平面向量题型归纳(教师版).doc

平面向量中的两个定理1.向量的数乘运算：求实数与向量的积的运算，运算法则：(1)|a|a|；(2)当0时，与的方向相同；当0时，的与的方向相反；当0时，0运算律：()() ；() ；()2.共线向量定理向量 (0)与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数1，2，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫在x轴上的坐标，叫在y轴上的坐标设，则向量的坐标就是终点A的坐标，即若，则A点坐标为，反之亦成立(O是坐标原点)类型一、共线向量定理的应用【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】 设两个非零向量与b不共线，(1)若，28，3()，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k和k同向【例2】如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，(1)用，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线【答案】见解析【解析】(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，所以，则有()，()， ()(b2)，(b2)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线类型二、平面向量基本定理的应用【例3】如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2 Ce1e2与e1e2 De13e2与6e22e1【答案】D【解析】选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量【例4】如图，以向量，为邻边作OADB，用，表示，.【答案】见解析平面向量的线性运算与坐标运算1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aa a；(ab)ab2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.来源:学.科.网(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0. abx1y2x2y10.应用举例:类型一、平面向量的线性运算【例1】设D为ABC所在平面内一点，3，则()A BC D【答案】A类型二、平面向量的坐标运算【例4】若向量a(2,1)，b(1,2)，c，则c可用向量a，b表示为()A.ab Bab C.ab D.ab【解析】设cxayb，则(2xy，x2y)，所以解得则cab.【例5】已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0) B(3,6) C(6,2) D(2,0)【解析】3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，所以即【答案】A平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos ，要注意0， （2）两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3) 求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有： a2aa|a|2或|a|. |ab|. 若a(x，y)，则|a|.实战演练:1如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则()Aba Bba Cab Dab【解析】ababa.【答案】A2已知向量a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A(23，12) B(23,12) C(7,0) D(7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a2bc(23x,12y)(0,0)，所以解得所以c(23，12)平面向量的数量积1.平面向量数量积(1)平面向量数量积的定义:若两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab|a|b|cos.规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个非零向量a与b垂直的充要条件是ab0，两个非零向量a与b平行的充要条件是ab|a|b|.2向量数量积的运算律: (1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.3 平面向量数量积的几何意义: 数量积ab等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积4 平面向量数量积的重要性质： (1)eaae|a|cos； (2)非零向量a，b，abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，aaa2 ，|a|；(4)cos；(5)|ab|a|b|.5平面向量数量积满足的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.6平面向量数量积有关性质的坐标表示： 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到：(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2，或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.(3)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.应用举例:类型一、平面向量的数量积的运算【例1】设向量(1,2)，(m,1)，如果向量2与2平行，那么与的数量积等于()AB C. D.【例2】已知(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为()A B3 C. D3【解析】因为点C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影为|cos，.类型二、平面向量的数量积的性质角度一：平面向量的模；【例3】向量， 【答案】角度二：平面向量的夹角；【例4】【向量满足,且 ,则的夹角的余弦值为（ ）A. 0 B. C. D. 【解析】，所以选B.【例5】已知，且，则向量与的夹角为（ ）A B C D【解析】依题意有，解得.角度三：平面向量的垂直【例6】向量满足，则向量与的夹角为 实战演练:1已知，若，则实数（ ）A B3 C6 D8【解析】,解之得，故选C2若向量，则、的夹角是（ ） A. B. C. D.3已知向量 （ ） A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】由已知解得4已知，且与夹角为120，则=_.【答案】【解析】，且与夹角为，故答案为5已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角； (2)求|ab|； (3)若，求ABC的面积【解析】(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3， 644ab2761，ab6.cos.又0，. (2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|. (3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3， SABCsinABC433.借用基本不等式解决最值、范围问题1基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式： (1)a2b22ab (a，bR)(2)2(a，b同号) (3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)3、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4、利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当xy 时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小) （2）如果和xy是定值p，那么当且仅当xy 时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)利用基本不等式求最值【例1】【2017山东淄博模拟】已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_【答案】.【解析】由a2b3得ab1，2 . 当且仅当a2b时取等号【例2】已知a为正实数且a21，则a的最大值为_【答案】.【解析】因为a0，所以a ，又a2，所以a，当且仅当a，b时等号成立即(a)max.【例3】已知x0，则的最大值为_【答案】.【解析】因为，又x0时，x24，当且仅当x，即x2时取等号，所以00，b0，所以1(a0，b0)，ab(ab)77274，当且仅当时取等号，故选D.【例5】设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为()A B C D4【答案】D【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示由zaxby得yx，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a6b12，即2a3b6，所以4，当且仅当a，b1时等号成立实战演练:1设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B2已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是()A2 B4 C6 D8【答案】B【解析】(xy)1a1a2，当1a29时不等式恒成立，故13，a4.3已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.当且仅当ab1时取等号 直线与圆1.【圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）（A） （B） （C） （D）2试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选A2.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即：. 又因为光线与圆相切， 所以， ,整理： ，解得： ，或 ,故选D3. 【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选4.【2015高考新课标2，理7】过三点，的圆交y轴于M，N两点，则( )A2 B8 C4 D10【解析】由已知得，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C5. 【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A、2 B、 C、6 D、【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，即，.选C.5 设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：7.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得， 圆的圆心坐标为；（2）设，则 点为弦中点即， 即， 线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部