2007考研数学一真题及答案解析.pdf

中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 2007 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题：一、选择题：(本题共本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0 x 时，与x等价的无穷小量是 (A) 1 x e. (B) 1 ln 1 x x . (C) 11x. (D) 1 cosx. B 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小 量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0 x 时，有1(1) xx eex ； 1 11 2 xx； 2 11 1 cos(). 22 xxx 利用排除法知应选(B). (2) 曲线 1 ln(1) x ye x ，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为 0 1 limln(1) x x e x ，所以0 x 为垂直渐近线； 又又 1 limln(1)0 x x e x ，所以 y=0 为水平渐近线； 进一步， 2 1ln(1)ln(1) limlimlim xx xxx yee xxxx =lim1 1 x x x e e ， 1 lim1limln(1) x xx yxex x =limln(1) x x ex =limln(1)lim ln(1)0 xxx xx eexe ， 于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). (3) 如图，连续函数 y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半 圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 0 ( )( ). x F xf t dt 则下列结论正确的是 (A) 3 (3)( 2) 4 FF . (B) 5 (3)(2) 4 FF. (C) )2( 4 3 )3(FF . (D) )2( 4 5 )3( FF. C 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清 楚相应积分与面积的关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积： 1 (2) 2 F， 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 F(3)是两个半圆面积之差： 22 113 (3)1( ) 228 F= 3 (2) 4 F， 0 3 3 0 )()()3(dxxfdxxfF)3()( 3 0 Fdxxf 因此应选(C). (4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (A) 若 0 ( ) lim x f x x 存在，则 f(0)=0. (B) 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则 f(0)=0. (C) 若 0 ( ) lim x f x x 存在，则(0) f 存在. (D) 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则(0) f 存在 D 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算 等进行分析讨论。 【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为 0， 因此分子的极限也必须为 0， 均可推导出 f(0)=0. 若 0 ( ) lim x f x x 存在，则 00 ( )(0)( ) (0)0,(0)limlim0 0 xx f xff x ff xx ，可见(C)也正确， 故应选(D). 事实上，可举反例：( )f xx在 x=0 处连续，且 0 ( )() lim x f xfx x = 0 lim0 x xx x 存在，但( )f xx在 x=0 处不可导。 (5) 设函数 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且( )0.fx 令) , 2 , 1)( nnfun, 则下列结论正确的是 (A) 若 12 uu，则 n u必收敛. (B) 若 12 uu，则 n u必发散. (C) 若 12 uu，则 n u必收敛. (D) 若 12 uu，则 n u必发散. D 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设 f(x)= 2 x, 则 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且 12 ( )0,fxuu，但 2 n un发 散 ， 排 除 (C); 设 f(x)= 1 x , 则 f(x) 在(0,)上 具 有 二 阶 导 数 ， 且 12 ( )0,fxuu，但 1 n u n 收敛，排除(B); 又若设( )lnf xx ，则 f(x)在(0,)上 具有二阶导数，且 12 ( )0,fxuu，但 ln n un 发散，排除(A). 故应选(D). (6) 设曲线:( , )1( ( , )L f x yf x y具有一阶连续偏导数)，过第 II 象限内的点 M 和第 IV 象限内的点 N，T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列小于零的是 (A) ( , ) T f x y dx . (B) ( , ) T f x y dy . (C) ( , ) T f x y ds . (D) ( , )( , ) xy T fx y dxfx y dy . B 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。 【详解】 设 M 、 N 点的坐标分别为 11221212 ( ,),(,),M x yN xyxxyy. 先将曲线方 程代入积分表达式，再计算有： 21 ( , )0 TT f x y dxdxxx ; 21 ( , )0 TT f x y dydyyy ; ( , )0 TT f x y dsdss ; ( , )( , )( , )0 xy TT fx y dxfx y dydf x y . 故正确选项为(B). (7) 设向量组 321 ,线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 133221 , . (B) 133221 , . (C) 133221 2,2,2 . (D) 133221 2,2,2 . A 【详解】用定义进行判定:令 0)()()( 133322211 xxx， 得 0)()()( 332221131 xxxxxx. 