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第三节向量值函数在定向曲线上的积分,(第二类曲线积分),二、问题的提出,四、第二类曲线积分的计算,三、第二类曲线积分的概念,一、定向曲线及其切向量,一、定向曲线及其切向量,1、带有确定走向的曲线称为定向曲线,用表示起点为A,终点为B的定向曲线(弧).,2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致.,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.引例:变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移,“(分割)大化小”,“(近似)常代变”,“(求和)近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,1)“(分割)大化小”.,2)“(近似)常代变”,把L分成n个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3)“(求和)近似和”,4)“取极限”,(其中为n个小弧段的最大长度),2.定义.,设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑,弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在定向曲线弧L上,对坐标的曲线积分,则称此极限为向量值函数,或第二类曲线积分.,在L上定义了一个向量函数,极限,称为对坐标x的曲线积分;,称为对坐标y的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,二、问题的提出,实例:变力F沿曲线L所作的功,常力所作的功,分割,三、第二类曲线积分的概念,1.定义,记为：,即：,则：,3.第二类曲线积分存在的充分条件：,4.第二类曲线积分的性质,1)第二类曲线积分具有线性性质,2)对于定向积分曲线弧的可加性,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,二、第二类曲线积分的计算,定理,基本思路:,计算定积分,求曲线积分,特殊情形,例1,解一：,例1,解二：,说明：,2)第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不一定小于上限.,3)计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，要慎用对称性.一般地，在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能否用对称性简化计算.,例2,解:(1)L的参数方程为,则,(2)L的方程为,则,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,解,例2,概念与性质可以推广到空间曲线,概念与性质可以推广到空间曲线,例4,解,例5,解:曲线的参数方程为,例6,解:曲线C的参数方程为,例7,三、两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上）,例,解,L的方程为,原式,四、小结,1、第二类曲线积分的概念,2、第二类曲线
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