的车辆模型的多目标优化，对于设计者来说，有多个选择。此外，这种5目标优化能全部归入在上一节中提出的2目标优化结果。这将允许同时从所有5个目标函数的观点出发，寻找平衡最佳设计点。因此，在本节中，选择这5个目标函数，即座椅加速度(Zc)，前轮速度(Z1)，后轮速度(Z2)，悬挂质量和前轮的相对位移（d1）和悬挂质量与后轮的相对位移（d2）进行同时最小化优化。80个个体的种群，0.9的交叉概率和0.1的变异概率，被用于240代。图13描绘了在平面中的五目标优化中的非支配个体以及前面章节中两目标优化的结果。这种无论五目标还是两目标的优化的非支配个体都分别在图14-16的和平面中得到展示。应当指出的是，有一个单一的个体集合，其中是显示在不同的平面上的五目标Zc、Z1、Z2、d1、d2的优化结果以及前面得到的相应两目标优化的结果。因此，在每个平面也存在一些点，它们在五目标优化过程中可能会支配其他点。然而，当同时考虑到五个目标时，这些个体都是非支配的。仔细观查每个平面中的五目标优化结果，可以发现，先前寻找到的相应的两目标优化的帕累托前沿，现在也可以在五目标的这些数据中找到。可以轻易地观察到，五目标优化的结果，包括两目标优化每个帕累托前沿，因此，设计师有更多的优化选择。本文的五目标优化 本文的两目标优化 文献32的最优点 本文的最优点图13. 五目标和两目标优化中的座椅加速度和前轮速度本文的五目标优化 本文的两目标优化 文献32的最优点 本文的最优点图14. 五目标和两目标优化中的座椅加速度和后轮速度本文的五目标优化 本文的两目标优化 文献32的最优点 本文的最优点图15. 五目标和两目标优化中的座椅加速度和悬挂质量、前轮的相对位移本文的五目标优化 本文的两目标优化 文献32的最优点 本文的最优点图16. 五目标和两目标优化中