因 321 ,线性无关，所以 13 12 23 0, 0, 0. xx xx xx 又 0 110 011 101 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即 133221 , 线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. (8) 设矩阵 211 121 112 A, 000 010 001 B, 则 A 与 B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 【详解】 由0| AE 得 A 的特征值为 0, 3, 3, 而 B 的特征值为 0, 1, 1,从而 A 与 B 不相似. 又 r(A)=r(B)=2, 且 A、B 有相同的正惯性指数, 因此 A 与 B 合同. 故选(B) . (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1), 则此人第 4 次 射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (A) 2 )1 (3pp (B) 2 )1 (6pp . 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 (C) 22 )1 (3pp (D) 22 )1 (6pp C 【详解】 “第 4 次射击恰好第 2 次命中”表示 4 次射击中第 4 次命中目标, 前 3 次射击 中有 1 次命中目标, 由独立重复性知所求概率为： 221 3 )1 (ppC . 故选(C) . (10) 设随机变量(,)服从二维正态分布， 且与不相关，)()(yfxf YX 分别表示， 的概率密度，则在y 的条件下，的条件概率密度)|( | yxf YX 为 (A) )(xfX (B) )(yfY (C ) )()(yfxf YX . (D) )( )( yf xf Y X A 【详解】 因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 )|( | yxf YX =)(xfX. 因此选(A) . 二、填空题二、填空题：(1116 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上) (11) 1 2 3 1 1 x e dx x = 1 2 1 . 2 e 【分析】 先作变量代换，再分部积分。 【详解】 1 11 21 3 2 1 32 11 2 11 () t x tt x e dxt edtte dt xt = 1 11 1 2 11 1 22 2 1 . 2 ttt tdetee dte (12) 设 f(u,v)为二元可微函数，(,) yx zf xy，则 z x = 1 12 ln . yx fyxfyy 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有 z x = 1 12 ln . yx fyxfyy (13) 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 2 432 x yyye的 通 解 为 32 12 2. xxx yCeC ee 其中 21,C C为任意常数. 【详解】 特征方程为 2 430 ，解得 12 1,3. 可见对应齐次线性微分方 程430yyy的通解为 3 12 . xx yCeC e 设非齐次线性微分方程 2 432 x yyye的特解为 *2x yke，代入非齐次方程可 得 k= 2. 故通解为 32 12 2. xxx yCeC ee (14) 设曲面:1xyz，则dSyx |)|(= 4 3. 3 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【详解】 由于曲面关于平面 x=0 对称，因此dSx =0. 又曲面:1xyz具 有轮换对称性，于是 dSyx |)|(=dSy |=dSx |=dSz |=dSzyx |)|(| 3 1 =dS 3 1 2 3 8 3 1 = 4 3. 3 (15) 设矩阵 0000 1000 0100 0010 A , 则 3 A的秩为 1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 0000 0000 0000 1000 3 A, 故 r( 3 A)=1. (16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于 2 1 的概率为 4 3 【详解】 这是一个几何概型, 设 x, y 为所取的两个数, 则样本空间 1,0| ),( yxyx, 记 2 1 | ,),( | ),( yxyxyxA. 故 S S AP A )( 4 3 1 4 3 ，其中 SS A, 分别表示 A 与 的面积. 三、解答题三、解答题：(1724 小题，共 86 分. ) (17) (本题满分 11 分) 求函数 2222 ( , )2f x yxyx y在区域 22 ( , )4,0Dx y xyy上的最大值和 最小值。 【分析】 由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨 论即可。 【详解】 因为 2 ( , )22 x fx yxxy， 2 ( , )42 y fx yyx y，解方程： 2 2 220, 420 x y fxxy fyx y 得开区域内的可能极值点为(2,1). 其对应函数值为(2,1)2.f 又当 y=0 时， 2 ( , )f x yx在22x 上的最大值为 4，最小值为 0. 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 当 22 4,0, 22xyyx ，构造拉格朗日函数 222222 ( ,)2(4 )F x yxyx yxy 解方程组 2 2 22 2220, 4220, 40, x y Fxxyx Fyx yy Fxy 得可能极值点： 53 (0,2),(,) 22 ，其对应函 数值为 537 (0,2)8,(,). 224 ff 比较函数值 7 2,0,4,8, 4 ，知 f(x, y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0. (18) (本题满分 10 分) 计算曲面积分 23,Ixzdydzzydzdxxydxdy 其中为曲面 2 2 1(01) 4 y zxz 的上侧。 【分析】 本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的 区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。 【详解】 补充曲面： 2 2 1: 1,0 4 y xz，取下侧. 则 1 23Ixzdydzzydzdxxydxdy 1 23xzdydzzydzdxxydxdy =(2 )3 D zz dxdydzxydxdy 其中为与 1 所围成的空间区域，D 为平面区域 2 2 1 4 y x . 由于区域 D 关于 x 轴对称，因此30 D xydxdy . 