复活节金蛋表面积计算实习报告.doc

上海应用技术学院课题名称： 曲面积分求解金蛋问题 系 （院）： 专 业： 班 级： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 开课时间： 目录一、问题提出31.1 问题产生背景31.2 问题描述3二、问题分析3三、数学模型及公式推导3四、数值积分方法5五、问题求解6六、结果比较与分析7七、参考文献7附录8一、问题提出1.1 问题产生背景在俄国沙皇的宫廷宝藏中,有许多复活节蛋,它们大都以金银制作,装饰着或者内藏各种钻石. 而一只外表光滑的金蛋，仅凭外观我们很难判定其是否由纯金制作。1.2 问题描述 在俄国沙皇的宫廷宝藏中,有许多复活节蛋,它们大都以金银制作,装饰着或者内藏各种钻石.其中有一只较大的金蛋,蛋壳的外层表面是一个椭球面,其半长轴,半短轴和半立轴分别为8cm,5.2cm,5cm.蛋壳的厚度为0.24cm, 重量是1680g.试问:这只复活节蛋的壳是否用纯金制作的? (金的密度为19.2g/cm3)（1）写出复活节蛋表面积的积分表达式。（2）利用数值积分方法（simpson法）通过自己编程计算复活节蛋表面积和实际所需的黄金量。（3）利用MATLAB中自带的积分命令直接计算并和（2）的结果进行比较。二、问题分析问题中要求运用数值积分法和MATLAB里面自带的积分命令分别进行计算，并将结果进行比较：（1）运用数值积分法解决问题主要是通过大学数学知识写出椭圆表面积公式，然后计算实际所需的黄金量。（2）运用MATLAB里面自带的积分命令对上述积分求解，然后再求出表面积和实际所需的黄金量（对于二重积分,可以在将区域划分为小块后，通过在每个区域上对被积函数作近似简化求积，然后将所得的值进行求和得到.）。三、数学模型及公式推导取球面中心为坐标原点，半椭圆的上侧为z轴的正方向建立直角坐标系,又三轴椭球面方程可表示为: （3-1）则为了计算的方便，计算过程采用如下的球坐标参数方程： （3-2）三轴椭球面的面积S是关于其3个半轴对称的，故可以先计算第一卦限的表面积，然后累加即可得到椭球体的面积,曲面面积的积分公式： （3-3） 其中： （3-4） （3-5） （3-6） 通过式(4)(6)分别计算后得到： （3-7） （3-8） （3-9） 则有： （3-10）将式(10)代入式(3)得到带根号的积分式： （3-11）这是一个难以计算的带根号的积分形式四、数值积分方法考虑矩形区域上的二重积分 （4-1） 将划分作个相等的小矩形,其和 分别是和方向的分点,则： （4-2）若对这两个单积分都用梯形法,就有： （4-3）而 (4-4)这样便可求得在上的积分的近似值 (4-5)那么对 (4-6)的两次积分都用Simpson法,就得到 (4-7)设 则： （4-8）接下来就可以用数值积分的方法把二重积分的积分区域分割为个小矩形,利用近似格式进行运算。五、问题求解通过Simpson法（见附录1）的问题计算：当m取不同值时，得出不同的sum值.所以有如下列表:sumS(sum*2ab)质量m=25.67761604434505472.37772176.716m=45.49033854162127456.79622104.917m=85.48188565863128456.09292101.676m=165.48179692901365456.08552101.642m=325.48179689342876456.08552101.642m=m=1285.48179689390203456.08552101.642 表5-1由表可知当时，m取值越大，函数值越趋近于5.4818 则 可近似得出体积 V=表面积S*厚度d=5.4818*83.2*0.24=109.4605824 进而得出近似质量： M=V*=2101.64318208 与题目所述的复活节金蛋质量为1680g不符，由此可知，该复活节金蛋并非纯金。六、结果比较与分析通过Simpson法（见附录1）计算得到的（表5-1）可知：当时，m取值越大，函数值越趋近于5.4818；而利用matlab中自带的积分命令计算得到的函数值为5.4818（见附录2）。由此可知，Simpson法与利用matlab中自带的积分命令计算所得到的结果及其近似。因此，我们可以确定无论是通过Simpson法还是利用matlab中自带的积分命令对该函数进行计算都是可行的。七、参考文献1. 定积分教堂顶部 上海应用技术学院出版2. 敬照亮主编MATLAB教程与应用 清华大学出版社 2011.5.13. 刘保柱主编MATLAB7.0入门 人民邮电出版社 2010.5.14. 张磊、郭莲英主编MATLAB使用教程 电子工业出版社 2008.12.15. 朱元泽、李贤彬主编MATLAB实用教程 江苏大学出版社 2013.5.16. 纪兵、边少锋编著三轴椭球表面积的计算 海军工程大学出版2008.4.25附录由题可知：1、通过Simpson法的问题计算：在matlab中，定义函数：function y=ty(s,t)a=8;b=5.2;c=5;y=sqrt(t2+c2*(1-t2)*(cos(s)2/a2+sin(s)2/b2); %M文件 m=2; k=pi/m; h=1/(2*m); sum=0; for i=1:2:(2*m-1)for j=1:2:(2*m-1) sum=sum+(k*h/9)*(ty(i-1)*k,(j-1)*h)+ty(i+1)*k,(j-1)*h)+ty(i-1)*k,(j+1)*h)+ty(i+1)*k,(j+1)*h)+4*(ty(i*k,(j-1)*h)+ty(i-1)*k,j*h)+ty(i+1)*k,j*h)+ty(i*k,(j+1)*h)+16*ty(i*k,j*h);endend2、利用matlab中自带的积分命令的问题计