角的概念的推广(2).ppt

22角的概念的推广一、素质教育目标(一)知识教学点1推广角的概念，引入大于360的角和负角2正角、负角、零角的定义3象限角概念4终边相同的角的表示法(二)能力训练点1理解并掌握正角、负角、零角定义2重点掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法3树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念二、教学重点、难点、疑点及解决办法1教学重点：理解正角、负角、零角的定义，掌握终边相同角的表示法2教学难点：终边相同的角的表示3教学疑点：区别并理解角的大小与角的终边位置不同表示方法的含义三、课时安排本课题安排1课时,四、教与学过程设计(一)复习0360角的概念师：我们已经学习了0360的角，它是如何定义的？生：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成师：我们进一步复习角有关的概念如图2-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点(二)角概念的推广师：在日常生活中，在生产和科学实验中，还要经常遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角，你们能否举出实例说明？,生甲：在自行车的车轮按逆时针旋转一周过程中，OA形成了0到360的所有角；在车轮继续旋转第二周过程中，又形成了360到720的所有的角；这样下去，可以形成更大的角(如图2-2示)生乙：钟表的指针、螺丝扳手与曲柄连杆按不同方向旋转所成的角师：同学们举出的实例说明了它们的实际意义和推广角概念的必要性为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图2-3示：以OA为始边的角=210，=-150，=-660特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角,角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样(三)象限角师：正象在上一小节所做的那样，我们主要在直角坐标系内讨论角这时要使角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角(或说这个角属于第几象限),如图2-4(1)中的30，390，-330都是第一象限角；图2-4(2)中的300，-60的角都是第四象限的角练习一：1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？090的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；090的角可能是零角，故它也不一定是锐角)师总结有关角的集合表示锐角：|090，090的角：|090；小于90角：|90,2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420，(2)-75，(3)855，(4)-510(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角，作图表示略)(四)终边相同的角的表示法师：让我们再来观察图2-4(1)中的三个角，390，-330都不是0360的角，但它们都与30角的终边相同，请同学们思考为什么？能否再举二个与30同终边的角？生：由图中我们可发现390，-330与30相差360的整数倍，例如，390，-330可以分别写成下列形式：390=360+30，-330=-360+30，与30同终边的角还有如750，-690,师：这位同学发现两个同终边角的特征，如举例的750，-690可分别写成750=2360+30，-690=-2360+30显然除了这些角之外，与30的角终边相同的角还有：3360+30；-3360+30；4360+30；-4360+30；提问：所有与30的角终边相同的角，连同30的角在内，如何用统一的式子来表示？生：我们可以用k360+30，(kZ)来表示所有与30的角终边相同的角，当k=0时，它表示30的角；当k=1时，它表示390的角；当k=-1时，它表示-330的角，等等师：现在我们总结已得到的结果并推广到一般情形一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内(而且有且只有这样的角)，可以用式子R360+，kZ来表示,因此，对于给定的顶点、始边和终边，确定了一个由无限个角组成的集合，与角终边相同的角的集合可记作：|=k360+，kZ注意以下4点：(1)kZ：(2)是任意角；(3)k360与之间是“+”号，如k360-30，应看成k360+(-30)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍(五)练习例1在0360间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是哪个象限的角,(1)-140，(2)670，(3)-85036解：(1)-140=-360+220，220的角与-140的角终边相同，它是第三象限角(2),670=360+310，310的角与670的角终边相同，它是第四象限角(3)-85036=-3x360+22924，22924的角与-85036的角终边相同，它是第三象限角总结：草式写在草稿纸上正的角度除以360，按正常除法进行；负的角度除以360，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便余数为正值,例2写出与下列各角终边相同的角集合S，并把S中在-360720间的角写出来(1)70，(2)-53，(3)48016解：(1)S=|=k360+70，kZS中在-360720间的角是-1360+70=-290；0360+70=70；1360+70=430(2)S=|=k360-53，kZS中在-360720间的角是0360-53=-53；1360-53=307；2360-53=667(3)S=|=k360+48016，kZS中在-360720间的角是-2360+48016=-23944；-1360+48016=12016,0360+48016=48016例3写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上，(2)y轴上解：(1)在0360间，终边在x轴负半轴上的角为180，终边在x轴负半轴上的所有角是k360+180，kZ(2)在0360间，终边在y轴的正半轴上的角为90，终边在y轴的负半轴上的角为270，如图2-5示，终边在y轴正半轴、负半轴上的所有角分别是：k360+90，k360+270，kZ,提问：请同学们思考，能否将二者写成统一表达式？师：k360+90=2k180+90(1)，k360+270=2k180+180+90=(2k+1)180+90(2)，在(1)式等号右边的前一项是180的所有偶数(2k)倍；在(2)式等号右边的前一项是180的所有奇数(2k+1)倍，因此，它们可以合并为180的所有整数倍，(1)式和(2)式可以分别写成n180+90(nZ)，终边在y轴上的角的集合是：S=|=n180+90，nZ提问：终边落在x轴上的角集合如