高等数学问题推广的几种方式.pdf

第 2 0卷第 5期 2 0 0 4年 1 0月 大学数学 COLL EGE M ATHEM ATI C S Vo l . 2 0, r 10 . 5 Oc t . 2 0 0 4 高等数学问题推广的几种方式 苏化明， 潘杰 ( 合 肥 工 业 大 学 理 学 院 ， 合 肥2 3 0 0 0 9 ) 著名数学家波利亚曾说过: “ 一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合. 或者 从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含 该较小集 合的 更大的 集合. ，l 数 学的一般化或普遍化主要 表现在对命题的推广. 由于数学认识的根本 目的是揭示更为普遍、 更为深刻的事实或规律， 所以数学命 题的推广是数学创造的基本形式之一 高等数学中有很多问题都可以进行推广， 由于这些问题的推广往 往需要经过类比、 联想、 猜想、 抽象、 归纳等多种发散性思维过程， 因而， 如能将这些问题有机地结合到数 学实践中去， 这对培养和加强学生的创新意识和创新能力无疑会起到积极作用. 作者在长期的高等数学 教学中曾做过有益的尝试. 本文仅就高等数学问题推广的几种主要方式谈一下自己的看法 由特殊 向一 般作推 广 有些数学命题的结论是在特定条件下得到的， 如果改变或取消某些约束条件， 则所得命题可能会更 具有普遍性. 例 1 设函数f ( x ) 在闭区间 -1 , 1 上具有三阶连续导数， 且 f ( -1 ) 二。 , f ( 1)=1 , f (0 ) =0 ， 证 明: 在开区间( 一1 , 1 ) 内至少存在一点 $ ， 使 f 0 ( $ ) =3 . 注本例为全国 1 9 9 9 年硕士研究生人学试题， 以下类同. 推广设 f ( x ) 在 a , 司上具有三阶连续导数， 证明: 在( a , b ) 内存在一点$ ， 使 、， a +b 1。1， ，、 ， 。 。 I l o ) =7 l a ) 一t o - a ( 一 2 ) t2 4 i o - -.i、 ， ” ( 1 ) 证将 f ( 二 ) 在 X 。 _ a_ + bx 0 2 展 成 二 阶 泰 勒 公 式 ， 并 分 别 令 x = b 5 二 一，得 f (b )一 川 宁 f (a )一 f l a + b2 + f , I ) + f ! (b- a Z b l + 1 f a 2 b l l b- a Z b l a+ 3 f 1 ($0 (一 a + b2 卜1 二 ( a1 b )2 !f ,l 2(一 a + , 2+2 3 f m ($ z) 一 a + b2 a + b+ b2 2得 其中$ 1 1 $ 2 C - ( a , b ) . 两式相减， f (b ) - f (a ) = f 守 ” 一 ， + 4 8 f 0 ($ ) + f ($z) (” 一 ，3 由于f ( x ) 在 a , b 上连续， 从而在 $ , , $ , 上也连续， 故存在 m及 M， 使m-f ( z ) -M ( $ - z E i ) , 于 是 有 ? 、 合 二 ( E , ) + f ($ d - M 再 由 连 续 函 数 的 介 值 定 理 知 ， 存 在 E 巨 $ # 2 (- ( a ,b ) ， 使 尹 “ ， 一 告 仁 二 ( E . ) + f ( F 2 ) , 因 此 仁 收稿日期2 0 0 3 - 1 0 - 2 5 抽金项目安徽省教育厅资助项目( 编号2 0 0 1 0 1 1 ) 万方数据 第 5期苏化明， 等: 高等数学问题推广的几种方式 f (b ， 一 f (a ) + ( 6 - a ) f 宁卜 2 1 4 ( “ 一 ， f I ( E ) “ ， 注( i )利用达布中值定理( 导数的介值性) ， 本命题条件可减弱为f ( r ) 在 a . b 上三阶可导. (i i ) 原问题也可推广为: 设f ( 二 ) 在 a , b 上有二阶连续导数( 可减弱为二阶可导) ， 证明: 存在E E ( a , b ) ， 使得 f f (x )d s = (。 一 )， ( 宁) + 24 (” 一 )f (8 ). ( 2 ) ( 2 ) 式即数值积分中的中矩形公式. 