平面问题的有限单元法.ppt

5.2.3两种平面问题,弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。平面应力问题平面应变问题,平面应力问题,厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：,平面应变问题,一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示。由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。,4,此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即w=0因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。,5.3平面问题的有限单元法,有限单元法的概念有限单元法的计算步骤单元位移函数单元刚度矩阵整体刚度矩阵单元载荷移置边界约束条件的处理,（由例子可知）有限单元法的基本思路：(1)把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。(2)把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。(3)将结点的位移与结点的力联系起来。(4)列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。(5)求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出各单元中的应力。有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程来求解。,5.3.1单元与结构离散化有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。一维问题杆单元、梁单元平面问题三角形单元、四边形单元、曲边单元等空间问题四面体单元、六面体单元、曲面六面体单元等这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。,8,单元划分的原则：1）各相邻单元体必须同边、同顶点；2）结构厚度或弹性常数突变处应作为单元间的分界线；3）单元的大小主要根据计算精度和计算机的运算速度确定。,9,5.3.2单元位移函数如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。,对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。,三结点三角形单元,位移函数如下：所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。,位移函数写成矩阵形式为：,12,将水平位移分量和结点坐标代入,写成矩阵形式,13,A为三角形单元的面积。,令,14,则,同样，将垂直位移分量与结点坐标代入，可得,15,其中,最终确定六个待定系数,17,（下标i，j，m轮换）,简写为,令,N称为形态矩阵，Ni称为位移的形态函数或简称形函数或插值函数。,19,由位移函数可知：当ui=1,uj=0,um=0时，u=Ni；当vi=1,vj=0,vm=0时，v=Ni，即函数Ni表示了当节点i产生单位位移而节点j、m分别产生零位移时，单元产生的位移分布形态。,形函数具有如下性质：1）在节点上形函数的值有,2）在单元内任一点各形函数之和应等于1，即Ni+Nj+Nm=1,3)对于现在的单元插值函数是线性的，在单元内部及单元的边界上位移也是线性的，可由节点上的位移唯一确定。由于相邻的单元公共节点的节点位移相等，因此保证了相邻节点在公共边界上位移的连续性。,21,选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件：(1)位移模式必须在单元内连续，并且两相邻单元间的公共边界上的位移必须协调；(2)位移模式必须包括单元的刚体位移；(3)位移模式必须包含单元的常应变状态。,例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵N。,由三角形的面积,5.3.3单元分析（略）对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。,结点位移,25,结点力,26,考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：,27,任意虚设位移，结点位移与内部应变为,28,令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为,29,根据虚功原理，得这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。虚应变可以由结点虚位移求出：代入虚功方程,30,接上式，将应力用结点位移表示出令S=DB，称为应力矩阵。有令则,31,由此，建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，Ke称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。,32,把单元刚度方程写成分块矩阵的形式，有,单元刚度矩阵中某一子矩阵（或元素）kij的物理意义为：当j节点产生单位位移而其它节点被完全约束时，在i节点处产生的节点力。,33,单元刚度矩阵的性质,1）单元刚度矩阵是对称阵2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。3）单元刚度阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚度阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解只能得到唯一的节点力解。,34,4）单元刚度阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。,单元分析的步骤可表示如下：,单元综合将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量-结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。,i点总的结点力应为：根据结点的平衡条件，得单元e的结点力，可按式(2-2)用结点位移表示，代入得到用结点位移表示的平衡方程。每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。,38,5.3.4总体刚度矩阵,得到了单元刚度矩阵后，要将单元组成一个整体结构，根据结点载荷平衡的原则进行分析，即整体分析。整体分析包括以下4个步骤：建立整体刚度矩阵，根据支承条件修改整体刚度矩阵，解方程组，求出结点的位移，根据结点位移，求出单元的应变和应力。,39,整体刚度矩阵的形式,整体刚度矩阵K是单元刚度矩阵Ke的集成。1、刚度集成法的物理概念：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。（如图）,40,2、刚度矩阵的集成规则：先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵K的子块，从而得出结构刚度矩阵K。关键是如何找出中的子块在K中的对应位置。这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。将单元刚度矩阵中的每个分块按总体编码顺序重新排列后，可以得到单元的扩大矩阵。,41,2、刚度矩阵的集成规则：,结构中的结点编码称为结点的总码，各个单元的三个结点又按逆时针方向编为i,j,m,称为结点的局部码。,42,单元刚度矩阵中的子块是按结点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是按结点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把结点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列。,43,44,单元（2）的单元扩大矩阵的分块矩阵形式如下，只列出非零的分块：,45,用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵K：集成规则包含搬家和迭加两个环节：1、将单元刚度矩阵中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵。2、将各单元的扩大刚度矩阵迭加，得出结构刚度矩阵K。(书中例题),5.3.5单元节点载荷移置,连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点移置(分解)，而成为结点载荷。如果弹性体所承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向结点移置。,47,将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。,均质等厚度的三角形单元所受的重力，把1/3的重力移到每个结点。,内部集中力,2、边上集中力,总载荷的2/3移置到结点i，1/3移置到结点j，与原载荷同向。,载荷向结点的移置，可以用普遍公式来表示。体力的移置分布面力的移置在线性位移模式下，用直接计算法简单；非线性模式下，要用普遍公式计算。,51,5.3.6边界约束条件的处理,总刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵，因此要求得唯一解，必须利用边界条件对总刚度方程进行处理，消除总刚度矩阵的奇异性。边界约束条件的处理实质是消除结构的刚体位移，以求得节点位移；边界条件也是假定在节点上受到约束。节点位移为零时，称为零位移约束；否则，称为非零位移约束（弹性支承，支座的沉陷）。,52,位移约束常分为：节点固定和给定节点位移两种约束。由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷形成后进行，即此时K、R中的元素均已按一定顺序分别储存于相应的数组，故引入位移约束时，要求尽量不要打乱K、R的储存顺序。引入约束的方法常有：1）降阶法2）对角元素置1法3）对角元素乘大数法,53,54,55,56,5.4轴对称问题的有限元法如果弹性体的几何形状、边界条件和载荷都对称于某一轴线，则弹性体受载时的位移、应变和应力也都对称于这个轴线，这类问题称为轴对称问题。对于轴对称问题，采用圆柱坐标比较方便。设x轴为对称轴，r为径向，为周向，OAB平面称为子