导数在经济中的应用.ppt

一、函数变化率-边际函数二、成本三、收益四、函数的相关变化率-函数的弹性,4.8变化率及相对变化率在经济中的应用-边际分析与弹性分析介绍,1、边际函数,设函数可导，导函数也称为边际函数。,称为在内的平均变化率，它表示在内的平均变化速度。,在点处的导数称为在点处的变化率，也称为在点处的边际函数值。它表示在点处的变化速度。,在点处，从改变一个单位，相应改变的真值应为。但当x改变的“单位”很小时，或x的“一个单位”与值相对来比很小时，则有,当时，标志着由减少一个单位,这说明在点处，当产生一个单位的改变时，近似改变个单位。在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去“近似”二字,例1函数，在点处的边际函数值，它表示当时,改变一个单位，（近似）改变20个单位。,例2设某产品成本函数C=C(Q)(C为总成本，Q为产量），其变化率称为边际成本。称为当产量达到时的边际成本。,西方经济学家对它的解释是：当产量达到时，生产前最后一个单位产品所增添的成本。,2、成本,某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳力、原料、设备等）的价格或费用总额。它由固定成本与可变成本组成。,平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。,边际成本是总成本的变化率，即总成本函数的导数,设C为总成本,为固定成本,为可变成本，为平均成本，为边际成本，Q为产量，则有,总成本函数,平均成本函数,边际成本函数,例1已知某产品的成本函数为,求：当Q=10时的总成本、平均成本及边际成本。,例2例1中的商品，当产量Q为多少时，平均成本最小？,3、收益,总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入。,平均收益是生产者出售一定量的产品，平均每单位产品所得到的收入。即单位商品的售价。,边际收益为总收益的变化率。,总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数,设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，为边际收益。则有,需求函数P=P(Q),总收益函数R=R(Q),平均收益函数,边际收益函数,需求与收益的关系有：,总收益与平均收益的关系为：,总收益与边际收益的关系为：,例1设某产品的价格与销售量的关系为P=10-Q/5，求销售量为30时的总收益、平均收益与边际收益。,下面讨论最大利润原则：,设总利润为L，则L=L(Q)=R(Q)-C(Q),L(Q)取得最大值的必要条件为：，即,于是可取得最大利润的必要条件是：边际收益等于边际成本。,L(Q)取得最大值的充分条件为：即,于是可取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。,例2已知某产品的需求函数为P=10-Q/5，成本函数为C=50+2Q,求产量为多少时总利润L最大？并验证是否符合最大利润原则。,例3某工厂生产某产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益R是年产量Q的函数,问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？,4、函数的相关变化率-函数的弹性,前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率，但是从实践中可看到，仅仅研究此是不够的。,比如，商品a每单位价格10元，涨价1元；商品b每单位价格是1000元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，但各自与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品a涨了10%，而商品b涨了0.1%。因此有必要研究函数的相对改变量与相对变化率。,从到两点间的相对变化,定义4.5设函数在点处可导，,函数的相对改变量，与自,变量的相对改变量之比，称为函数,率，或称为两点间的弹性。,当时，的极限称为在,处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性。,即=,记作，或,对一般的x，若f(x)可导，则有,是x的函数，称为f(x)的弹性函数。,函数f(x)在点x的弹性反映随x的变化f(x)变化幅度的大小，也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度。,表示在点处，当x产生1%的改变时，f(x)近似改变%。在应用问题中解释弹性的具体意义时，我们也略去“近似”二字。,注意：两点间的弹性是有方向性的，因为“相对性”是对初始值而言的。,例1求函数在处的弹性。,例2求函数的弹性函数及,例3求幂函数（为常数）的弹性函数。,（该函数称为不变弹性函数）,5、需求函数与供给函数,“需求”指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。,消费者对某种商品的需求是多种因素决定的,商品的价格是影响需求的一个主要因素,但还有许多其他因素,如消费者收入的增减,其它代用品的价格等都会影响需求。我们现在不考虑价格以外的其它因素（把其它因素对需求的影响看作不变的），只研究需求与价格的关系。,（1）需求函数,设P表示商品价格，Q表示需求量，那么有,Q=f(P)(P为自变量，Q为因变量)称为需求函数,一般说来，商品价格低，需求大；商品价高，需求小。因此需求函数Q=f(P)是单调减少函数。,因Q=f(P)单调减少，所以有反函数，也称为需求函数。,用D来表示需求曲线,需求函数的边际函数称为边际需求。,例若已知需求函数为则边际需求函数为,当P=4时，称为P=4时的边际需求，它的经济含义表示：当价格P=4时，价格上涨（或下跌）1个单位时，需求将减少（或增加）4个单位。,（2）供给函数,“供给”指在一定条价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。,供给也是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论供给与价格的关系。,设P表示商品价格,Q表示供给量,那么有,(P为自变量,Q为因变量)称为供给函数.,一般说来,商品价格低，生产者不愿意生产，供给少；商品价格高，供给多。因此一般供给函数为单调增加函数。所以有反函数，也称为供给函数。,（1）均衡价格,均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格，此时需求量与供给量称为均衡商品量。,当时，此时消费者购买的商品量会大于生产者愿意出卖的商品量，市场上出现“供不应求”，商品短缺，会形成抢购、黑市等情况，这种状况不会持久，必然导致价格上涨。,当时，此时消费者购买的商品量会小于生产者愿意出卖的商品量，市场上出现“供过于求”，商品滞销。这种状况不会持久，必然导致价格下跌。,总之，市场上的商品价格将围绕均衡价格摆动。,6、需求弹性与供给弹性,定义4.6某商品需求函数在处,可导，称为该商品在与,两点间的需求弹性。记作,称为该商品在,处的需求弹性。记作,例1已知某商品需求函数，求,（1）从P=30到P=20，50各点间的需求弹性；,（2）P=30时的需求弹性，并指出其经济含义。,例2设某商品需求函数为，求,（1）需求弹性函数；,（2）P=3，P=5，P=6时的需求弹性，并指出其经济含义。,定义4.7某商品供给函数在,处可导，称为该商品在与,两点间的供给弹性。记作,称为该商品在处的供给弹性。记作,7、用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化,总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即,（1）若，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，递增。即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少。,（2）若，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时，递减。即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加。,（3）若，需求变动的幅度等于价格