例2 设函数f ( r ) 在区间 0 , 1 上可导且f ( 0 ) =0 , f ( 1 ) =1 ， 证明: 在区间( 0 , 1 ) 内存在两点a , , , 使 下 弄二 + 未一 2 . J k Xi ) J ( X2 ( 3 ) ( 第 6 届北京市大学生数学竞赛题, 1 9 9 4 ) 推广I l 设函数 f ( z ) 在区间 a , b 上连续， 在( a , b ) 内可导， 且f ( a ) =0 , f ( b ) =1 . 又设 k k 2 , . . . , k , 为任意，个正数， 证明: 在( a , b ) 内存在 n 个互不相同的点$ 2 , - . , ， 使 客k;f (#;)一 b- a) , k,. ( 4 ) 证令 K = k , + k 2 + + k ,y 。 一 。 及 ， 一 贵 (k , + k 2 + + k ;) , i = 1 , 2 , , n , R llj 0 - y o y , y 2 y , =1 . 取二 。 =a , r=6 ， 在 a , 司上对 连续 函数f ( s ) 用介值 定理， 可 以求 得一点.X , E ( a , b ) ， 使 f ( 二) = y . 再在 x 司上用介值定理， 求得一点x , E ( x b ) ， 使f ( x z ) =Y z . 仿此下去， 可求出二 , z , . . . 。 ) ， 分 点 为 x 。 一， x ， 一。 + 、， 、 一 告 (。 一) ， ， 一 。 , 1 , 2 , , n , lim 儿万石 二 .( 复 旦 大 学 ， 1 9 8 4 ) 万方数据 6 6大学数学第 2 0卷 推广 2 求极限 设 f ( x ) 在 : a ,b 上 连 续 ， 且 f ( x ) 0 . 令 二 。 一 ， z 一 。 + iA x ,6 ? 一 青 (。 一 ) ， ， 一 1 2 , , n , l im f ( x , ) f ( 二 : ) . . . f ( x . ) 由于推广 1为推广 2之特例， 故只解推广 2 . l im f ( x , ) f ( x , ) . . . f ( 二 。 ) 一 lim ex p ( 1 Inf la + i n b - a 故由定积分的定义知 = e xp 1 ii. b _-b - a _ n 客 ln f ( a + i b an ， lim f ( x ,) f (x 2) . f (x . ) = ex p 六卫 In f (x )dx . 在( 5 ) 中取 f ( 二) =x， 得 lim 令 x ,x ix 一 告 ( b0a- ( 6 ) 在( 6 ) 中取 a =0, b =1 ， 得 l im刹 2一n 1-n 短 一一 杯一 在( 6 ) 中取a =1 , b =2 ， 得 lim (1 + n l l + nI 1+ n ) 一 4e 例 4 证 明 数 A a 。 一 1 + 合 + + 青 - In n ( n = 1 , 2 , - ， 有 极 限 ，从 而 有 1 + 2 + . + n 一 C + In n + 二 ， 其中 。( ， 二) , C称为欧拉( E u l e r ) 常数. ( 北京钢铁学院， 1 9 8 4 ) 推广设连续函数f( x ) 在 1 , +二) 上是正的、 单调递减的， 且a= 数列 a u a v a . 收敛. ( 清华大学， 1 9 8 3 ; 全国， 1 9 9 9 ) 证由题设可得 f (k ，一 f f (x )d x ，证 明 : f ( k + l ) 0 ， 证明不等式 P , x , +户 2 z2 P , + P -P , f ( x , ) +P , f ( z i ) 1之泛. i 一P , 十 P , ( 7 ) 其中二， z , E ( a , b ) , p vp , 。 但不全为零. ( 武汉钢铁学院， 1 9 8 0 ) 推广 1 若 函数 f( z) 在 ( a, b ) 内二阶可导， 且 f0 ( x ) 0 , i l明不等式 九J十P , x z +- - - +P . s P , +P , +. . . +丸 。 不全为零 Q =1 , 2 , - - - , n ) . 