平面向量及常见题型.doc

平面向量及常见题型向量知识点零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行 单位向量：模为1个单位长度的向量 向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量向量加法=向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：，但这时必须“首尾相连”实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平面向量的坐标运算：(1) 若，则，(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则，向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积向量的模与平方的关系：乘法公式成立： ；向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点 经典例题例1已知是所在平面内一点，为边中点， 且，那么（） 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力解： . 故选A例2在平行四边形中，M为BC的中点，则_.（用表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.解：由得，所以。例3如图所示，D是 ABC的边AB上的中点，则向量( )（A） （B）（C） （D）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.解：，故选A.例4.设平面向量、的和.如果向量、，满足且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）（A）（B）（C） （D）命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：，故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选D.巧妙解法：令，则，由题意知，从而排除B，C，同理排除A，故选D.点评：巧妙解法巧在取，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.例5设向量与的夹角为，且， 则_命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解:设，由得时，故填例6已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（），过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.解：()由已知条件，得，设，则，由，得即 将（1）式两边平方并把，代入得（3）解（2）（3）式得，且有，抛物线方程为，求导得所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，即，解出两条切线的交点M的坐标为即 ，所以所以为定值，其值为0()由()知在ABM中，FMAB，因而因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以于是，由知S4，且当1时，S取得最小值4 向量常见题型类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量，满足且满足，则的夹角为 2.已知非零向量满足，则的夹角为 3.已知平面向量满足且，则的夹角为 4.设非零向量、满足，则 5.已知类型（二）：向量共线问题1. 已知平面向量，平面向量若，则实数 2. 设向量若向量与向量共线，则 3.已知向量若平行，则实数的值是（ ）A-2B0C1D25已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4共线，求实数k的值；6已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，2）若，且，求的坐标类型（三）: 向量的垂直问题1已知向量，则实数的值为 2已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值3已知求与垂直的单位向量的坐标。4. 已知向量 5. 6. ，类型（四）投影问题1 已知，的夹角，则向量在向量上的投影为 2 在中， 3关于且，有下列几种说法： ； ； 在方向上的投影等于在方向上的投影 ；其中正确的个数是 （ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个类型（五）求向量的模的问题1. 已知零向量 2. 已知向量满足 3. 已知向量， 4已知向量的最大值为 6. 设向量，满足及，求的值类型（六）平面向量基本定理的应用问题1若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），则等于 （ ）(A) (B)(C) (D)2.已知3.设是平面向量的一组基底，则当时，4.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）(A) (B) (C) (D) 5. (A) (B) (C) (D) 类型（七）平面向量与三角函数结合题1.已知向量，设函数 求函数的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大