数学模型方向简介

数学模型方向详解流程图：数学模型方向：先建立好一栋教学楼（如华农教三、广州某中学教学楼）应急疏散模型，然后将其抽象化，建立教学楼应急疏散抽象模型，然后单独讨论各因素（如楼梯数目、楼梯位置、楼梯宽度、各层人员数目、教学楼层数等等）对安全高效地疏散的影响程度。数学模型作用：1、 得出“同时跑”方式的一些信息：疏散时间、疏散时（因人多密集）的风险程度，指出教学楼应急疏散可能存在的问题，便于改进设计，及利于外围救援人员掌握信息和作出决策等。2、 分析猜想比较“调度方案”与“同时跑”的优劣。主要是从疏散时间、疏散时风险程度比较。数学模型目标：撤离时间少与风险程度低两个目标数学模型相关要点：1、 最初考虑较简单的模型，如假定该楼虽发生意外但并未封闭任一层楼梯（例如没有楼梯因火灾被封闭了），A1A2,B1B2,C1C2,D1D2,E1E2教室的人员还是从左边楼梯下楼，A3A4,B3B4,C3C4,D3D4,E3E4教室的人员从右边楼梯下楼，且假定人员疏散是有序的。下考虑左边大楼，右边大楼类似。问题1：日常生活中，若发生意外需疏散的话，人们普遍做法是同时马上冲向楼梯口（忽略有些获知稍迟的），然后所有人挤在一起撤退。这个撤离方式暂称为“同时跑”。对于撤离时间目标，参考文件高层建筑人员疏散性能化评估软件的开发可编写出相应程序计算出疏散时间。仿真模型的时间推进方法采用周期扫描法，即使仿真时钟按一个固定时间步长向前推进，每推进一步就扫描一次临近未来时间内每一段楼梯内的人员密度D、人流移动速度，以及试图进入和离开每一段楼梯的人数，并根据D 与Dm 的大小关系来分别决定可以进入本段楼梯的人数和必须等待的人数。当全部楼层内不再有任何人的时候，仿真结束。此时仿真时钟记录的时间即为总的疏散时间。对于风险程度目标的分析， 首先需分析人员拥挤模型（可简单引用即可），主要分为成拱现象，异向群集，异质群集等。针对具体场景分析评价风险，主要从拥挤力模型建立相应程序计算，或者应用模糊分析法计算，详细的可参考人群拥挤踩踏事故风险理论及其在体育赛场中的应用、大型公用建筑火灾时人员应急疏散评价模型研究，编写拥挤力数学模型的程序有一定难度，模糊分析评价方法不难。12人群间作用力模型目前,对人群拥挤踩踏事故风险的研究主要集中在人群滞留和拥挤阶段,而踩踏阶段难以进行建模分析。滞留和拥挤阶段,人群之间的作用力(拥挤或挤压)达到一定阈值后能导致人员窒息而死亡,从而使事故发生。基于可见的物理相互作用(包括内力和外力),对人群移动过程中的个体行为进行建模。个体在二维平面空间的作用力见图134。由图1可以看出,个体间作用力可分为2种,即内力(内部驱动力)和外力。其中,外力包括个体之间的拥挤力、排斥力、环境作用力(墙排斥力)及群体吸引力等,并且在不同状况(正常和紧急)下各种力的表现形式也不同。本文主要对人群拥挤事故的个体间作用力进行建模分析,在模型中不考虑群体作用力和环境作用力。个体在运动过程中受到的综合作用力和该个体与其他个体i(i=1,2,n)间的距离dai有关,因此个体在拥挤阶段受到的综合作用力模型34为紧急状况下、高密度拥挤人群运动过程中,依据距离不同,个体受力主要包括内部驱动力、心理排斥力和拥挤力(式(4)。内部驱动力模型的建立主要依据牛顿第二定律,心理排斥力则在“社会力”模型和Teknomo7模型基础上构建。本模型重点研究人群拥挤踩踏事故后果,因此只对引起人员伤亡的“拥挤力”进行建模分析。