平面向量的数量积及平面向量应用举例.ppt

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.,4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.,1.两个向量的夹角(1)定义和范围,(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件,思考探究1在ABC中，设a，b，则a与b的夹角为ABC吗？,提示：不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量a与b的夹角为ABC.,2.平面向量的数量积,3.与平面向量的数量积有关的结论已知a(x1，y1)，b(x2，y2),思考探究2若ab，则a与b的数量积有何特点？,提示：若ab，则a与b的夹角为0或180，ab|a|b|或ab|a|b|.,1.已知a(1，2)，b(5,8)，c(2,3)，则a(bc)()A.34B.(34，68)C.68D.(34,68),解析：a(bc)(1，2)(5283)(34，68).,答案：B,2.平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|()A.B.C.4D.12,解析：|a|2，|a2b|2(a2b)2a24ab4b24421cos6041212，|a2b|.,答案：B,3.已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角是()A.30B.45C.90D.135,解析：设向量a与b的夹角为，由a(ab)，得a(ab)0，即|a|2ab0，|a|b|cos|a|2，cos45.,答案：B,4.已知向量a(3,2)，b(2,1)，则向量a在b方向上的投影为.,解析：ab|a|b|cosa，b，|a|cosa，b,答案：,5.若b(1,1)，ab2，(ab)23，则|a|.,解析：(ab)23，|a|2|b|22ab3，|a|2243，|a|25，|a|.,答案：,1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式ab|a|b|cos来计算，二是利用abx1x2y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2.,已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为，求：(1)(3a2b)(a2b)；(2)|ab|.,思路点拨,课堂笔记(1)ab|a|b|cos34()6.a2329，b216.(3a2b)(a2b)3a28ab4b2398(6)649148.(2)|ab|2(ab)2a22abb292(6)162512.|ab|,若将例题已知条件改为“已知a(3，4)，b(2,1)”，试解决上述问题.,解：(1)a(3，4)，b(2,1)，3a2b(9，12)(4,2)(5，14)，a2b(3，4)(4,2)(1，6).,(3a2b)(a2b)(5，14)(1，6)5(1)(14)(6)58479.(2)ab(3，4)(2,1)(5，3)，|ab|,已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为，则(1)ab0090；(2)ab090；(3)ab090180.,特别警示在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线.,已知|a|1，ab，(ab)(ab)，求：(1)a与b的夹角；(2)ab与ab的夹角的余弦值.,思路点拨,课堂笔记(1)(ab)(ab)，|a|2|b|2，又|a|1，|b|设a与b的夹角为，则cos45.,(2)(ab)2a22abb212|ab|.(ab)2a22abb212|ab|，设ab与ab的夹角为，则cos,1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：ababx1y2x2y10(b0).2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y20.,已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求实数m，n的值.,思路点拨,课堂笔记由于C、A、B三点在同一条直线上，则而(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，又2nm0，联立解得,考题印证(2009湖南高考)(12分)已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2).(1)若ab，求tan的值；(2)若|a|b|,0，求的值.,【解】(1)因为ab，所以2sincos2sin，于是4sincos，故tan(4分)(2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25，所以12sin24sin25.从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin(2).(8分)又由0知，2，所以2，或2.因此，或.(12分),自主体验已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2).(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积.,解：(1)证明：mn，asinAbsinB，即ab，其中R是三角形ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形.(2)由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.,由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)，SabsinC4sin,1.(2009宁夏、海南高考)已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为(),解析：a(3,2)，b(1,0).ab(13，2)，a2b(1,2).ab与a2b垂直，(ab)(a2b)0，(13)(1)220，解得.,答案：A,2.在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足则等于(),解析：M为BC中点，得又P为AM的等分点，,答案：A,3.已知在ABC中，若则ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形,解析：由ABC是直角三角形.,答案：C,4.已知向量a与b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|.,答案：7,解析：|5ab|225|a|2|b|210ab2591013()49.|5ab|7.,5.已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为.,解析：ab，x4，b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)；(ab)(bc)，(ab)(bc)0，即63(2y)0，y4，故向量(8,8)，8.,答案：8,6.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2).(1)若|c|2，且c