又 (2 )3zz dxdydzzdxdy = 11 00 332 (1). z D zdzdxdyzz dz 其中 z D 2 2 :1 4 y xz . (19) (本题满分本题满分 11 分分) 设函数 f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在( , )a b，使得( )( ).fg 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令 ( )( )( )F xf xg x，则问题转化为证明( )0F, 只需对( )F x用罗尔定理，关键是找 到( )F x的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用 F(a)=F(b)=0, 若能再找一点( , )ca b，使得( )0F c ，则在区间 , , , a cc b上两次利用罗尔定理有一阶 导函数相等的两点，再对( )F x用罗尔定理即可。 【证明】 构造辅助函数( )( )( )F xf xg x， 由题设有 F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在(a, b) 内具有相等的最大值, 不妨设存在 21 xx , ),(, 21 baxx 使得 12 , , ( )max( ), ()max ( ) a ba b f xMf x g xMg x， 若 21 xx ，令 1 xc , 则( )0.F c 若 21 xx ，因 111222 ( )( )( )0,()()()0F xf xg xF xf xg x，从而存在 12 ,( , )cx xa b，使( )0.F c 在区间 , , , a cc b上分别利用罗尔定理知，存在 12 ( , ),( , )a cc b，使得 12 ( )()0FF. 再对( )F x在区间 12 , 上应用罗尔定理，知存在 12 ( ,)( , )a b ，有 ( )0F， 即 ( )( ) .fg (20) (本题满分本题满分 10 分分) 设幂级数 0 n n n a x 在(,) 内收敛，其和函数 y(x)满足 240, (0)0,(0)1.yxyyyy (I) 证明： 2 2 ,1,2,; 1 nn aa n n (II) 求 y(x)的表达式. 【分析】 先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。 【详解】 (I)记 y(x)= 0 n n n a x , 则 12 12 ,(1), nn nn nn yna xyn na x 代入微分方程 240,yxyy有 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 2 210 (1)240, nnn nnn nnn n na xna xa x 即 2 000 (2 ) (1)240 , nnn nnn nnn nnaxn a xa x 故有 2 (2 ) (1)240, nnn nnan aa 即 2 2 ,1, 2 ,; 1 nn aa n n (II) 由 初 始 条 件(0)0,(0)1y y 知 ， 01 0,1.aa 于 是 根 据 递 推 关 系 式 2 2 , 1 nn aa n 有 221 1 0,. ! nn aa n 故 y(x)= 0 n n n a x = 2121 2 00 1 ! nn n nn axx n = 2 2 0 1 (). ! nx n xxxe n (21) (本题满分 11 分) 设线性方程组 04 ,02 ,0 3 2 21 321 321 xaxx axxx xxx 与方程 12 321 axxx 有公共解，求 a 的值及所有公共解 【分析】 两个方程有公共解就是与联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将与联立得非齐次线性方程组: . 12 , 04 , 02 , 0 321 3 2 21 321 321 axxx xaxx axxx xxx 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对 的增广矩阵A作初等行变换得: 1121 041 021 0111 2 a a a A 1100 0) 1)(2(00 0110 0111 aa aa a . 于是 1 当 a=1 时，有)()(ArAr =23，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 解即为的通解，此时 0000 0000 0010 0101 A， 此时方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: 1 0 1 , 所以与的全部公共解为 1 0 1 k，k 为任意常数. 2 当 a =2 时，有)()(ArAr =3，方程组有唯一解, 此时 0000 1100 1010 0001 A，故方程组的解为: 0 1 1 , 即与有唯一公 共解: 为 1 2 3 0 1 1 x xx x . (22) (本题满分 11 分) 设 3 阶对称矩阵的特征值, 2, 2, 1 321 T ) 1 , 1, 1 ( 1 是的属于 1 的 一个特征向量,记EAAB 35 4其中E为 3 阶单位矩阵. (I) 验证 1 是矩阵的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量 (II) 求矩阵 【分析】 根据特征值的性质可立即得 B 的特征值, 然后由 B 也是对称矩阵可求出其另 外两个线性无关的特征向量. 【详解】 (I) 由 11 A 得 111 2 AA, 进一步 11 3 A, 11 5 A， 故 1 35 1 )4(EAAB 11 3 1 5 4 AA 111 4 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 1 2 ， 从而 1 是矩阵的属于特征值2 的特征向量. 因EAAB 35 4, 及的 3 个特征值, 2, 2, 1 321 得 B 的 3 个特征值为1, 1, 2 321 . 设 32, 为 B 的属于1 32 的两个线性无关的特征向量, 又 为对称矩阵，得 B 也是对称矩阵, 因此 1 与 32, 正交, 即 0, 0 3121 TT 所以 32, 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： 0) 1 , 1, 1 ( 3 2 1 x x x , 其基础解系为: 0 1 1 , 1 0 1 , 故可取 2 = 0 1 1 , 3 = 1 0 1 . 即 B 的全部特征值的特征向量为: 1 1 1 1 k, 1 0 1 0 1 1 32 kk, 其中0 1 k,是不为零的任 意常数, 32,k k是不同时为零的任意常数. (II) 令),( 321 P= 101 011 111 , 则 1 1 2 1BP P， 得 1 1 1 2 PPB = 101 011 111 1 1 2 211 121 111 3 1 中国教育在线（中国教育在线（） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 = 102 012 112 211 121 111 3 1 011 101 110 . (23) (本题满分 11 分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 2,01,01, ( , ) 0