人群移动过程中,当人群密度较低时,个体由内部驱动力引导前进,而由心理排斥力决定绕行和避开行为;当人群移动到“瓶颈”区域(如狭窄通道或门)时会产生滞留,此时个体移动速度减慢,人群密度增加。对恐慌人群,因滞留过程短暂,个体减速的加速度很大,此时个体间会产生身体接触,从而产生真正力学意义上的碰撞力(本文定义为“拥挤力”)。拥挤力与内部驱动力和心理排斥力等不同,是模拟人群拥挤踩踏事故时提出的一种个体间的外部作用力。个体间拥挤力的产生过程见图2。拥挤力模型1为问题2：请猜想出较合理调度方案，使撤离时间少与风险程度低两个数学目标尽可能最好。下仅列出一些简单方案，当然还有更多方案，试求出哪个最优。当然，若要猜想出最优方案较难的话，可考虑先列出一些普通的方案，从中挑选最优的即可。调度方案1：A1A2的在一楼，暂忽略。B1B2的先下,其k%(如80%)人数下完后，C1C2马上下；然后其k%(如80%)人数下完后，D1D2马上下；然后其k%(如80%)人数下完后，E1E2马上下。撤离所需总时间t1，试论证是否t1大于T。调度方案2：A1A2的在一楼，暂忽略。B1B2的先下,其a%(如50%)人数下完后，C1C2马上下；然后其b%(如60%)人数下完后，D1D2马上下；然后其c%(如70%)人数下完后，E1E2马上下。撤离所需总时间t2，试论证是否t2大于T。（与上方案类似）调度方案3：A1A2的在一楼，暂忽略。B1B2的先下，D1D2同时下，然后C1C2的跟着D1D2下。最后E1E2的下。撤离所需总时间t3，试论证是否t3大于T。先分析疏散时间方面：直观上，如果各层人数都少的话，是“同时跑”的快，若人数较多时，采取合适的调度方案会更快。从数学上理解，根据情况不同（如各层人数不同、楼梯宽度不同、楼层数目不同等等），人员流量会有变化，撤离时间会有不同，见人员流量与密度的关系图：传统的“同时跑”，当密度较小，处在自由流状态时，会较有优势，当然本系统也会采用。当各种情况（如人员较多，楼梯宽度较小等等）造成密度较大时，会使教学楼人员处于阻塞流状态，即流量下降，反而更慢。（更多资料，请参见人员密集场所风险评估理论与标准化方法研究P39）对于风险程度方面，主要是以上提到的两种方法，作适当修改即可应用。问题3：对实际教学楼（暂为华农教三或某一中学教学楼）进行建模，之前的简单模型进行拓展，需考虑的因素更多，如楼梯的数目、楼梯的位置、楼梯宽敞程度、走廊宽敞、走廊离楼梯口距离等等。试建立数学模型，目标也是应急疏散时撤离时间少与风险程度低。（对前面的稍作更改，也可考虑先理想化，然后逐步增加参数变量，使其接近实际）。根据实际课题制作进度情况再决定模型的模拟程度。当某一栋教学楼分析成功后，可考虑将数学模型稍作修改后应用于其他更多教学楼，以作验证和拓展。问题4：拓展要求：考虑加入如哪间教室发生意外，该教室及相邻的须优先撤离的问题，或者某层楼处走廊被封、某层楼楼梯被封等意外，考虑怎么数学目标得更理想。有较大难度，适当做。可参考火灾发生位置对安全疏散影响的研究问题5：拓展要求：抽象为一普通教学楼模型，分析各单变量对模型目标（撤离时间和风险程度）的影响程度（也可考虑用层次分析法做）。例如其他量为理想简单模型时的参数，分析增加楼层数对模型目标的影响程度。再将各变量综合分析，确定各单变量的权值。此难度甚大，视时间和精力而拓展，看能做到什么程度。可参考火灾发生位置对安全疏散影响的研究、建筑物火灾时人员行为规律及