推 广 2 设 厂 (a ) , p ( 二 ) 在 区 间 一 。 上 连 续 ， ， ( ! ) 、 。 ， 芡 p ( a ) d s 0 ， 且 m 0 ，故 由 推 广1 知 P , 了 ， 十P z 九+. . . +p . 人 P , +P , + +P , P IP(f i) + P z9P(f z) + + P .9p (f )P i+ P ,+ .+ P .- 砚叭 外(x ,)f (x )，守 ? n二 下b厂一5 LP x i ;不 乙P ( 二 . ) ,P ( f ( x )b - a 艺P ( x ; ) b - an 令n -， 取极限 由定积分定义， 即得( 9 ) . 注推广2 还有其他证明， 下例同 例 设f ( x ) 是区间 0 , 1 上的连续、 单调增加函数， 证明 丁 o x (f ( x ) ) d x C (f ( 二 ) ) d x 异异ra一 一 ， ,( f ( x ) ) d x ( 1 0 ) x ( f( x) ) I d x ( 华 中工学 院， 1 9 8 4 ) 证考虑与之对应的离散形式的不等式. 若a , ， a 2 , - - - , a 。 为一组数， 满足a ,a ; ( i j ) ， 则有 公+2 a 呈 +十n a 已 司+嘟+衅 牙 平 2 a ; 千 不 不za n a ; + 2 a ; 千 不f n a ( 1 1 ) 事实上， 当i ， 时， 由于, ; 习 A; G l . 又 P G 0 中等号当 且仅当 求的距离平方 和最小. 尸 、 。 ， 合 时 成 立 ，故 所 求 点 尸 的 坐 标 为 ( 告 夯，告 郭告 如“ ，所 万方数据 第 5期苏化明， 等: 高等数学问题推广的几种方式 5 由静态向动态作推广 自然界中事物处于静态是相对的， 而处于动态是绝对的. 数学中不少问题都可以将定点( 定值) 转为 动点( 变值) ， 将所论向题在更广泛的范围内进行考虑. 例8 设函数f ( x ) 在 a , b 上连续， 在( a , b ) 内可导， 且f ( a ) =f ( b ) =0 ， 则在( a , b ) 内至少存在一点 E ， 使 尹 ( 勃=0 . 这是微分学中著名的罗尔定理， 若将( a , b ) 改为( 一co， +co) ， 则有如下的 推 广 设 函 数f ( x ) 在 ( 一 的 ， + 加 ) 内 可 导 ，且 lim ， f ( x ) = l = lim f (x ) ， 则 在 ( 一 叨 ， + 伪 ) 内 至 少 存在一点 E ， 使 尹( E ) 二。 . ( 中国科技大学， 1 9 8 0 ) 证若f( x ) =l ， 则使f ( $ ) =。 的 E 显然存在. 若f ( x ) *l ， 则存在x o ， 使 f ( x) # : l不妨设f ( 二 。 ) =m l ( m0 ， 当 xl -X时， 有 f ( x ) -l 1 m-l2 于 是 。 一 、 ) Z ,f ( X ) ,l . 因为f ( x ) 在闭区间仁 一X, X 上连续， 故必存在某点 F E C -X, X 取得最大值f ( $ ) =M 显然有 x o _ ，。 _， ， 、m十L。 ，1，二 。 。 。， 、， * 。、 ，7c -6 1i e 1 -n t L 一 x , R J , pX m-J k x o r 一 m - 2 一 L N II L I w 1 H E 1 E L -n , n a l + 7 U .h l , r J 1 F 3 ，、 “一 叭 注还可考虑更一般的问题. 设 f (x ， 在 有 穷 或 无 穷 区 间 “ ，“ ， 内 任 意 点 ， 处 有 有 限 导 数 f , ( x ) ， 且 丛J ( x 一 一 坪f (x ) ， 则 在 ( a , b ) 内至少存在一点泞 ， 使尹( 匀= 0 . 此结论的证明可见 3 1 . 例， 设函数 f ( x ) 在巨， 习上连续， 在( a , b ) 内可导， 则在( a . b ) 内至少存在一点 E ， 使f ( b ) -f ( a ) 二f ( E ) ( b -a) . 此为微分学中著名的拉格朗日中值定理， 类似于例8 ， 我们有如下的 推 广 设f ( x ) 在 ( a ,b ) 内 可 导 ，且lim f ( x ) 与l